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# 112 陽明交大資工二階筆試
老兄，怎麽這麼多線性代數／矩陣／向量啊 = =
早知道我就該修了。不過感覺好像看 3b1b 有點幫助。
還有，字真的好多，我感受到素養……。
喔那個，裡面答案如果有誤，可以告訴我。

---
> 以下共有六大題，分作十五小題。每小題答對得 4 分，答錯倒扣 1 分。*// 註：滿分應是 60 分。*

1. &emsp;&emsp;$O$ 是一大圓的圓心，而該圓內切四個小圓如圖：
<div><svg width="77.908264mm" height="77.909462mm" version="1.1" viewBox="0 0 77.908264 77.909462" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"><g transform="translate(-56.295868,-151.54527)"><rect x="56.295868" y="151.54527" width="77.908264" height="77.909462" rx="5.2916665" ry="5.2916665" fill="#fff" style="paint-order:markers stroke fill"/><circle cx="95.25" cy="190.5" r="38.099998" fill="none" stroke="#000" stroke-linecap="round" stroke-width=".661458" style="mix-blend-mode:normal"/><text x="120.64999" y="196.32083" fill="#0000ff" font-family="'等距更紗黑體 TC'" font-size="4.7625px" letter-spacing="0px" stop-color="#000000" stroke-width=".264583" style="-inkscape-stroke:none;line-height:1.2;mix-blend-mode:normal;text-decoration-color:#000000;text-decoration-line:none" xml:space="preserve"><tspan x="120.64999" y="196.32083" fill="#000000" font-size="4.7625px" stroke-width=".264583">O'</tspan></text><path d="m57.149999 190.5h76.200001" fill="#fff" stroke="#000" stroke-linecap="round" stroke-width=".661458" style="mix-blend-mode:normal"/><g fill="none" stroke="#000" stroke-linecap="round" stroke-width=".661458"><circle cx="95.25" cy="171.45" r="19.049999" style="mix-blend-mode:normal"/><circle cx="122.22134" cy="180.97499" r="9.5249996" style="mix-blend-mode:normal"/><circle cx="69.849998" cy="190.5" r="12.7" style="mix-blend-mode:normal"/><circle cx="95.25" cy="209.55" r="19.049999" style="mix-blend-mode:normal"/></g><g><circle cx="95.25" cy="190.5" r="1.3229166" style="mix-blend-mode:normal"/><circle cx="122.2375" cy="190.5" r="1.3229166" style="mix-blend-mode:normal"/><g stroke="#000" stroke-linecap="round" stroke-width=".661458"><path d="m69.849999 190.5v-12.7" style="mix-blend-mode:normal"/><path d="m95.249999 171.45v-19.05" style="mix-blend-mode:normal"/><path d="m122.23749 180.975v-9.525" style="mix-blend-mode:normal"/></g></g><g fill="#000000" font-family="'等距更紗黑體 TC'" font-size="4.7625px" letter-spacing="0px" stroke-width=".264583"><text x="66.715218" y="185.38824" stop-color="#000000" style="-inkscape-stroke:none;line-height:1.2;mix-blend-mode:normal;text-decoration-color:#000000;text-decoration-line:none" xml:space="preserve"><tspan x="66.715218" y="185.38824" fill="#000000" font-size="4.7625px" stroke-width=".264583">a</tspan></text><text x="92.115219" y="163.91045" stop-color="#000000" style="-inkscape-stroke:none;line-height:1.2;mix-blend-mode:normal;text-decoration-color:#000000;text-decoration-line:none" xml:space="preserve"><tspan x="92.115219" y="163.91045" fill="#000000" font-size="4.7625px" stroke-width=".264583">b</tspan></text><text x="119.44032" y="177.9437" stop-color="#000000" style="-inkscape-stroke:none;line-height:1.2;mix-blend-mode:normal;text-decoration-color:#000000;text-decoration-line:none" xml:space="preserve"><tspan x="119.44032" y="177.9437">c</tspan><tspan x="119.44032" y="183.65869"/></text></g><text x="94.191666" y="196.32083" fill="#0000ff" font-family="'等距更紗黑體 TC'" font-size="4.7625px" letter-spacing="0px" stop-color="#000000" stroke-width=".264583" style="-inkscape-stroke:none;line-height:1.2;mix-blend-mode:normal;text-decoration-color:#000000;text-decoration-line:none" xml:space="preserve"><tspan x="94.191666" y="196.32083" fill="#000000" font-size="4.7625px" stroke-width=".264583">O</tspan></text><g fill="none" stroke="#999" stroke-linecap="round" stroke-width=".661458"><path d="m95.250001 171.45 26.987489 9.525" style="mix-blend-mode:normal"/><path d="m95.250001 180.975h26.987489" style="mix-blend-mode:normal"/><path d="m122.22133 190.49999 0.0162-9.52499" style="mix-blend-mode:normal"/><path d="m95.249999 190.5 26.987491-9.525" style="mix-blend-mode:normal"/></g><path d="m80.020438 182.87204c-0.0048 4e-3 -0.0061 5e-3 -0.01085 8e-3a12.7 12.7 0 0 1 2.540411 7.61996h12.7a19.049999 19.049999 0 0 1-15.229561-7.62796z" stroke="#000" stroke-linecap="round" stroke-width=".661458" style="paint-order:markers stroke fill"/><path d="m95.250001 171.45v19.05" fill="#999" stroke="#999" stroke-linecap="round" stroke-width=".661458" style="mix-blend-mode:normal"/></g></svg></div>

