# 3. Algebraische Strukturen und die reellen Zahlen

Wir werden die reellen Zahlen ($\mathbb{R}$) axiomatisch einführen:
1. $\mathbb{R}$ ist ein Körper.
2. $\mathbb{R}$ ist ein angeordneter Körper.
3. $\mathbb{R}$ ist ein angeordneter Körper, der das Archimedesaxiom erfüllt.
4. $\mathbb{R}$ ist ein vollständiger und angeordneter Körper, der das Archimedesaxiom erfüllt.

## 3.1. Innere Kompositionen
### Definition 3.1.1 (innere Komposition)
M sei Menge. Eine Abbildung $\circ: M \times M \rightarrow M$ heißt **(innere) Komposition**.
Bemerkung: Sind $x,y \in M$, so schreiben wir statt $\circ ((x,y))$ einfach $x \circ y$.
Beispiel:
- (i) $+, \cdot$ sind auf $\mathbb{N}$ Kompositionen.
- (ii) M Menge, $\mathscr{P}(M)$, so sind $\cup$ und $\cap$ Kompositionen.

### Definition 3.1.2
Sei M Menge mit $\circ$ Komposition auf M.
- (i) $\circ$ heißt assoziativ :$\Leftrightarrow \forall x,y,z \in M : (x \circ y) \circ z = x \circ (y \circ z)$.
- (ii) $\circ$ heißt kommutativ :$\Leftrightarrow \forall x,y \in M : x \circ y = y \circ x$.
- (iii) $e \in M$ heißt neutrales Element bzgl. $\circ$ :$\Leftrightarrow \forall x \in M : x \circ e = e \circ x = e$.
- (iv) Ist $e \in M$ neutrales Element bzgl. $\circ$ und ist $x \in M$, so nennen wir ein Element $y \in M: x \circ y = e = y \circ x$ ein inverses Element zu x.

### Satz 3.1
M sei Menge mit Komposition:
(i) Sind $e_1, e_2 \in M$ neutral. $\Rightarrow e_1 = e_2$.
(ii) Ist $\circ$ assoziativ und existiert neutrales Element $e \in M$ und sind $y_1, y_2 \in M$ inverse Elemente zu $x \in M$, dann gilt $y_1 = y_2$.

#### Beweis:
- zu (i): Es gilt: $e_1 = e_1 \circ e_2 = e_2 \circ e_1 = e_2$.
- zu (ii): $x \in M mit inversen Elementen $y_1, y_2 \in M. \space y_2 = y_2 \circ e = y_2 \circ y_1 \circ e = y_2 \circ x \circ y_1 = y_1$.
$\Box$

### Bemerkung 3.1.2
Das inverse Element zu $x \in M$ wird mit $x^{-1}$ bezeichnet.

## 3.2 Körper - der erste Schritt zu $\mathbb{R}$
### Definition 3.2.1 (Körper)
K sei eine Menge mit Kompositionen $+, \cdot$. Wir nennen $(K, +, \cdot)$ einen Körper, gdw.
- (A1) + ist assoziativ und kommutativ.
- (A2) Es existiert in K ein neutrales Element bzgl. +, welches wir mit 0 bezeichnen.
- (A3) Zu jedem $x \in K$ existiert ein inverses Element bzgl. +, welches wir mit $-x$ bezeichnen.
- (M1) $\cdot$ ist assoziativ und kommutativ.
- (M2) Es existiert in K ein neutrales Element bzgl. $\cdot$, welches wir mit 1 bezeichnen.
- (M3) Zu jedem $x \in K, x \neq 0$ existiert ein inverses Element bzgl. $\cdot$, welches wir mit $x^{-1}$ bezeichnen.
- (D) $\forall x,y,z \in K: x \cdot (y+z) = x \cdot y + x \cdot z$. (Distributivgesetz)
Wir nehmen an, dass $0 \neq 1$.

Beispiel: $\mathbb{F}_2 := \{0,1\}$ mit + und $\cdot$ gegeben durch
- $0 + 0 := 1+1 := 0$
- $0+1 := 1+0 := 1$
- $0 \cdot 0 := 0 \cdot 1 := 1 \cdot 0 := 0$
- $1 \cdot 1 := 1$
ist ein Körper.
Beweis: siehe LinAlg 1.

