# MHP110學年度指定科目模擬考試-數學乙參考解答

* 有問題者請直接在反白留言回應，感謝合作！
* 難度趨近於109，先檢討再埋怨自己的成績(?
* 參與出題小編：MHPJ

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## 參考簡答

### 單選及多選題

| 題號 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| :----: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 答案 | 4 | 5 | 5 | 2,5 | 1,3,5 | 3,4 |

* 第4題選項4因題目圖表的數值不清故該選項送分！！！

### 選填題

A.2
B.${2 \sqrt{5}}$,${\sqrt{5}}$
C.${-\sqrt{3} \over 2}$
D.14

### 非選擇題
一、
(1)${5 \over 12}$
(2)請參照詳解
(3)${329 \over 72}$
二、
(1)玩家可得到的最高分數為$4x+5y$，其餘請參照詳解
(2)請參照詳解
(3)銅礦區派6人，鐵礦區派4人，玩家最高得分為44分

## 參考詳解

### 單選題
1.答案:(4)
難度:中偏易
詳解：

2.答案:(5)
難度:中偏易
詳解:

3.答案:(5)
難度:中
詳解:

### 多選題
4.答案:(2)(5)
難度:易
詳解:
<!---->
(1) 錯誤，觀察圖表可以發現2019年12/21日的AQI值超過1000
(2) 正確，由圖表可以發現2020年1月1、2、3、5、6日共5日的AQI值皆超過1500
(3) 錯誤，由圖表可以發現15號前還有一些天的AQI值比15號的低
(4) **送分**，**由圖表無法清楚判斷1/3號與1/5的AOI變化率故本選項送分**
(5) 正確，前面日子的AQI差值大部分為較大的正值；後面日子的AQI值差值大部分為較小的正值或負值，故繪製「日子對AQI差值的點狀圖」後可以發現資料的相關係數為負值

5.答案:(1)(3)(5)
難度:難
詳解:
<!---->

(1) 正確，由$A$走到$B$為全事件，故機率為$1$

(2) 錯誤，由右圖可知(路徑上的數字表走到該路徑的機率，經過仔細計算可以得到右圖的所有路徑的機率)，到$D$點的機率為左邊的路徑的機率$\frac{29}{128}$加上$\frac{35}{256}$的機率為$\frac{93}{256}$

(3) 正確，因為從$D$點走到$B$點也只有一條路，故(2)的機率與經由D點走到B點的機率一樣皆為$\frac{93}{256}$

(4) 錯誤，經過$E$點的機率為$1-\frac{93}{256}=\frac{163}{256}$，經過$E$點的機率較大

(5) 正確，如圖，從$C$點到$D$點再到$B$點，或者是從$C$點到$E$點再到$B$點，走上兩個不同路徑的可能機率皆為$\frac{35}{256}$，故兩者機率相同

6.答案:(3)(4)
難度:中
詳解:
<!---->
(1) 錯誤，當自乘的數$1.5$的絕對值大於$1$時，此級數為發散
(2) 錯誤，當自乘的數$1.5$的絕對值大於$1$時，此級數為發散
(3) 正確，當$n$趨近於無限大，$1+2+3….+2n=\infty，\frac{1}{\infty}=0$，故此級數收斂
(4) 正確，$\sum_{\mathrm{n=1}}^{\mathrm{\infty}}\frac{\mathrm{7}}{{\mathrm{20}}^\mathrm{n}}+\sum_{\mathrm{n=1}}^{\mathrm{\infty}}\frac{\mathrm{12}}{{\mathrm{20}}^\mathrm{n}}$=$\frac{\frac{7}{20}}{1-\frac{1}{20}}$+$\frac{\frac{12}{20}}{1-\frac{1}{20}}$=$\frac{7}{19}+\frac{12}{19}$=$1$
(5) 錯誤，$\lim\limits_{n\to \infty}{\left(\frac{\mathrm{1}}{\sqrt{\mathrm{n}^\mathrm{3}\mathrm{+1} }}\mathrm{+} \frac{\mathrm{1} }{\sqrt{\mathrm{n}^\mathrm{3}\mathrm{+2} }}\mathrm{+\ldots+} \frac{\mathrm{1} }{\sqrt{\mathrm{n}^\mathrm{3}\mathrm{+n} }}\right)}\le\frac{\mathrm{n} }{\sqrt{\mathrm{n}^\mathrm{3}\mathrm{+n} }}=\frac{\mathrm{n}}{n\sqrt{\mathrm{n+}\frac{1}{n}}}=\frac{1}{\sqrt n}=0$(因為當n趨近無限大時，$\frac{1}{n}=0$，$\frac{1}{\sqrt n}$也為0)

### 選填題
A.答案:2
難度:易
詳解:
可列式：
$$0.9Q_0=Q_0(1-10^{-^t/_2})$$
$0.9=1-10^{-^t/_2}$
$10^{-^t/_2}=0.1, -\dfrac{t}{2}=-1, t=2$

B.答案:(${2 \sqrt{5}}$,${\sqrt{5}}$)
難度:易
詳解:
<!---->
設$P$點為$(2y,y)$
法一：
因為$\angle APB$為直角，我們知道$P$到$A(0,5)$的直線斜率及$P$到$B(0,-5)$的直線斜率之乘積為$-1$
故可以列出下列式子：
$\frac{y-5}{2y-0}\times\frac{y-(-5)}{2y-0}=-1$
則可以求出$y=\sqrt5，x=2y=2\sqrt5$
故$P$點座標為$(2\sqrt5,\ \sqrt5)$
法二：
因為$\angle APB$為直角，我們知道$P$到$A(0,5)$的向量$\overline {AP}=(2y,y-5)$及$P$到$B(0,-5)$的向量$\overline{BP}=(2y,y+5)$之內積為$0$，故可以列出下列式子：
$\left(2y,y-5\right)\bullet\left(2y,y+5\right)=0$
${4y}^2+y^2-25=0$
則可以求出$y=\sqrt5，x=2y=2\sqrt5$
故$P$點座標為$(2\sqrt5,\ \sqrt5)$

C.答案:${-\sqrt{3} \over 2}$
難度:中
詳解:

D.答案:14
難度:中偏難
詳解:

### 非選擇題
一、
難度:中偏難
參考過程、答案與配分:
* (1)列出表得2分，得出機率得2分
* (2)列出正確的表得4分，錯0-3格得3分，錯4-6格得2分，錯7-10個得1分，錯11-全錯得0分
* (3)列出式子得3分，得出正確數字得2分

二、
難度:中
參考過程、答案與配分:
<!--
-->

給分方式：
1. 寫出完整條件給3分，少一個扣1分扣完為止，其中x、y為整數沒寫不扣分。
2. 寫出玩家可以得到的分數給1分。

給分方式：
1. 畫出x、y軸及原點並標明清楚給1分。
2. 標明清楚且正確的方程式給1分。
3. 標明所有正確的交點給1分。
4. 利用斜線或圖示標明正確的可行解區域給1分。

$(3)$
給分方式：
1. 平行線法或頂點法過程給2分。
2. 寫出一個區正確應派的人數給1分，最高給2分。
3. 寫出正確的最高分數給1分。