# MHP110學年度指定科目模擬考試-數學甲參考解答
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## 參考簡答

### 單選題與多選題

| 題號 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|:----:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|
| 答案 | 3 | 5 | 2 | 2,5 | 2,4 | 1,5 | 2,4 | 3,5 |

### 選填題

A.-10
B.${11 \over 15}$
C.155

### 非選擇題

一、
(1)$z=0$
(2)$4$
(3)請參照詳解
(4) $(2,2,4)$ 或 $(2,2,-4)$

二、
(1)$(0,-4)$
(2)0,$\frac{\sqrt6}{2}$,$-\frac{\sqrt6}{2}$
(3)略
(4)$2\pi$
## 參考詳解

### 單選題
1.答案:(3)
難度:易
詳解：
step 1.列表
<!---->

| 歌手 | 歌曲 | 彥彥成功率 | 成功的報酬 | 失敗的代價 | 獲利的期望值 |
| :------: | :----------------: | :----------: | :----------: | :----------: | :------------: |
| 周興哲 | 如果雨之後 | 50% | $1,500 | -$1,200 | $1,500\times 50\%$+$(-1,200)\times50%(失敗機率)=150$ |
| 鄧紫棋 | 光年之外 | 40% | $1,200 | -$800 | $1,200\times 40\%$+$(-800)\times60\%(失敗機率)=0$ |
| 林俊傑 | 因你而在 | 60% | $800 | -$500 | $800\times60\%$+$(-500)\times40\%(失敗機率)=280$ |
| 田馥甄 | 寂寞寂寞就好 | 50% | $1,000 | -$700 | $1,000\times50\%$+$(-700)\times50\%(失敗機率)=150$ |
| 八三夭 | 想見你 | 80% | $600 | -$400 | $600\times80\%$+$(-400)\times20\%(失敗機率)=400$ |
| 盧廣仲 | 刻在我心底的名字 | 70% | $700 | -$500 | $700\times70\%$+$(-500)\times30\%(失敗機率)=340$ |
| 華晨宇 | 易燃易爆炸 | 30% | $1,400 | -$200 |$1,400\times30\%$+$(-200)\times70\%(失敗機率)=280$ |

step 2.將所有歌曲獲得的期望值相加(注意第五首歌的期望值要*2)
step 3.綜合以上，可以得知(3)的期望值最高

2.答案:(5)
難度:中
詳解:
<!---->

為方便說明請注意以下名稱：
∠A=∠BAC
∠B=∠ABC
∠C=∠ACB

(1)
1.$secA={-5 \over 3}$ ，所以 $cosA={-3 \over 5}$ ，故$sinA={4 \over 5}$，故角A為鈍角
2.$cotB={12 \over 5}$，$tanB={5 \over 12}$，所以$cosB={12 \over 13}$ ，$sinB={5 \over 13}$，故角B為銳角
根據1.2.得到&ang;C為銳角

(2)
$cosA={-3 \over 5}$，$cscB={13 \over 5}$，$cosA+cscB={-3 \over 5}+{13 \over 5}=2$

(3)
$sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB={4 \over 5}{12 \over 13}+{-3 \over 5}{5 \over 13}={33 \over 65}$

(4)
$sec3A={1 \over cos3A}={1 \over 4cos^3A-3cosA}={125 \over 117}$

(5)
$\overline{AB}:\overline{BC}:\overline{CA}=c:a:b=sinC:sinA:sinB={33 \over 65}:{4 \over 5}:{5 \over 13}=33:52:25$

3.答案:(2)
難度:中偏難
詳解:
$∠CAD=∠(θ+60°)$

$sin∠CAD=∠(θ+60°)=sinθ+60°=12sinθ+32cosθ$

$∆ACD$面積=$12×AC×AD×sin∠CAD$
$=\frac{1}{2}\times1\times2cos\theta\times\left(\frac{1}{2}sin\theta+\frac{\sqrt3}{2}cos\theta\right)$
$=\frac{1}{2}sin\theta cos\theta+\frac{\sqrt3}{2}{cos}^2\theta$
$=\frac{1}{4}sin2\theta+\frac{\sqrt3}{2}\left(\frac{cos2\theta+1}{2}\right)$
$=\frac{1}{4}sin2\theta+\frac{\sqrt3}{4}cos2\theta+\frac{\sqrt3}{4}$
$=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}sin2\theta+\frac{\sqrt3}{2}cos2\theta\right)+\frac{\sqrt3}{4}$
$=\frac{1}{2}(sin2θ+60°)+\frac{\sqrt3}{4}$
當$\theta=15°$時，面積有最大值=$\frac{1}{2}+\frac{\sqrt3}{4}$，面積最小值則=$0$
(1) $∠CDB$之度數=$60°$(與$∠CAB$對同弧)
(2) $△ACD$的面積之值落在$0$到$\frac{1}{2}+\frac{\sqrt3}{4}$，故$△ACD$的面積可能為$0.8$是合理的
(3) 可知$S(θ)$有最大值時，$\theta=15°$
(4) 當$\theta=15°$時，$△ACD$的面積=$△BCD$的面積
(5) 可知$S(θ)$有最大值時，$△ACD$的面積=$\frac{1}{2}+\frac{\sqrt3}{4}<1$