### Satz 3.2
Es sei $(K, +, \cdot)$ ein Körper. Dann gelten:
- (i) Sind $x,y \in K$ und gilt $x + y = x$, dann gilt $y = 0$.
Gilt außerdem für $x \cdot y = x$ mit $x \neq 0$, dann gilt $y = 1$.
- (ii) Für alle $x \in K$ gilt $x \cdot 0 = 0$.
- (iii) Für alle $x \in K$ sind $-x$ und $x^{-1}$ (bei $x \neq 0$) eindeutig bestimmt.
- (iv) Für alle $x \in K$ gilt $(-1) \cdot x = -x$.
- (v) Für alle $x \in K, \space x \neq 0$ gilt $x^{-1} \neq 0$.
- (vi) Für alle $x \in K$ gilt $-(-x) = x$. Gilt $x \neq 0$, so folgt $x^{-1^{-1}} = x$.
- (vii) Für alle $x,y \in K$ mit $x,y \neq 0$ gilt $x \cdot y \neq 0$. Mit anderen Worten: $x \cdot y = 0 \Rightarrow x = 0 \lor y = 0$. (**Nullteilerfreiheit**)
- (viii) Für alle $x,y \in K$ definiere $x-y := x+(-y)$. Es gilt dann $x-y = - (y-x)$.
**Notation**: $\frac {x}{y} := x \cdot y^{-1}$. Dann gilt $(\frac {x}{y})^{-1} := \frac {y}{x}$ für $x,y \neq 0$.
- (ix) Für alle $x,y \in K$ gilt $- (x+y) = (-x) + (-y)$ und für $x,y \neq 0$ gilt $(x \cdot y)^{-1} = x^{-1} \cdot y^{-1}$.
- (x) Für alle $x,y \in K$ gilt $(-x) \cdot (-y) = x \cdot y$ und $(-x) \cdot y = x \cdot (-y) = -(xy)$.

#### Beweis:
- zu (i): Seien $x,y \in K$. Es gelte $x + y = x$. Zu zeigen: $y = 0$.
Es gilt $x + y = x$
(A3) $\Rightarrow \space (x+y)-x = x - x$
$\Rightarrow -x + (x+y) = 0$
(A1) $\Rightarrow \space -x+x+y = 0$
(A3) $\Rightarrow \space 0+y = 0$
(A2) $\Rightarrow \space y=0$.
- zu (ii): Wir benutzen (i) und zeigen $x + (x \cdot 0) = x$.
Es gilt $x + 0 \cdot x=$
(M2) $=\space 1 \cdot x + 0 \cdot x =$
(D) $=\space x \cdot (1+0) =$
(A2) $=\space x \cdot 1 =$
(M2) $=\space x$
(i) $\Rightarrow \space x \cdot 0 = 0 = 0 \cdot x.$
- zu (iii): Dies folgt aus Satz 3.1.1.
- zu (iv): Sei $x \in K$. Wir benutzen (iii) und zeigen $x + (-1) \cdot x = 0$. (Eindeutigkeit $\Rightarrow (-1) \cdot x = -x$).
Es gilt $x + (-1) \cdot x =$
(D) $=x \cdot (-1+1) =$
(A3) $= x \cdot 0$
(ii) $=0$.
Also $x + (-1) \cdot x = 0$ und daher $(-1) \cdot x = - x$.
zu (v) - (x): siehe Übungen.
$\Box$

### Schritt 1: $\mathbb{R}$ ist ein Körper
Das Zahlensystem $\mathbb{R}$ ist eine Menge mit zwei inneren Kompositionen + und $\cdot$, sodass $(\mathbb{R}, +, \cdot)$ ein Körper ist.

## 3.3 Angeordnete Körper - der zweite Schritt zu $\mathbb{R}$
Bisher können wir nicht wissen, ob $1+1 = 0$ gilt oder nicht. Wir können auch nicht die Zahlen größenmäßig vergleichen, also etwa $0 < 1$ ausdrücken.

