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title: 計算面積之旅

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# 計算面積之旅
### 實驗中學 高一三班 廖昀陽
## 緣起
> ![](https://i.imgur.com/qmpVhpM.png)
這張圖是由四個四分之一單位元所組成，題目要求出中間灰色區域的面積

> 在防疫期間，老師給了我們許多數學的科普文章，而這張圖吸引了我的目光，看似不難，卻又一時之間想不出解答的辦法，便想好好的研究一下這個問題

## 解法
> 沒想到文章中就給出了解法，但也同時給出了另一個問題，先記錄一下原題的解法

1. 觀察圖形可發現，圖形中出現了三種圖塊，分別以 $x$、$y$、$z$ 表示之![](https://i.imgur.com/0EBu3i4.png)
2. 通過面積可寫出以下二個等式
 
    $4x+y+4z=1$ （正方形）
    
    $3x+y+2z=\dfrac{1}{4}*1*π$ （ $\dfrac{1}{4}$ 圓 ）
3. $z$ 的面積通過兩條輔助線便一目瞭然  ![](https://i.imgur.com/Gr6boWn.png)
  
   圖中的三角形為正三角形，因此
   $z=1-(\dfrac{1}{6}*1*π+\dfrac{√3}{4} )$ （正方形減去兩個扇形再減去一個正三角形）
   
4. 接下來就可以算出各塊面積了


## 延伸
>![](https://i.imgur.com/DGS3Teg.png)
>一樣是由扇形所構成的圖形，求出中間灰色區塊的面積
## 解法
### 依樣畫葫蘆
1. 將圖形分為四種圖塊![](https://i.imgur.com/Un8IFt2.png)


2. 通過面積關係寫出以下等式
$3x+2y+4z+a=\dfrac{π}{3}$ （一個 $\dfrac{1}{3}$ 圓的扇型）
$5x+5y+5z+a=$ ...
突然發現不知道怎麼算正五邊形的面積

#### 如何計算正五邊形面積

1. 畫出輔助線 ![](https://i.imgur.com/FMk7rj0.png)

2. 左右兩邊的三角形面積皆為 $\dfrac{1}{2}*sin108°$ 故相加之後即為 $sin108°$

3. 根據正弦定理可得出 ![](https://i.imgur.com/WekIUg8.png)

   $e:sin108°=1:sin36°$
   $e=\dfrac{sin108°}{sin36°}$
   
因此中間三角形的面積即為 $\dfrac{e^2*sin36°}{2}=\dfrac{(sin108°)^2}{2sin36°}$

正五邊形的面積為 $sin108°*(\dfrac{sin108}{2sin36°}+1)$

第二個等式即為$5x+5y+5z+a=sin108°*(\dfrac{sin108}{2sin36°}+1)$
#### 剩下的兩個等式
通過與正方形類似的手法畫出輔助線![](https://i.imgur.com/O8f9dBL.png)
便可得出第三個等式 { $x+2y=$正五邊形面積 - (正三角形面積＋2 * 圓心角為48°的扇形面積) }

這次換個方式畫輔助線![](https://i.imgur.com/AWE8WKK.png)

由於四邊等長可得知這是一個平行四邊形![](https://i.imgur.com/yTh9O20.png)
而這個平行四邊形的面積就會是 $1*h=1*sin72°$

由以上我們就可以求出第四個等式 { $y=$ 正五邊形的面積 - ($sin72°$ + 2 * 圓心角為36°的扇形面積) }

### 接下來就只需解開方程式就可以算出灰色區域的面積
## 小結
雖說是算出了答案，不過這種算法實在是不太漂亮，因此我想出另一個解法
## 換種想法

* 我們剛剛已經得知![](https://i.imgur.com/8BmfayO.png)


深藍色線所圍出的區域面積為 ( 淺藍正三角形面積＋ 2 * 圓心角為48°的扇形面積 ) 
即為 ( $\dfrac{√3}{4}+\dfrac{4π}{15}$ )

因此可以知道右圖中深藍線所為出的面積為  ![](https://i.imgur.com/0rrLYsQ.png)
2 * 圓心角108°的扇形面積 - ( $\dfrac{√3}{4}+\dfrac{4π}{15} ) =\dfrac{3π}{5}-(\dfrac{√3}{4}+\dfrac{4π}{15})=\dfrac{π}{3}-\dfrac{√3}{4}$

這時候我們就可以算出![](https://i.imgur.com/Ky6AbIU.png)

這塊深藍色魚鰭形的面積 = $\dfrac{3π}{10}-(\dfrac{π}{3}-\dfrac{√3}{4} )=\dfrac{15√3-2π}{60}$

然後！！！![](https://i.imgur.com/QpHJMis.png)

### 當我們把正五邊形的面積減去五個魚鰭形的面積，即為所求 !

### 讓我們再將正五邊形的面積化簡一下
正五邊形面積 ： $sin108°*(\dfrac{sin108}{2sin36°}+1)$
$sin36°=\dfrac{\sqrt[]{10-2√5}}{4}$
$sin108°=\dfrac{\sqrt[]{10+2√5}}{4}$

$\dfrac{sin108°}{2sin36°}=\dfrac{\sqrt{10+2√5}}{2\sqrt{10-2√5}}=\dfrac{\sqrt{(10+2√5)(10-2√5)}}{2*(10-2√5)}=\dfrac{\sqrt{80}}{2*(10-2√5)}=\dfrac{8√5*(10+2√5)}{160}=\dfrac{80√5+80}{160}=\dfrac{√5+1}{2}$

$sin108°*(\dfrac{√5+1}{2}+1)=\dfrac{\sqrt{10+2√5}}{4}*(\dfrac{√5+3}{2})=\dfrac{(√2)*(5+√5)*2*(√5+3)}{4}=\dfrac{2√2*(15+7√5)}{4}=\dfrac{15√2+7\sqrt{10}}{2}$

$Ans=\dfrac{15√2+7\sqrt{10}}{2}-5*\dfrac{15√3-2π}{60}=\dfrac{90√2+42√10-15√3+2π}{12}=\dfrac{30√2+14√10-5√3}{4}+\dfrac{π}{6}$

### 最後我們算出的答案為 $\dfrac{30√2+14√10-5√3}{4}+\dfrac{π}{6}$
## 結語
當剛接觸到這個題目時，沒有多想便直接算了起來，但回過頭靜下心來觀察圖形時，才發現原來這題的解是這麼的美妙、簡潔、明瞭，我想，化繁為簡正是數學吸引人的原因吧，希望未來能將這門深奧的學問運用於更多問題上