1. 求 a + b + c （可善用圖中輔助三角形）
(A) 11 (B) 11.5 (C\) 12 (D) 12.5 (E) 13
*// 參考答案：<span class="spoiler">(E)</span>*
2. 求 $\overline{OO'}$ 之值。
(A) $3 \sqrt{3}$ (B) $3 \sqrt{2}$ (C\) $6 \sqrt{3}$ (D) $6 \sqrt{2}$ (E) 以上皆非
_// 註：我不確定選項對否。參考答案：<span class="spoiler">(D)</span>_

3. 圖中黑色上色區域之面積為 H，請問 H 之值最接近何者？
(A) 1.8 (B) 2.2 (C\) 2.6 (D) 3.0 (E) 3.4
*// 確切選項我忘了。參考答案：<span class="spoiler">(B)</span>*

2. &emsp;&emsp;題目好像跟 [110 交大資工二階數學試題]( https://hackmd.io/@SiriusKoan/rkvHr8uIu ) 的第二題很像。待補。

3. &emsp;&emsp;向量空間是線性代數中，一個重要的概念。各向量 $\overrightarrow{v}$ 皆是大小為 $m$（即 $m \times 1$） 的矩陣。0 則是一個大小為 $m$，各元素皆為 0 的向量。*/\*註：在考題中，第一個零上面沒有箭頭\*/* 當我們說一組向量互相獨立時，意思是這之中任一個向量，皆不能由餘下的其他向量線性組合而成。一個向量空間是一群向量的集合，其中任一個向量皆可由**基底向量**（basis）線性組合而成。
&emsp;&emsp;換句話說，若有基底向量 $\{ \overrightarrow{v_{bi}} | i \in \mathbb{N} \} \subset$ 向量空間 $V$，則對於任意 $\overrightarrow{b} \in V$，可表示成：
$$\overrightarrow{v_{b1}}\cdot x_1 +
\overrightarrow{v_{b2}}\cdot x_2 +
\overrightarrow{v_{b3}}\cdot x_3 +
\cdots +
\overrightarrow{v_{bn}}\cdot x_n =
\overrightarrow{b}$$
&emsp;&emsp;令$A = \begin{bmatrix} \overrightarrow{v_{b1}},\overrightarrow{v_{b2}},\overrightarrow{v_{b3}}, \cdots, \overrightarrow{v_{bn}} \end{bmatrix}$，$X = \begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix}$，則上式可寫作 $AX = \overrightarrow{b}$。

1. 有個向量空間 $V$，在該空間中的任意向量 $\overrightarrow{b}$ 皆可表示為 $\overrightarrow{b} = \begin{bmatrix} x_1 \\ 0 \\ x_2 \end{bmatrix}$，請問下列何者為其基底向量？
(A) $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ (B) $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix}$ (C\)$\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix}$ (D) $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ (E) 以上皆非
*// 除了選項不記得，我甚至不確定我題目寫得對不對。如果有答案的話，可能會是 <span class="spoiler">(C\)</span>*
2. $\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix}$ 何者與此二向量獨立？
(A) $\begin{bmatrix} -2 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix}$ (B) $\begin{bmatrix} 0 \\ -1 \\-2 \end{bmatrix}$ (C\) $\begin{bmatrix} -3 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}$ (D) $\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ (E) 以上皆非
*// 參考答案：<span class="spoiler">(E)</span>*
3. 請問下列敘述，有幾條有誤？
- 基底向量的組合方式唯一
- 一組基底向量中，向量的數目為 n
- 忘了
- 忘了

(A) 0 (B) 1 (C\) 2 (D) 3 (E) 4
*// 參考答案：<span class="spoiler">(B)</span>*

4. &emsp;&emsp;<i> // 題目簡直跟 [110 交大資工二階數學試題]( https://hackmd.io/@SiriusKoan/rkvHr8uIu ) 的第五題一樣！ </i>

&emsp;&emsp;當我們有多條算式如下：
$$a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots +a_{1n}x_{n} = c_1 \\
a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots +a_{1n}x_{n} = c_2 \\
\vdots \\
a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots +a_{1n}x_{n} = c_m$$