### Definition 3.3.1 (Positivbereich)
Es sei $(K, +, \cdot)$ ein Körper und $P \subseteqq K$. Wir nennen P **Positivbereich** $:\Leftrightarrow$
- (i) Für jedes $x \neq 0$ gilt entweder $x \in P$ oder $-x \in P$.
- (ii) Für $x,y \in P$ gilt $x + y \in P$ und $x \cdot y \in P$.
**Notation**: Wir nennen einen Körper mit Positivbereich einen angeordneten Körper und schreiben $(K, +, \cdot, P)$.
**Notation**: Anstelle von $x \in P$ schreiben wir $x >0$.

### Beispiele 3.3.1
- (i) $P = \emptyset$ in $\mathbb{F}_2$. Dann ist P kein Positivbereich.
- (ii) $P = \{1\}$ in $\mathbb{F}_2$. Dann ist P kein Positivbereich.

### Bemerkung 3.3.1
- (i) **Notation**: Wir schreiben $x<y$, gdw. $y-x \in P$, d.h. $y-x>0$.
Wir erhalten: $P = \{x\in K | x>0\}$.
- (ii) Wir schreiben $x \le y$, gdw. $x<y$ oder $x=y$ gilt. (Analog für $x>y, x \ge y$)

### Satz 3.3
Es sei $(K, +, \cdot, P)$ ein angeordneter Körper.
- (i) $0 \notin P$, d.h. $0 < 0$ ist falsch. Wir können also von $x>0$ immer auf $x \neq 0$ schließen.
- (ii) Es seien $x_1,x_2,y_1,y_2 \in K$. Dann folgt aus $x_1 < x_2$ und $y_1<y_2$, dass $x_1 + y_1 < x_2 + y_2$ gilt.
- (iii) Es seien $x,y,z \in K$. Dann folgt aus $x <y$ und $z>0$, dass $xz < yz$ gilt.
- (iv) Es seien $x,y,z \in K$. Dann folgt aus $x < y$, dass $x+z<y+z$ gilt.
- (v) Es seien $x,y \in K$. Gilt $x<y$, so folgt $-y < -x$.
- (vi) Es seien $x,y,z \in K$. Gilt $x<y$ und $z<0$, so folgt $zy < zx$.
- (vii) Für alle $x \neq 0$ gilt $x^2 >0$. Insbesondere gilt $1 > 0$.
- (viii) Es sei $x \in K$. Gilt $x > 0$, so folgt $x^{-1} > 0$. Gilt $x<0$, so folgt $x^{-1} < 0$.
- (ix) In Aussagen (iii) - (vi) können wir < durch $\le$ ersetzen.

#### Beweis
- zu (i): siehe Übung
- zu (ii): Wir haben $x_1 < x_2 \land y_1 < y_2$.
Bem. 3.3.1 $\Rightarrow x_2 - x_1 \in P \land y_2 - y_1 \in P$.
Def. 3.3.1 $\Rightarrow (x_2 - x_1) + (y_2 - y_1) \in P$.
$\Rightarrow (x_2 + y_2) - (x_1 + y_1) \in P$.
Bem 3.3.1 $\Rightarrow x_2 + y_2 > x_1 + y_1$.
- zu (iii): Wir haben $x < y \land z > 0$.
Bem. 3.3.1 $\Rightarrow y-x \in P \land z \in P$.
Def. 3.3.1 $\Rightarrow (y-x) -z \in P$.
(D) $\Rightarrow yz - xz \in P$.
Bem. 3.3.1 $\Rightarrow yz >xz$.
- zu (iv): wegen $x<y: y-x\in P$
$\Rightarrow (y-x)+(z-z) \in P$
$\Rightarrow y+z > x+z$
- zu (v): Wir nutzen (iv) mit $z:= -x-y$
$\Rightarrow -y = x-x-y = x+z < y+z = y-x-y = -x$
- zu (vi): $z <0$ heißt $-z >0$
(ii) $\Rightarrow (-z)x < (-z)y$
(v) $\Rightarrow -(-z)x > -(-z)y$

### Korollar 3.3.1
$(K,+,\cdot)$ ein Körper. Wenn -1 als Summe von Quadraten geschrieben werden kann, so existiert in K kein Positivbereich.