### 多選題
4.答案:(2)(5)
難度:中
詳解:

5.答案:(2)(4)
難度:中偏難
詳解:
<!---->

(1) 錯誤，$P(sin\mathrm{\theta},cos\mathrm{\theta},0)$到原點的直線斜率為$\frac{cos\theta}{sin\theta}$，又$L$為圓$C$的切線，故與$P$到原點的直線垂直，斜率為$-\frac{sin\theta}{cos\theta} (m1m2=-1)$，因過$P(sin\mathrm{\theta},cos\mathrm{\theta},0)$，且又要以空間座標系表示，因此切線方程式為$(sinθ)x+(cosθ)y=1z=0$

(2) 正確，切線$(sinθ)x+(cosθ)y=1z=0$ 交$x$軸於$(\frac{1}{sin\theta},0,0)$，交$y$軸於$(0,\frac{1}{cos\theta},0)$
三角形面積為$\frac{1}{2}\frac{1}{sin\theta}\frac{1}{cos\theta}=\frac{1}{sin2\theta}$，因為$0\mathrm{\le\theta\le}\frac{\mathrm{\pi}}{\mathrm{2}}$，$0\le\sin2\theta\le1$，故$1\le\frac{1}{sin2\theta}\le\infty$，故三角形面積最小值為$1$

(3) 錯誤，若要與平面$E$平行，代表切線$L$的向量要垂直於$E$的法向量，取$L$的向量為$(\frac{-1}{sin\theta},\ \frac{1}{cos\theta},0)$，取$(cos\theta,-sin\theta,0)$，而$E$的法向量為$(3,2,6)$，因要垂直，令這兩向量的內積=$0$，$3cos\theta-2sin\theta=0$，$tan\theta=\frac{3}{2}$

(4) 正確，承(3)，$tan\theta=\frac{3}{2}$，則可以得到$x=sin\theta=\frac{3}{\sqrt{13}}$，$y=cos\theta=\frac{2}{\sqrt{13}}$，
套入點到平面的公式則可以得到$\frac{|3\times\frac{3}{\sqrt{13}}+2\times\frac{2}{\sqrt{13}}+6\times0|}{\sqrt{3^2+2^2+6^2}}=\frac{\sqrt{13}}{7}$

(5) 錯誤，若與E的法向量平行，則$(cos\theta,-sin\theta,0)// (3,2,6)$，
$\frac{cos\theta}{3}=\frac{-sin\theta}{2}=\frac{0}{6}$，$cos\theta=0且sin\theta=0$，旦找不到$\theta$的實數解，故此$\theta$不存在

6.答案:(1)(5)
難度:難
詳解:

7.答案:(2)(4)
難度:難
詳解:

8.答案:(3)(5)
難度:難
詳解:
(1)(2) 不會，因正$n$邊形其中一個在複數平面上的頂點為$(1)$，實根在$(1), (-1)$兩處會不連貫，如圖：
<!---->
(3)因為：
$x^n=1, (x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+...+x+1)=0$
方程式$x^{n-1}+x^{n-2}+...+x+1=0$的根為$\omega,\omega^{2},..,\omega^{n-1}$，所以
$x^{n-1}+x^{n-2}+...+x+1=(x-\omega)(x-\omega^{2})...(x-\omega^{n-1})$
原式$=2(3^{n-1}+3^{n-2}+...+3+1)=2(\dfrac{1(3^n-1)}{3-1})=3^n-1$

(4) 將$n=4$代入得：$x^4=1, (x-1)(x^3+x^2+x+1)=0 \ \ \therefore\omega^3+\omega^2+\omega+1=0$
$\sum\limits_{k = 0}^n{(\dfrac{1}{3}\omega)^k}=\dfrac{1}{1-\dfrac{1}{3}\omega}=\dfrac{3}{3-\omega}=\dfrac{3(3+\omega)(3^2+\omega^2)}{(3-\omega)(3+\omega)(3^2+\omega^2)}=\dfrac{3\omega^3+9\omega^2+27\omega+81}{81-\omega^4}$
$=\dfrac{3(\omega^3+\omega^2+\omega+1)+6\omega^2+24\omega+78}{81-1}=\dfrac{6}{80}\omega^2+\dfrac{24}{80}\omega+\dfrac{78}{80}$
$\implies \alpha+\beta+\gamma=\dfrac{108}{80}=\dfrac{54}{40}$
(5) $\sum\limits_{k = 0}^{2021}{\omega^k}=1+\omega+\omega^2+\omega^3+...+\omega^{2021}$
$\because 1+\omega+\omega^2+\omega^3=0=\omega^{4k}+\omega^{4k+1}+\omega^{4k+2}+\omega^{4k+3}(k \in \mathbb{N}^0)$
$\therefore \sum\limits_{k = 0}^{2021}{\omega^k}=\omega^{2020}+\omega^{2021}=1+\omega$