&emsp;&emsp;我們可以使用矩陣來整理它。

&emsp;&emsp;若我們令 $A = \begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}
\end{bmatrix}$，而 $X = \begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix}$，$C = \begin{bmatrix}c_1 \\ c_2 \\ c_3 \\ \vdots \\ c_n \end{bmatrix}$，則可整理成 $AX=C$。
1. 請問下列關於 $X$ 解的情況，何者正確？
(A) $m < n$ 必無解
(B) $m > n$ 必無解
(C\) $m = n$ 無限多解
(D) $m = n$ 且 $A^{-1}$ 不存在時，有唯一解
(E) 以上皆非
*// 參考答案：<span class="spoiler">(E)</span>*
2. 忘了。

5. &emsp;&emsp;爸爸在養育寶寶時，觀察到他的行為只有三項：睡覺、吃和玩耍，依序以代號 $S$（Sleep）、$E$（Eat）、$P$（Play）表示。寶寶的行為每個小時可能變動一次，而各行為發生的機率只與上一個動作有關，跟更之前的歷史動作無關。於是爸爸將寶寶的行為變化方法寫成下列矩陣。
$$\def\arraystretch{0.7}\begin{array}{}
& S_{n+1} & E_{n+1} & P_{n+1} & \\
\lceil & \alpha & 0.4 & 0.2 & \rceil & S_n \\
\Big\vert\kern{0.5px} & 0.5(1-\alpha) & 0.4 & 0.4 & \kern{0.5px}\Big\vert & E_n \\
\lfloor & 0.5(1-\alpha) & 0.2 & 0.4 & \rfloor & P_n\\
\end{array}$$
其中，$\alpha$ 之值與環境適合睡眠與否有關。
1. 問第 100 & 101 個小時都在睡覺的機率？
*// 選項忘了*
2. 當 $\alpha = 0.8$ 時，請問寶寶平均睡多久？
*// 選項也忘了*
3. 如果要符合醫師建議寶寶一天的睡眠時數 12~14 小時，下列哪一個 $\alpha$ 值最為合適？
*// 選項還是忘了*
7. &emsp;&emsp;近期人工智慧出現了突破性的發展，尤其是大型語言模型如 ChatGPT 已經可以快速產生流暢通順的文章。blah blah blah 為了避免人工智慧被濫用，或者用來濫竽充數 blah blah blah <u>小華</u>想要透過詞頻分析來發展出簡易的方式，用以判別文章作者是 AI 還是人類。他先從陽明交大的人工智慧研究中心，取得了輕量級語言模型 X-GPT 以用於研究。他規劃的檢驗方法如下：
- 取得大量由 X-GPT 產生的文本以及人類撰寫的文本。
- 分析文本中，各詞彙的出現頻率。找出 「在 X-GPT 文本中的出現頻率」明顯高於「在人類文本中出現頻率」的詞彙，並且蒐集成字表 $T$。

而關於該字表 $T$：
- $T$ 中有 $N$ 個詞彙。
- 以 $W_n$ 表示 $T$ 中第 $n$ 個詞彙出現的事件（即 $1 \le n \le N$）。
- 令 $p_n$ 表示在 X-GPT 的文章中，$T$ 的第 $n$ 個字出現的機率；$q_n$ 表示在 X-GPT 的文章中，$T$ 的第 $n$ 個字出現的機率。換句話說，
$$\newcommand{\Prob}{\text{P}}
\begin{aligned}
p_n = \Prob(W_n|\text{是 }&\text{X-GPT}&\text{ 所作的文章}) \
q_n = \Prob(W_n|\text{是 }&\text{人類}&\text{ 所作的文章})
\end{aligned}$$
- 另外，各 $W_i$（$1 \le i \le N$）為獨立事件。也就是說，
$$\newcommand{\Prob}{\text{P}}
\Prob(W_{i_1} \cap W_{i_2} \cap W_{i_3} \cap \cdots \cap W_{i_k} | \text{是 X-GPT 作的文}) = p_{i_1} \times p_{i_2} \times p_{i_3} \times \cdots \times p_{i_k}$$
同理，人類作文亦如是。
1. &emsp;&emsp;<u>小華</u>決定先以少一點的詞彙數量來初步測試。他先取得一個列表 $T$，長度 $N = 10$，而此列表中，第 $n$ 詞彙跟出現頻率的關係為 $p_n = \frac{1}{n+1}$，$q_n = \frac{1}{2(n+1)}$。現在隨機均勻取得一篇文本，$T$ 中第三到七個詞彙皆出現在該文本中。問此文為 X-GPT 所寫的機率？
(A) 33% (B) 66% (C\) 94% (D) 97% (E) 99%
_// 註：我不確定選項對否。參考答案：<span class="spoiler">(D)</span>_
2. &emsp;&emsp;<u>小華</u>再取得一個列表 $T$，長度 $N = 100$。此列表各詞彙有 $p_n = \frac {1}{5}$，$q_n = \frac {1}{10}$（意即，$p_n$、$q_n$ 之值，與表中位置 $n$ 無關）。
(A) 12 (B) 14 (C\) 16 (D) 18 (E) 20
*// 參考答案：<span class="spoiler">(B)</span>*