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# System prepended metadata

title: 傅立葉級數對軌跡參數化
tags: [系統鑑別, ' Fourier', ' LST']

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tags: 系統鑑別, LST, Fourier
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傅立葉級數對軌跡參數化
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[J. Swevers, C. Ganseman, J. De Schutter, and H. Van Brussel, “**Experimental robot identification using optimised periodic trajectories**,” Mechanical Systems and Signal Processing, vol. 10, pp. 561-577, September 1996.](https://reader.elsevier.com/reader/sd/pii/S0888327096900394?token=468CBED47B67EB7E0EC6E71F9EB337F8627CCFD4D67BC1BA1CDA8532D798906C48BFA38149A8A6CE17A4CE336FF36D9A)
- <font size = 4>**Step 1 建立系統Model**</font>
        <img src = https://i.imgur.com/8FpzVaH.png class="ph">

- <font size = 4>**Step 2 設定軌跡**</font>
        一般而言，針對機械手臂進行系統鑑別時，須提供特定軌跡命令給機械手臂個軸伺服馬達之驅動器，較好的軌跡其運行的角度範圍盡量越大越好，在限制的範圍內，盡可能達到個關節的最大值。
        在本論文中，使用傅立葉級數對軌跡參數化，其中 $i$ 表示第i關節，$N_i$ 表示弦波數目，$ω_f$ 表示基本頻率(depends on desired period and minimum frequency resolution)
        <img src = https://i.imgur.com/Vig9A2H.png class="ph">
        所以各關節的軌跡是有限的sin跟cos波的組合，這導致了軌跡是有限制(Bandlimited)並且具備週期性的。
        <img src = https://i.imgur.com/4SfER9b.png class="ph_7">
        
- <font size = 4>**Step 3 跑實驗**</font>
       一般力矩可以表示成![](https://i.imgur.com/NWYhRie.png)，前項重力參數，後項摩擦力參數在動態模型中均是線性的，也應此可以將兩者整合成一線性式子，![](https://i.imgur.com/dj2vCSm.png) , 這裡的![](https://i.imgur.com/nH44iM4.png)並非表示角度，而是參數矩陣，其中包含了未知的重力參數以及摩擦係數等。
        經過實驗之後可以從encoder中獲得角度，從電流命令獲得力矩大小。
        
- <font size = 4>**Step 4 計算角速度、角加速度**</font>
        若需要得知角速度、角加速度之資訊則需要經過以下的方式，設定需要擬合成幾階的傅立葉級數
        ![](https://i.imgur.com/iPh3Bzb.png)
        ， 因此(a,b)矩陣可以使用最小平方法求出，
        > $Aθ = q$
        > $θ=(A^T_{Total}A_{Total})^{-1}A^T_{Total}q_{total}$
        >
        在得知係數之後便可以利用
        <img src = https://i.imgur.com/huofYWc.png class="ph">
        <img src = https://i.imgur.com/V5xDXGY.png class="ph">
        獲取在各時間下的角速度以及角加速度。
        
- <font size = 4>**Step 5 計算各項參數**</font>
        <img src = https://i.imgur.com/8FpzVaH.png class="ph">
                ![](https://i.imgur.com/KrBZsvG.png)
        在得知個時間段的角度、角速度、角加速度以及力矩之後，便可以利用最小平方法將系統參數如慣量、黏滯參數等計算出來。
                <img src = https://i.imgur.com/ExiHF8d.png class="ph">