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title: 1. Existenz eines eindeutigen Fixpunktes

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Ein Fixpunkt von $f$ ist ein Punkt $(x,y)$, für den ${ f(x,y)=(x,y)}$ gilt.

# 1. Existenz eines eindeutigen Fixpunktes

Wir prüfen die Voraussetzungen des Banach'schen Fixpunktsatzes.

1.  Die Menge $D$ ist abgeschlossen.

2. Die Funktion $f$ ist eine Selbstabbildung auf $D$.

3. Die Funktion $f$ ist eine Kontraktion.

## Selbstabbildung

Wir prüfen die zweite Bedingung, also ob $f = f_{\boldsymbol{c}}$ eine *Selbstabbildung* auf $D$ ist, was von den Parametern $c_1,c_2 \in \R$ abhängt. Dafür können wir die einzelnen Summanden der Komponenten separat untersuchen. 

Wir betrachten zuerst die Funktion $\tilde{f}_1(x,y)= {{Exmpl[0][fun10La]}}$, welche in $x$ monoton {{Exmpl[0][Extrema][xVerhalten]}} ist. Dementsprechend gilt
$$
\max\limits_{(x,y)\in D}\tilde{f}_1(x,y)= \max\limits_{y\in [0,1]}\tilde{f}_1{{Exmpl[0][Extrema][Argmax]}}\quad\text{und}\quad\min\limits_{(x,y)\in D}\tilde{f}_1(x,y)= \min\limits_{y\in [0,1]}\tilde{f}_1{{Exmpl[0][Extrema][Argmin]}}.
$$

Die Parabel $\tilde{f}_1{{Exmpl[0][Extrema][Argmin]}}={{Exmpl[0][Extrema][f10minsubsx]}}$ ist monoton {{Exmpl[0][Extrema][yVerhalten]}} in $y$ mit Minimum in $y = {{Exmpl[0][Extrema][yMin]}}$. Betrachten wir nun das Maximum, die Parabel $\tilde{f}_1{{Exmpl[0][Extrema][Argmax]}}={{Exmpl[0][Extrema][f10maxsubsx]}}$ ist ebenso monoton {{Exmpl[0][Extrema][yVerhalten]}}  in $y$ mit Maximum in $y = {{Exmpl[0][Extrema][yMax]}}$. Insgesamt erhalten wir die Abschätzung:
$$
0 \stackrel{!}{\leq} 
{\color{blue}{{Exmpl[0][min][sharpLa]}}}
\stackrel{{{Exmpl[0][min][posLa]}}}{\leq} \displaystyle {{Exmpl[0][funLa]}} 
\stackrel{{{Exmpl[0][max][posLa]}}}{\leq} {\color{blue}{{Exmpl[0][max][sharpLa]}}}
\stackrel{!}{\leq} 1
\qquad \leadsto \qquad
{\color{blue}{{{minc1}}}} \leq c_1 \leq {\color{blue}{{{maxc1}}}}
\qquad \Longrightarrow \qquad
\frac{1}{10}\left({{Exmpl[0][fun10La]}}\right) \in [0,1]
$$

Auf diese Weise stellen wir $\frac{1}{10}\left({{Exmpl[0][fun10La]}}\right) \in [0,1]$ sicher.

Analog betrachten wir die Funktion $\tilde{f}_2(x,y)= {{Exmpl[1][fun10La]}}$, welche in $y$ monoton {{Exmpl[1][Extrema][yVerhalten]}} ist. Dementsprechend gilt
$$
\max\limits_{(x,y)\in D}\tilde{f}_2(x,y)= \max\limits_{x\in [0,1]}\tilde{f}_2{{Exmpl[1][Extrema][Argmax]}}\quad\text{und}\quad\min\limits_{(x,y)\in D}\tilde{f}_2(x,y)= \min\limits_{x\in [0,1]}\tilde{f}_2{{Exmpl[1][Extrema][Argmin]}}.
$$

Die Parabel $\tilde{f}_2{{Exmpl[1][Extrema][Argmin]}}={{Exmpl[1][Extrema][f10minsubsy]}}$ ist monoton {{Exmpl[1][Extrema][xVerhalten]}} in $x$ mit Minimum in $x = {{Exmpl[1][Extrema][xMin]}}$. Betrachten wir nun das Maximum, die Parabel $\tilde{f}_2{{Exmpl[1][Extrema][Argmax]}}={{Exmpl[1][Extrema][f10maxsubsy]}}$ ist ebenso monoton {{Exmpl[1][Extrema][xVerhalten]}}  in $x$ mit Maximum in $x = {{Exmpl[1][Extrema][xMax]}}$. Insgesamt erhalten wir die Abschätzung:
$$
0 \stackrel{!}{\leq} 
{\color{blue}{{Exmpl[1][min][sharpLa]}}}
\stackrel{{{Exmpl[1][min][posLa]}}}{\leq} \displaystyle {{Exmpl[1][funLa]}} 
\stackrel{{{Exmpl[1][max][posLa]}}}{\leq} {\color{blue}{{Exmpl[1][max][sharpLa]}}}
\stackrel{!}{\leq} 1
\qquad \leadsto \qquad
{\color{blue}{{{minc2}}}} \leq c_2 \leq {\color{blue}{{{maxc2}}}}
\qquad \Longrightarrow \qquad
\frac{1}{10}\left({{Exmpl[1][fun10La]}}\right) \in [0,1]
$$

Auf diese Weise stellen wir $\frac{1}{10}\left({{Exmpl[1][fun10La]}}\right) \in [0,1]$ sicher.

Genau unter diesen Einschränkungen an $c_1$ und $c_2$ gilt dann $f(x,y)\in D$ für alle $(x,y)\in D$, sodass $f$ eine Selbstabbildung auf $D$ ist.

## Kontraktion

Es bleibt die letzte Bedingung des Banach'schen Fixpunktsatzes zu überprüfen.

Dazu reicht es zu zeigen, dass $f$ Lipschitz-stetig bzgl. einer Norm $\Vert \cdot\Vert$ mit Lipschitz-Konstante $\lambda <1$ ist. 
Da $f$ stetig differenzierbar auf $D$ ist, ist die optimale Lipschitz-Konstante gegeben durch $\lambda = \sup_\limits{(x,y)\in D}\Vert Df(x,y)\Vert$.
Dazu berechnen wir zunächst die Jacobi-Matrix:$$ 
Df(x,y) =\frac{1}{10} {\color{blue}{{Df10La}}}.
$$

Berechnen wir die {{zeilenSpalten}}-Norm:
$$
\begin{aligned}
\lambda = \sup_{(x,y)\in D}\left\| Df(x,y)\right\|_{{{pLa}}} &=\frac{1}{10}\sup_{(x,y)\in D}\max\left\{ {{Df10Norm1}},{{Df10Norm2}}\right\}\\
&=\frac{1}{10}\max\{ {{Df10Est1}},{{Df10Est2}}\}\\
&=\color{blue}{{{LipLa}}}
\end{aligned}
$$

Mit deren Hilfe können wir nachweisen, dass für $(x,y), (x',y') \in D$ gilt
$$
\left\|f(x,y) - f(x',y')\right\|_{{{pLa}}} \leq \lambda \cdot \left\|(x,y)^\top - (x',y')^\top\right\|_{{{pLa}}} \,,
$$
            
wobei $\lambda =\color{blue}{{{LipLa}}}$ der kleinstmögliche Wert ist.
Man nennt $\lambda$ eine Lipschitz-Konstante für $f$ bzgl. der ${{pLa}}$-Norm $\| \cdot \|_{{{pLa}}}$ auf $D$.

Der Fixpunktsatz liefert nun die Existenz eines eindeutigen Fixpunktes $(x^\ast,y^\ast)$ von $f$ auf $D$.

# 2. Fehlerabschätzung der Fixpunktiteration

Die *a priori*-Fehlerabschätzung des Banach'schen Fixpunktsatzes besagt
$$\tag{1}
\left\|\boldsymbol{x}^{(n)} - \boldsymbol{x}^\ast\right\|_{{{pLa}}} \leq \frac{\lambda^n}{1-\lambda}\left\|\boldsymbol{x}^{(1)} - \boldsymbol{x}^{(0)}\right\|_{{{pLa}}} \,.
$$

Im Fall von $\boldsymbol{x}^{(0)} = \boldsymbol{0}$ sowie Parametern $c_1 = {{c1val}}$ und $c_2 = {{c2val}}$  ist
$$
\boldsymbol{x}^{(1)} = f(\boldsymbol{0}) = {\color{blue} {{P1La}}}^\top 
\qquad\leadsto\quad \|\boldsymbol{x}^{(1)}-\boldsymbol{x}^{(0)}\|_{{{pLa}}} = \left\Vert {{P1La}}^\top \right\Vert_{{{pLa}}} = {\color{blue}{{dist1La}}}\,.
$$

Um nun mithilfe von $(1)$ die Fehlerschranke
$$
\left\|\boldsymbol{x}^{(n)} - \boldsymbol{x}^\ast\right\|_{{{pLa}}} \leq {{epsLa}} =: \varepsilon
$$

zu garantieren, suchen wir $n \in \N$, sodass
$$
\begin{aligned}
\frac{\lambda^n}{1-\lambda}\left\|{{P1La}}^\top \right\|_{{{pLa}}} \leq \varepsilon
&\quad\Longleftrightarrow\quad
\lambda^n \leq \frac{(1-\lambda)\varepsilon}{\left\|{{P1La}}^\top \right\|_{{{pLa}}}}
\quad\Longleftrightarrow\quad
n \cdot \underbrace{\log\lambda}_{< 0}
  \leq \log\left(\frac{(1-\lambda)\varepsilon}{\left\|{{P1La}}^\top \right\|_{{{pLa}}}}\right) \\
&\quad\Longleftrightarrow\quad
n \geq \frac{\log\left(\frac{(1-\lambda)\varepsilon}{\left\|{{P1La}}\right\|_{{{pLa}}}}\right)}{\log \lambda} \approx {{n0approx}} \,.
\end{aligned}
$$

Also ist $\;n_0 = \color{blue}{{{n0}}}\;$ der gesuchte Index.