### 選填題
A.答案:-10
難度:中偏難
詳解:

B.答案:${11 \over 15}$
難度:中偏易
詳解:
$P=P(紅比黑先取完) \cap P(紅比白先取完)(設紅比黑先取完為A, 紅比白先取完為B)$
$=P(A)+P(B)-P(A \cup B)$
$=\dfrac{5}{n+5}+\dfrac{4}{n+4}-\dfrac{9}{n+9}$
$=\lim\limits_{n\to 1}P=\dfrac{11}{15}$
<!---->

C.答案:155
難度:中
詳解:

### 非選擇題
一、
難度:中偏難
參考過程、答案與配分:
<!---->
(1)
平面$BCD$之法向量=$(1,0,0)\times(0,1,0)=(0,0,1)$
又$B(0,0,0)$，可得$BCD$平面為：$z=0$ (1分)
(2)

令$\overline{AB}=\overline{AC}=\overline {AD}=x$，則$cos\angle ABD=\frac{x^2+4^2-x^2}{2\times x\times4}=\frac{1}{\sqrt6}$，$x=2\sqrt{6}$ (1分)
令$\bar{CD}=y$，則$cos\angle DAC=\frac{{(2\sqrt6)}^2+{(2\sqrt6)}^2-y^2}{2\times(2\sqrt6)\times(2\sqrt6)}=\frac{2}{3}$，$y=4$ (1分)
(3)
自$A$作垂足$O$於$BCD$平面上(1分)
在$∆AOB$和$∆AOD$中：
$\bar{AB}=\overline{AD}$，$\overline{AO}=\overline{AO}$，$\angle AOB=\angle AOD=90°$
$\therefore∆AOB≅∆AOD$($RHS$全等)，則$\overline{OB}=\overline{OD}$，同理可得$\overline{OD}=\overline{OC}$ (2分)
故$O$為$∆BCD$之外心($A$在$BCD$平面的投影點為$△BCD$之外心) (1分)
(4)
步驟一：
在$∆BAC$中，使用正弦定理：$\overline {BC}sin∠BAC=2R=2×3$，則$\overline{BC}=4\sqrt2$ (1分)
步驟二：
因$B(0,0,0)$，$D(4,0,0)$，又$\overline{BD}=\overline{CD}=4$，$\overline {BC}=42$，則$C=(4,4,0)$($a>0,b>0$)
(算出$C=(4,4,0)$可得1分)
步驟三：
又$A$在$BCD$平面的投影點$O$為$△BCD$之外心，且為$\overline {BC}$之中點，則$A$在$BCD$平面的投影點坐標$O=(4,2,0)$ (算出$O=(4,2,0)$可得1分)
步驟四：
$d(A,O)=\sqrt{{(\overline {AD})}^2-{(\overline {OB})}^2}=\sqrt{{(2\sqrt6)}^2-{(2\sqrt2)}^2}=4$ (1分)
步驟五：
因$\overline {OA}$平行於$BCD$平面之法向量，則：$A=(2,2,4)$或$(2,2,-4)$ (1分)

非選擇題第一大題評分標準說明：
(1)	
答案正確可得1分，答案錯誤者得0分。
(2)	
A.僅正確使用餘弦定理去求x，但答案錯誤。該小題共可得0.5分。
B.僅正確使用餘弦定理去求x，且答案正確。該小題共可得1分。
C.正確求出x，並使用餘弦定理去求y，但答案錯誤。該小題共可得1.5分。
D.正確求出x，並使用餘弦定理去求y，且答案正確。該小題共可得2分。
E.正確使用餘弦定理去求x，且正確使用餘弦定理去求y，但x,y的答案皆錯誤。 該小題共可得1分。
(3)	
A.若未證明∆AOB和∆AOD全等，扣1分。若未寫RHS全等，斟酌扣0.5分。
B.其餘部分按照參考答案評分，證明過程若有些許錯誤，每個錯誤按情節大小斟酌扣0.5至1分。
(4)	
A.步驟一：僅正確使用正弦定理去求線段BC，但答案錯誤。該小題可得0.5分。
；正確使用正弦定理去求線段BC，且答案正確。該小題可得1分。
B.步驟二：算出C=(4,4,0)可得1分，過程中若有說明不清楚，可斟酌扣0.5分。
；若說明過程適當合理，僅C點坐標算錯，該小題可得0.5分。
C.步驟三：算出O=(2,2,0)可得1分，過程中若有說明不清楚，可斟酌扣0.5分。
；若說明過程適當合理，僅O點坐標算錯，該小題可得0.5分。
D.步驟四：算出d(A,O)=4可得1分，答案錯誤則得0分。
E.步驟五：正確求出A點坐標兩組解，得1分；僅正確求出一組解，得0.5分；若兩組解皆未正確求出，得0分。

二、
難度:中偏難
參考過程、答案與配分: