# Algebraic Curve

This is a note in a course *Algebraic Curve* taken in 2018 Fall, NTHU. It is mainly about plane algebraic curve

- Text book: Gerd Fischer, Plane Algebraic Curves

## Affine Algebraic Curve

一個 affine algebraic curve 被定義為某個雙變數多項式零點的蒐集
$$
V(f) := \{(x_1,x_2)\in F^2: f(x_1,x_2)=0\}.
$$
其中 $f\in F[X_1,X_2]$ 不為常數.

### F 的選擇

當 $F=\mathbb{R}$
- $V(X_1^2+X_2^2-1)$ 是一個圓
- $V(X_1^2+X_2^2)$ 是一個點
- $V(X_1^2+X_2^2+1)=\phi$

在這個例子中，看起來僅僅透過改變 $f = X_1^2+X_2^2+a$ 的參數 $a$ 就能導致得到的曲線有不規律的變動，這主要是因為 $\mathbb{R}$ 不是代數封閉的。

如果考慮 $F=\mathbb{C}$ 那麼對於 $f=X_1^2+X_2^2$ 我們有,
$$
X_1^2+X_2^2 = (X_1+iX_2)(X_1-iX_2)
$$
因此
$$
V(f) = V(X_1+iX_2)\cup V(X_1-iX_2)
$$
可以看出來此即是兩條交於原點的線。由於$\mathbb{C}$ 是代數封閉的，我們可以對 $f$ 進行適當的分解，這樣的分解會反映在曲線上，得到的曲線是各個分量的聯集，以下如果沒有特別指明，都選用 $F=\mathbb{C}$。

### 小觀察

- $V(f) = V(\lambda f) = V(f^k)$ for $k\in\mathbb{N}^\times, \lambda\in\mathbb{C}^\times$
- 如果 $f|g$ 那麼 $V(f)\subseteq V(g)$

事實上第二點的的逆敘述仍成立，即是 Study's lemma

### Resultant

在證明 Study's lemma 前，我們引入一個工具 *resultant*
考慮 $R$ 為一個帶有乘法單位元的交換環，以及 $f,g\in R[x]$
$$
f = a_mx^m+...+a_0\\
g = a_nx^n+...+b_0
$$
那麼 resultant 被定義為
$$
R_{f,g}:=\det\pmatrix{
a_m&a_{m-1}&\dots&a_0\\
&a_m&a_{m-1}&\dots&a_0\\
&&\ddots\\
&&a_m&a_{m-1}&\dots&a_0\\
b_n&b_{n-1}&\dots&b_0\\
&b_n&b_{n-1}&\dots&b_0\\
&&\ddots\\
&&b_n&b_{n-1}&\dots&b_0\\
}
$$
其中含 $a$ 項有 $n$ 個 row，$b$ 項則有 $m$ 個 row

### Theorem
如果 $R$ 為 UFD，那麼以下等價
- $gcd(f,g)$ 不為常數
- $R_{f,g}=0\in A$

更進一步，如果 $R=\mathbb{C}$ 那麼上述兩個條件等價於 $f,g$ 有共根。

上面這個定理題示了一個解雙變數(乃至多變數)聯立方程的方法
給定$f,g\in \mathbb{C}[X_1,X_2]$，先計算 $R_{f,g}$ 的根，記為$c_1,c_2,...$
然後求解單變量聯立
$$
f(c_i,X_2)=0\\
g(c_i,X_2)=0
$$

### Study's lemma
如果 $V(f)\subseteq V(g)$ 那麼 $f|g$

proof.

考慮
$$
f = \sum_{0\leq i\leq m} a_i X_2^i\\
g= \sum_{0\leq i\leq n} b_i X_2^i
$$

其中 $a_i, b_i \in\mathbb{C}[X_1]$

不失一般性假設 $m>0$ 那麼因為 $V(f)\subseteq V(g)$
必然使得 $n>0$，否則可以選定 $x_1$ 使得 $a_m(x_1)\neq 0, b_n(x_1)\neq 0$
此時 $f(X_1=x_1)$ 不為常數，而 $g(X_1=x_1)$ 為非零常數，必然存在 $x_2$使 $f(x_1,x_2)=0$ 但 $g(x_1,x_2)$ 不可能為零，得到矛盾。

