# Артефакт 2, NM lab @ 03.10.19

### Evgeny Sorokin, BS4-DS2

## Артефакты

1) $||x^k - x^*|| \le \frac{||\alpha||}{1 - ||\alpha||} ||x^k - x^{k-1}||$
2) $||x^k - x^*|| \le \frac{||\alpha||^{k+1}}{1 - ||\alpha||} ||b||$
3) $\frac{||\alpha||^{k+1}}{1 - ||\alpha||} ||b|| \le \epsilon$

2й уже доказан, осталось привести к третьему.

Ресурсы: __Численные методы в примерах и задачах__, глава 1.3 Итерационные методы

***

1) $||x^k - x^{k-1}|| < \epsilon$
2) $||x^k - x^*|| < \epsilon$
3) $\frac{1 - ||\alpha||}{||\alpha||}||x^k-x^*|| \ge ||x^{k+1}-x^k||$, from equation 1
4) As $||x^k - x^{k-1}|| < \epsilon$, value of $\frac{1 - ||\alpha||}{||\alpha||}$ alters the situation in the equation above
5) $\frac{1 - ||\alpha||}{||\alpha||}||x^k-x^*|| \ge ||x^{k+1}-x^k|| \equiv \frac{1 - ||\alpha||}{||\alpha||}\epsilon \ge ||x^{k+1}-x^k|| \equiv \epsilon \ge \frac{||\alpha||}{1 - ||\alpha||}||x^{k+1}-x^k|| \equiv \epsilon \ge \frac{||\alpha||^{k+1}}{1 - ||\alpha||} ||b||$