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title: Singular Perturbation analysis

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Singular Perturbation analysis
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    <font size = 3> 中文： 奇異攝動法 </font>  
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.ph{     
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- [Reference](https://zhuanlan.zhihu.com/p/107093458)
## 攝動法導論
想要了解攝動法，我們先要舉一個最簡單的例子小試牛刀下。



求以下一元二次方程的解：

<img src=https://i.imgur.com/eYPURMr.png class="ph">


其中![](https://i.imgur.com/G3fk4yF.png)很小比如說0.1。理論上可以用求根公式立刻得出：

<img src=https://i.imgur.com/yCiBpXc.png class="ph">

看起來就比較複雜。但是我們觀察原方程想到，如果沒有![](https://i.imgur.com/G3fk4yF.png)這一項該多好啊！聰明，這就是攝動法最原始的想法，把這一個很小的項當作對原方程的擾動，於是我們令，![](https://i.imgur.com/Z2708Vy.png)

帶入原方程，我們按照![](https://i.imgur.com/G3fk4yF.png)的冪次分類：

<img src=https://i.imgur.com/GU1Cyzc.png class="ph">


於是精確到一階小量，原方程的近似解為：

<img src=https://i.imgur.com/CncOWbx.png class="ph">

有同學說這個解和用求根公式算的解不一樣啊？當然不一樣，攝動法是近似方法。但是！我們如果將求根公式的根號項按![](https://i.imgur.com/G3fk4yF.png)的冪級數展開，整個結果保留一階小量就是攝動法的表達式。同樣，如果將攝動法的解按階數無限求下去，最後的結果也就是精確解的泰勒展開啊！

又有同學問了，求根公式我已經知道了，為啥還要用這種方法？

當然，這個問題很幸運，人類找到了精確的解析解，那如果一個方程在小量的干擾下沒有解析解呢（尤其是非線性問題）？

這時候，攝動法就可以有用武之地了。甚至有些情況，攝動法求得到精確解比解析解更加清晰有用。下面讓我們看看攝動法的具體介紹吧！

<font color = blue>**科學家往往能在復雜現像中抓住事物本質，抽像出最基本的物理模型。**</font>

如果足夠幸運，我們可以求出方程的解析解，找到物理規律。然而，為了描述更豐富的物理現象，我們不得不在這些基本的方程加入一些項，例如非線性項，耗散項，非齊次項。這些“不速之客”往往會破壞微分方程的可積性，使得解析解無處可尋。有時即便可以求出的解析解也太過複雜，無法幫助我們看清物理規律。一種解決方法，是動用數值計算來解決該問題。

誠然，隨著計算機技術的發展，數值計算可以達到很高的精度，但是要想通過數值模擬歸納出基本的物理規律還是很難。在尚未掌握物理規律時，如何設計數值算法亦是一個棘手的問題。

於是，攝動法作為一種<font color = blue>**有效近似精確解**</font>的解析方法，得到了廣泛的發展和運用。該方法起源於天體力學，用來計算小天體對於大天體運動之影響，後來廣泛用於流體力學，光學，量子力學，非線性控制理論等現代科學的各個領域，掌握其方法，無疑給我們的工具箱內增添一柄利器。



！！！！！！！劃重點！！！！！！！！

攝動法的重要概念：


**(1) 漸進展開（Asymptotic Expansion）:**

將函數![](https://i.imgur.com/d9Gtdci.png)

按照基函數

![](https://i.imgur.com/JALebTC.png) （Basis or Scale or Gauge Function）

展開到$n$項，若該展開式在

![](https://i.imgur.com/iSToqHh.png)( ![](https://i.imgur.com/iKwyMvC.png)往往取0）

的極限下，後一項是前一項關於![](https://i.imgur.com/G3fk4yF.png)的小量，則稱該展開為

![](https://i.imgur.com/JALebTC.png)

的$n$項漸進展開。基函數按照![](https://i.imgur.com/G3fk4yF.png)量級從大到小排序，取![](https://i.imgur.com/G3fk4yF.png)的冪級數最為常見。



**(2) 漸近展開 vs 級數展開：**

漸進展開強調的是有效，在極限![](https://i.imgur.com/iSToqHh.png)下，

前$n$項的截斷以量級從大到小的次序逼近原函數。

而級數展開強調的是收斂，即取的項數趨向於無窮，級數展開無限逼近原函數。

從二者的定義即可看出其優缺點：<font color = blue>**漸進展開不一定收斂，即若取無窮多項展開式可能發散。但是若僅僅取前幾項，其近似精確解的效率往往是極高的。**</font>而級數展開的收斂速度不一定快，這就意味著有時要取幾十項的截斷才能達到漸進展開只取一兩項的精度。但是取的項數越多，其精確性越高。故從求近似解的實用角度來看，漸進級數是非常有效的。



**(3) 一致有效：**

由於原函數![](https://i.imgur.com/d9Gtdci.png)不僅僅是![](https://i.imgur.com/G3fk4yF.png)的函數

還可能是空間坐標和時間的函數，所以這就涉及一致有效的概念。實際問題往往是[公式]給定，時間和空間坐標在一定區間內取值。

如果在![](https://i.imgur.com/NNN4lnL.png)極限下，

級數的量級次序發生改變，則稱該展開不是一致有效的。一個簡單的例子，在解弱阻尼的簡諧振動時，按照一般攝動法所得到的二項漸進展開式為

<img src=https://i.imgur.com/RqGU5Cf.png class="ph">

當取極限 ![](https://i.imgur.com/61fIrOm.png)

該近似解發散。進一步我們可以看到，

![](https://i.imgur.com/v3RiBq0.png)

即自變量極限與小參數極限不能交換次序，我們稱該漸進展開不一致。



**(4) 正則攝動法和奇異攝動法：**

一個方程中，各項（未知函數，函數各階導數和非齊次項）如果漸進展開均是一致有效的，則可僅對未知函數進行漸進展開，稱為正則攝動法。

反之，若存在某項展開不是一致有效的，若用正則攝動法，可能導致0階問題無解或者多解等與實際不符的問題。於是就需要採用其他更加精細的操作，這些方法稱之為奇異攝動法。常見的奇異攝動法有匹配展開法，多重尺度法，WKB法，參數變易法，平均法等等。