同時可以選定無窮多個 $x_1$ 使得
$$
a_m(x_1)\neq 0\\
b_n(x_1)\neq 0
$$
代數基本定理保證了對於每個 $x_1$ 都有對應的 $x_2$ 使得
$$
f(x_1,x_2) = 0
$$
又因為 $V(f)\subseteq V(g)$ 這也同時導致
$$
g(x_1,x_2) = 0
$$
可見 $f(X_1=x_1),g(X_1=x_1)$ 有共根
$$
R_{f,g}(x_1) = 0
$$
由於 $x_1$ 有無窮多個，因此 $R_{f,g} = 0$，又因為 $f$ 為不可約，所以 $f|g$，證畢。

## Decomposition into Component

考慮 $f\in\mathbb{C}[X_1,X_2]$，因為 $\mathbb{C}[X_1,X_2]$ 為 UFD
$$
f = \prod_{1\leq i\leq n}f_i^{k_i}
$$
因此有
$$
V(f) = \bigcup_{1\leq i\leq n}V(f_i^{k_i}) = \bigcup_{1\leq i\leq n}V(f_i)
$$

### Definition
曲線 $C\leq\mathbb{C}^2$ 為 irreducible 當且僅當存在相異曲線 $C_1, C_2$ 使得 $C=C_1\cup C_2$

### Lemma
$V(f)$ 為 irreducible 當且僅當存在不可約 $g\in\mathbb{C}[X_1,X_2]$ 使得 $f=g^k, k>0$

proof.

考慮 $f=\prod_{1\leq i\leq n}f_i^{k_i}$ 為質因子分解，且任兩項不 associated，那麼
$$
V(f) = \bigcup_{1\leq i\leq n}V(f_i)
$$
又因為 $V(f)$ 不可約，因此 $V(f_i)=V(f_j),\forall i,j$
根據 Study's lemma $f_i|f_j\forall i,j$，因此 $n=1$，$f=f_1^{k_1}$ 證畢。

### Theorem
任何代數曲線有形式 $C=\bigcup_i C_i$ 其中 $C_i$ 不可約，且這種形式在項的重排列下是唯一的。 我們稱 $C_i$ 為 $C$ 的 irreducible component

### Corollary
考慮 $f=\prod_i f_i^{k_i}$ 為質因子分解，若 $V(f) = V(g)$ 則 $g = \lambda\prod_i f_i^{l_i}$ for $\lambda\in\mathbb{C}^\times$

Remark.

我們可以稱對應的 $k_i$ 為 $C_i$ 的 multiplicity，幾何上我們會丟失多項式的multiplicity，但我們可以把它加入討論。
$$
f = \prod_i f_i^{k_i} \mapsto \sum k_i C_i
$$
我們稱右手邊的項為一個 divisor in $\mathbb{C}$，如果 multiplicity 均非負我們稱之為一個 effective divisor.

## Degree

透過前面的討論我們可以將某個 affine curve 的幾何訊息和它所對應的多項式關連起來。確切來說，因為 $V(f) = V(f^k)$，這樣的多項式並不是唯一的，但我們可以找出對應的最小多項式。

### Minimal Polynomial

如果 $C=V(f)$ 且 $f$ 不可約，那麼 $f$ 被定義為 $C$ 的 minimal polynomial (最小多項式)。
在更高維度代數幾何的討論中，將所有零點集包含 $C$ 的多項式所蒐集起來，稱做 $f$ 所生成的主理想，符號記為
$$
I(C) = \{h\in\mathbb{C}[X_1,X_2]: h|_C = 0\} = \langle f\rangle
$$

### Line Intersaction

令 $L\subseteq \mathbb{C}^2$ 為一條線 (affine subset)，這條線可以被參數化
$$
\phi:\mathbb{C}\rightarrow L\subseteq \mathbb{C}^2\\
t\mapsto (\phi_1(t),\phi_2(t))
$$
其中 $\phi_i=\lambda_i T\in\mathbb{C}[T]$ 為線性多項式。
考慮 $g(T):=f(\phi_1(T),\phi_2(T))$，其中 $g=0\iff L\subseteq V(f)$
並且 $\deg g\leq\deg f=\deg C$，重寫
$$
f=\sum_{0\leq i\leq n}f_{(i)}\\
f_{(d)}:= \sum_{k_1+k_2=d}a_{k_1,k_2}x_1^{k_1}x_2^{k_2}
$$
$f_{(d)}$ 被稱作 $f$ 的一個 homogenius part (齊次項) of degree $d$
因而有
$$
g(T) = f(\phi_1(T),\phi_2(T))\\
=\sum_{0\leq i\leq n} f_{(i)}(\lambda_1,\lambda_2)T^i
$$
利用 dehomogenize 的技巧，容易把代數基本定理擴充到齊次多項式
$$
f_{(d)} = \prod_{1\leq i\leq d}(b_iX_1+c_iX_2)
$$
這代表其零點在 $\mathbb{P_1(C)}$上是有限的
$$
\{\frac{\lambda_1}{\lambda_2}:f_{(d)}(\lambda_1,\lambda_2)=0\}<\infty
$$