#### Beweisidee
Wir betrachten den Fall $-1 = x^2 + y^2, x,y \neq 0 \Rightarrow^{(Satz \space 3.3 (vii))} x^2 \land y^2 \in P \Rightarrow^{(Def. \space 3.3.1 (ii))} x^2+y^2\in P \Rightarrow -1=x^2+y^2 > 0$. Aber auch $1>0$ (Satz 3.3 (vii)). Widerspruch zu Def. 3.3.1 (i). Ein solches $P \subseteqq K$ kann also nicht existieren, d.h. in K existiert kein Positivbereich.

### Bemerkung 3.3.2
- (i) Die komplexen Zahlen $\mathbb{C}$ enthalten ein Element $i$ mit $-1 = i^2$. Nach Korollar 3.3.1 können die komplexen Zahlen nicht angeordnet werden.
- (ii) Etwas wie $1+1 = 0$ kann in einem angeordneten Körper nicht passieren, weil $1>0$ und nach Satz 3.3 (ii) die Aussage $1+1>0$.

### Schritt 2: $\mathbb{R}$ ist ein angeordneter Körper
Das Zahlensystem $(\mathbb{R}, +, \cdot)$ ist ein Körper mit einem Positivbereich P, d.h. $(\mathbb{R},+,\cdot,P)$ ist ein angeordneter Körper.

## 3.4 Das System der natürlichen Zahlen und die vollständige Induktion
Wir führen in beliebigen angeordneten Körpern die Menge der natürlichen Zahlen ein.

### Definition 3.4.1 (Mengensystem)
Es sei $M$ eine Menge und $\mathcal{M} \subseteqq \mathcal{P}(\mathcal{M})$ ein Mengensystem. Der Durchschnitt über das Mengensystem $\mathcal{M}$ ist definiert durch $\bigcap \mathcal{M} := \bigcap_{A\in \mathcal{M}} A := \{x \in M| \forall A \in \mathcal{M}: x \in A\}$.

### Definition 3.4.2 (induktive Menge)
Sei $(K,+,\cdot,P)$ ein angeordneter Körper und $M \subseteqq K$. Dann nennen wir $M$ induktiv $:\Leftrightarrow$
- (i) $1 \in M$.
- (ii) $x \in M \Rightarrow x+1 \in M$.

### Definition 3.4.3 (Menge der natürlichen Zahlen)
Es sei $(K,+,\cdot,P)$ ein angeordneter Körper und $\mathcal{I} \subseteqq \mathcal{P}(K)$ das System der induktiven Teilmengen von K. Dann definieren wir $\mathbb{N} :=\bigcap \mathcal{I} = \bigcap_{A\in \mathcal{I}} A$ und nennen dies die Menge der natürlichen Zahlen.

### Bemerkung 3.4.1
- (i) Nach Definition induktiver Mengen ist klar, dass $1 \in \mathbb{N}$ ist. Entsprechend also auch $1+1=:2, 1+1+1 =:3$.
- (ii) $0 \notin \mathbb{N}$.

Aus der induktiven Definition der natürlichen Zahlen resultiert eine wichtige Beweismethode: die **vollständige Induktion**. Diese basiert auf folgendem Satz:

### Satz 3.4
Es sei $M \subseteqq \mathbb{N}$ eine induktive Teilmenge von $\mathbb{N}$, d.h. $1 \in M, n \in M \Rightarrow n+1 \in M$. Dann gilt $M = \mathbb{N}$.

#### Beweis
"$\subseteqq$": klar nach Voraussetzung.
"$\supseteqq$": Es sei $n \in \mathbb{N}$. Weil $\mathbb{N}$ der Schnitt über alle induktiven Teilmengen ist und $M$ induktiv ist, haben wir $n \in M$.
$\Box$

### Beispiel 3.4.2
- (i) Wir können induktiv den Begriff der Fakultät definiren: wir legen fest: $1! = 1, (n+1)! = (n+1) \cdot n!$.
Wir können induktiv die Summe von Elementen eines Körpers definieren: Für jedes $n\in \mathbb{N}$ sei $x_n \in K$. Wir legen fest: $\sum_{i=1}^1 x_i = x_1, \sum_{i=1}^{n+1} x_i = x_{n+1} + \sum_{i=1}^n x_i$.
- (ii) **Gaußsche Summenformel**: $\forall n \in \mathbb{N}: \sum_{i=1}^n i = \frac{n \cdot (n+1)}{2}$.

