# Analysis 1: Blatt 1

## Aufgabe 1

Es sei $(K, +, \cdot)$ ein Körper. Zeigen Sie, dass für alle $x \in K, x \neq 0$, auch $x^{−1} \neq 0$ gilt.

Beweis per Widerspruch:
Annahme: $x^{-1} = 0$.
Dann gilt nach Satz 3.2.1 (ii): $x^{-1} \cdot x = 0 \cdot x = 0$.
Allerdings gilt nach Axiom (M3): $x^{-1} \cdot x =1$. $\unicode{x21af}$
Damit ist die Behauptung $\forall x \in K: x \neq 0 \Rightarrow x^{−1} \neq 0$ wahr.
$\Box$

## Aufgabe 2

Es sei $(K, +, ·)$ ein Körper. Zeigen Sie, dass für alle $x ∈ K$ die Aussage $−(−x) = x$, sowie für alle $x ∈ K$ mit $x \neq 0$ die Aussage $(x^{-1} )^{-1} =x$ gilt.

Wir benutzen 3.2.1 (iv).
Dann gilt $-(-x) = (-1) \cdot (-x) = (-1) \cdot ((-1) \cdot x) = ((-1) \cdot (-1) )\cdot x = (1)\cdot x = x$.

Wir benutzen die Notation unter Satz 3.2.1 (viii).
Dann gilt $(x^{-1} )^{-1} = (\frac {1}{x})^{-1}=\frac {x}{1} = x \cdot 1^{-1} = x$.
$\Box$

## Aufgabe 3
Es sei $(K, +, ·)$ ein Körper und $x, y ∈ K$. Zeigen Sie, dass $x · y = 0$ die Aussage $x = 0$ oder $y = 0$ impliziert.

Es gilt $x \cdot y = 0$.
Sei nun $x \neq 0$.
$x \cdot y = 0$
$\Leftrightarrow x \cdot y \cdot x^{-1} = 0 \cdot x^{-1} = 0$ (nach Satz 3.2.1 (ii))
$\Leftrightarrow x \cdot x^{-1} \cdot y = 0$ (nach (M1))
$\Leftrightarrow 1 \cdot y = 0$ (nach (M3))
$\Leftrightarrow y = 0$ (nach (M2))
Analoge Beweisführung für $y \neq 0$.
$\Box$

## Aufgabe 4

Es sei $(K, +, ·)$ ein Körper und $x, y ∈ K$ mit $x, y \neq 0$. Zeigen Sie, dass dann $(xy)^{−1} = x^{−1} y^{−1}$ gilt.

Wir benutzen die Notation unter Satz 3.2.1 (viii).
Dann gilt $(xy)^{-1} = \frac {1}{x \cdot y} = \frac {1}{x} \cdot \frac {1}{y} = x^{-1}y^{-1}$.
$\Box$

## Aufgabe 5

Es sei $(K, +, ·, P)$ ein angeordneter Körper. Begründen Sie, dass $0 \notin P$ gilt.

Nehmen wir zunächst an, dass $0 \in P$ gilt. Für Definition 3.3.1 (ii) ändert sich nichts, da für $x \in P$ nach wie vor gilt $x \cdot 0 = 0 \in P, x + 0 = x \in P$. Betrachtet man nun allerdings Definition 3.3.1 (i), so müsste, wenn $0 \in P$ liegt, das additive Inverse von $0$, also $-0 \notin P$ liegen. Es gilt allerdings $-0 = 0$ und damit ist $-0$ ebenfalls nicht im Positivbereich.

## Aufgabe 6

Es sei $(K, +, ·, P)$ ein angeordneter Körper. Zeigen Sie, dass für alle $x \neq 0$ die Aussage $x^2>0$ gilt.

Fallunterscheidung:
- $x \in P$: Dann gilt nach Definition 3.3.1 (ii): $x \cdot x = x^2 \in P$
- $x \notin P$: Es gilt $x \cdot x = (-(-x)) \cdot (-(-x)) = (-1)\cdot (-x) \cdot (-1) \cdot (-x) = (-1)^2 \cdot (-x) \cdot (-x) = (-x) \cdot (-x)$
Es nach Definition 3.3.1 (i): $-x \in P$.
Nach Definition 3.3.1 (ii) gilt dann $x^2 = (-x) \cdot (-x) \in P$.

$\Box$

## Aufgabe 7

Es sei $(K, +, ·, P)$ ein angeordneter Körper. Es sei $x ∈ K$. Zeigen Sie, dass aus $x > 0$ auch $x^{−1} > 0$ folgt.

Beweis per Widerspruch:
Es sei $x > 0, x^{-1} < 0$.
Dann gilt $x \cdot x^{-1} = 1 > 0$.
Außerdem $-(x^{-1}) > 0$.
$x \cdot (-(x^{-1})) = x \cdot (-1) \cdot (x^{-1}) = -(x \cdot x^{-1}) = -1 <0$.
Dies steht im Widerspruch zu Definition 3.3.1 (ii), laut der gelten müsste: $x \cdot (-(x^{-1})) > 0$.
$\Box$

## Aufgabe 8

Begründen Sie, dass im Körper $(\mathbb{F}_2, +, ·)$, der aus zwei Elementen besteht, kein Positivbereich existiert.

$\mathbb{F}_2 = \{0,1\}$
Würde für $\mathbb{F}_2$ ein Positivbereich existieren, dann wäre vermutlich das Element $1 \in P$. Dann müsste nach Definition 3.3.1 (i) das additive Inverse von $1$ nicht in $P$ liegen. Allerdings ist $1 + 1 = 0$, also $1$ das additive Inverse zu $1$ und liegt somit im Positivbereich.

Buchmeier Georgie 105371
Geweth Christina 103194
Koch Phillip 104935