因此在大多數的情況下，除了有限條例外的線，如果 $f$ 為最小多項式且 $g$ 沒有重根，那麼 $\deg g=|L\cap C|=\deg f$

## Projective Closure

給定一個 field $K$，其上的 projective plane (射影平面) $\mathbb{P_2}(K)$ 為所有 $K^3$ 中通過 $0$ 的直線蒐集
$$
\{(x_0:x_1:x_2):x_i,y_i\in K,(x_0:x_1:x_2)=(y_0:y_1:y_2)\iff y_i=\lambda x_i \}
$$

我們總是有一個從 $K^2$ 到 $\mathbb{P_2}(K)$ 的 embedding
$$
\iota:K^2\hookrightarrow\mathbb{P_2}(K)\\
(x_1,x_2)\mapsto (1:x_1:x_2)
$$
這些點外，剩下的點可以被視為無窮遠點
$$
\mathbb{P_2}(K)-\iota(K_2)=\{(0:x_1:x_2)\in\mathbb{P_2}(K)\}
$$

相似地，對於一個齊次多項式 $F\in K[X_0,X_1,X_2]$，我們可以定義對應的曲線
$$
V(F):=\{(x_0:x_1:x_2)\in\mathbb{P_2}(K): F(x_0,x_1,x_2)=0\}
$$
我們稱它是一個 projective algebraic curve (射影代數曲線)

> 我們需要 $F$ 是齊次來使得這是 well defined 的

對於 $f\in K[X_1,X_2]$ 我們定義它的 homogenization (齊次化)為
$$
F = X_0^n f(\frac{X_1}{X_0},\frac{X_2}{X_0})
$$
顯然 $F$ 是齊次的，並且
$$
f = F(1,X_1,X_2)
$$

透過齊次化的方法，我們定義 affine curve 的 projective closure如下
對於 $C = V(f)\subseteq \mathbb{C}^2$ 為一條 affine curve 且 $F$ 為 $f$ 的齊次化，那麼
$$
C:=V(F)\subseteq\mathbb{P_2}(C)
$$
被稱為 $C$ 的 projective closure (齊次閉包)

> 例子從略

類似地，我們也可以考慮射影曲線上的 irreducible decomposition

### Lemma

考慮 $f\in K[X_1,X_2]$ 且 $F\in K[X_0,X_1,X_2]$ 為 $f$ 的齊次化，那麼 $f$ 不可約 $\iff F$ 不可約

proof.

如果 $F$ 可約，那麼 $F=G\cdot H$，因為 $F$ 為齊次 $G, H$ 皆為齊次，故
$$
f = F(1,X_1,X_2) = G(1,X_1,X_2)\cdot H(1,X_1,X_2)\\
g(x_1,x_2)\cdot h(x_1,x_2)
$$
因此 $f$ 可約

### Automorphism

對於 $\mathbb{P}GL(K):=GL_3(K)/\{\lambda I:\lambda\in\mathbb{C}^\times\}$ 作用在 $\mathbb{P_2}$(K) 上，透過矩陣乘法
$$
A\in\mathbb{P}GL_3(K), A(x_0:x_1:x_2)\in\mathbb{P_2}(K)
$$

實際上，$\mathbb{P}GL_3(\mathbb{C})$ 為 $\mathbb{P_2(C)}$ 的 automorphism group。

### Line Intersaction

類似地，透過旋轉平移，可以考慮 $L=V(X_2)$
$$
F(X_0,X_1,X_2) = F_0X_2^n+F_1X_2^{n-1}+...+F_n,\\F_i\in\mathbb{C}[X_0,X_1]
$$
那麼
$$
\begin{equation}
\cases{X_2=0\\F(X_0,X_1,X_2)=0}\iff
\cases{X_2=0\\F_n(X_0,X_1)=0}
\end{equation}
$$