#### Beweis
zu (ii): Wir zeigen dies mittels vollständiger Induktion:
- Induktionsanfang: Es gilt $\sum_{i=1}^1 i = 1 = \frac{1 \cdot (1+1)}{2}$.
- Induktionsvoraussetzung: Es sei $n \in \mathbb{N}$ und es gelte $\forall n \in \mathbb{N}: \sum_{i=1}^n i = \frac{n \cdot (n+1)}{2}$.
- Induktionsschluss: Es gilt $\sum_{i=1}^{n+1} i = n+1 + \sum_{i=1}^n i = n+1+ \frac{n \cdot (n+1)}{2} = \frac{2 \cdot (n+1)}{2} + \frac{n \cdot (n+1)}{2} = \frac{2(n+1) + n \cdot (n+1)}{2} = \frac{(2+n) \cdot (n+1)}{2}$. Nach Satz 3.4 gilt die Aussage für alle $n \in \mathbb{N}$. $\Box$

### Satz 3.5
Es sei $(K,+,\cdot,P)$ ein angeordneter Körper und $\mathbb{N}$ die Menge der natürlichen Zahlen in K.
- (i) $\forall n \in \mathbb{N}: n+1 \in \mathbb{N}$
- (ii) $\forall m \in \mathbb{N}$ und $n_1,...,n_m \in \mathbb{N}$ gilt $\sum_{i=1}^m n_i \in \mathbb{N}, \prod_{i=1}^m n_i \in \mathbb{N}$
- (iii) Aus $n \in \mathbb{N}$ folgt $n \geq 1$, insb. $n >0$
- (iv) $\forall n \in \mathbb{N},n \neq 1: \exists m \in \mathbb{N} : n = m+1$
- (v) Es seien $n \in \mathbb{N}, k \in P, n+k \in \mathbb{N}$. Dann ist $k \in \mathbb{N}$.
- (vi) Es seien $n,m \in \mathbb{N}: n>m$. Dann gilt $n-m \in \mathbb{N}$ und $n \geq m+1$.
- (vii) Es sei $M \subseteqq \mathbb{N}, M \neq \emptyset$. Dann ex. $m_0 \in M: \forall m \in M : m_0 \leq m$ (Existenz **kleinstes Element**).
- (viii) Es sei $M \subseteqq \mathbb{N}, M \neq \emptyset$. Es existiere $n_0 \in \mathbb{N}$ mit $m \leq n_0, \forall m \in M$. Dann ex. $m_1 \in M: forall m \in M: m \leq m_1$ (Existenz **größtes Element**).

## 3.5 Die Systeme der ganzen und rationalen Zahlen
### Definition 3.5.1 (Menge der ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$)
Im angeordneten Körper $(\mathbb{R}, +, \cdot, P)$ definieren wir die Menge der ganzen Zahlen durch $\mathbb{Z}:=\{n-m:n,m \in \mathbb{N}\}$.

### Satz 3.6
Für die Menge $\mathbb{Z}$ gelten:
- (i) $\mathbb{Z} = \mathbb{N} \cup \{-n:n\in \mathbb{N}\} \cup \{0\}$.
- (ii) $(\mathbb{Z},+,\cdot)$ erfüllt alle Körperaxiome außer (M3). $(\mathbb{Z},+,\cdot)$ ist also kommutativer Ring mit Eins.

### Definition 3.5.2 (Menge der rationalen Zahlen $\mathbb{Q}$)
Im angeordneten Körper $(\mathbb{R}, +, \cdot, P)$ definieren wir die Menge der rationalen Zahlen durch $\mathbb{Q}:=\{\frac{n}{m}:n \in \mathbb{Z}, m \in \mathbb{N}\}$. Die Elemente aus $\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}$ nennen wir irrationale Zahlen.

### Satz 3.7
Die Menge $(\mathbb{Q},+,\cdot)$ ist ein Körper. Des Weiteren ist $P := \{\frac{m}{n}:m,n \in \mathbb{N}\}$ Positivbereich. Damit ist $(\mathbb{Z},+,\cdot,P)$ ein angeordneter Körper.

### Proposition 3.5.1
Es existiert keine rationale Zahl $\frac{m}{n} \in \mathbb{Q}: (\frac{m}{n})^2 = \frac{m^2}{n^2} = 2$.

#### Beweis:
Wir führen den Beweis per Widerspruch:
Es existieren $n,m \in \mathbb{N}: (\frac{m}{n}^2) = \frac{m^2}{n^2} = 2 \space(*)$. Wir betrachten die Menge $\{n \in \mathbb{N}: m \in \mathbb{N}: \frac{m^2}{n^2} = 2 \} = M$. Nach Annahme gilt $M \neq \emptyset$ und nach Satz 3.5 (vii) existiert ein kleinstes Element in M. Wir können also annehmen, dass $n \in \mathbb{N}$ in $(*)$ minimal mit der Eigenschaft ist. Wegen $m>n$ ex. $k \in \mathbb{N}$ mit $m = n+k$. Dann folgt mit $(*)$ $\frac{(n+k)^2}{n^2} = 2$. In der Tat, eine Äquivalenzumformung zeigt $2=\frac{n+k^2}{n^2} \Leftrightarrow n^2 = 2nk+k^2$ sowie $2= \frac{n+k^2}{k^2} \Leftrightarrow n^2 = 2nk+k^2 \overset{Minimalität \space von \space n} \Rightarrow k \geq n \Rightarrow m = n+k \geq n+n = 2n$, d.h. $\frac{m}{n} \geq 2 = \frac{m^2}{n^2}$. Dann folgt durch Umformen $n \geq m$. $\unicode{x21af}$ Widerspruch zu $m>n$. Also existiert keine rationale Zahl $\frac{m}{n} \in \mathbb{Q}: (\frac{m}{n})^2 = \frac{m^2}{n^2} = 2$. $\Box$

## 3.6 Das Axiom von Archimedes
### Definition 3.6.1 (Archimedesaxiom)
Sei $(K,+,\cdot,P)$ angeordneter Körper. Dann sagen wir, dass K dem Archimedesaxiom genügt $\Leftrightarrow \forall x \in K: \exists n \in \mathbb{N}: n \geq x$.

### Satz 3.8
Es sei $(K,+,\cdot,P)$ ein angeordneter Körper, in dem das Archimedesaxiom gilt. Dann gelten:
- (i) Zu jedem $\epsilon \in P, \epsilon > 0$ existiert $n \in \mathbb{N}: \frac{1}{n} \leq \epsilon$.
- (ii) Zu jedem $\epsilon \in P, \epsilon > 0$ und jedem $c \in K$ existiert $n \in \mathbb{N}: n \cdot \epsilon \geq c$.

#### Beweis
- zu (i): Sei $\epsilon \in K, \epsilon > 0$. Mit Archimedesaxiom existiert $n \in \mathbb{N}: n \geq \frac{1}{\epsilon} (>0) \space (*)$. Wegen $n >0$ gilt auch $\frac{1}{n}> 0$. Wegen Def. (ii) des Positivbereichs $\epsilon \cdot \frac{1}{n} >0 \overset{(*)} \Rightarrow (\epsilon \cdot \frac{1}{n}) \cdot n \geq (\epsilon \cdot \frac{1}{n}) \cdot \frac{1}{\epsilon} = (\epsilon \cdot \frac{1}{\epsilon}) \cdot \frac{1}{n} = \frac{1}{n}$.
- zu (ii): Es gilt $\epsilon > 0$. Wähle $n \in \mathbb{N}$ (nach Archemedesaxiom): $n \geq c \cdot \frac{1}{\epsilon}$. Multiplication mit $\epsilon$ liefert dann $\epsilon \cdot n \geq \epsilon \cdot c \cdot \frac{1}{\epsilon} = c$.
$\Box$

### Schritt 3
Das Zahlensystem $\mathbb{R}$ ist ein angeordneter Körper $(\mathbb{R},+,\cdot,P)$, in dem das Archimedesaxiom gilt.

## Der Dichtheitssatz
### Satz 3.9 (Der Dichtheitssatz)
Es seien $x,y \in \mathbb{R}: x<y$. Dann ex. $\frac{m}{n} \in \mathbb{Q}:x \leq \frac{m}{n} \leq y$.