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title: 'Analysis 1: Blatt 5'

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# Analysis 1: Blatt 5

## Aufgabe 31

Es sei $(x_n)_{n∈\mathbb{N}} ∈ K^{\mathbb{N}}$
eine Folge. Formulieren Sie als Quantorenkette, was es heißt,
dass $(x_n)_{n∈\mathbb{N}}$ keine Nullfolge ist. 

$\exists \epsilon: \forall n_0 \in \mathbb{N}: \exists n \geq n_0: |x_n| > \epsilon$

Zeigen Sie dann, dass die Folge $(1)_{n∈\mathbb{N}}$ keine Nullfolge ist.

Wir wählen $\epsilon = 0,5$. Für alle $n_0 \in \mathbb{N}$ gilt, dass $x_{n_0} = 1$. Wähle $n \geq n_0$. Dann gilt nach wie vor $|x_n| = x_n = 1 < 0,5 = \epsilon$.

## Aufgabe 32

Zeigen Sie, dass die Folge $(\frac{1}{\sqrt{n}})_{n \in \mathbb{N}}$ eine Nullfolge ist.

Sei $\delta > 0$. Nach Beispiel 4.3.1 gilt $(\frac{1}{n})_{n \in \mathbb{N}}$ Nullfolge, also $\forall \delta >0: \exists n_\delta \in \mathbb{N}: \forall n \geq n_\delta: |\frac{1}{n}| \leq \delta$. Sei $\epsilon > 0$.
Definiere nun: $\delta := \epsilon^2$.
Dann $|\frac{1}{n}| = \frac{1}{n} \leq \delta \Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{n}} \leq \epsilon$.
$\overset{\text{Satz 3.8(i)}} \Rightarrow \exists n_0 \in \mathbb{N}$ mit $\frac{1}{\sqrt{n}} \leq \epsilon$.
Wähle $n_\epsilon = n_0$. Es sei $n \geq n_\epsilon$.
Dann gilt $|\frac{1}{\sqrt{n}}| = \frac{1}{\sqrt{n}} \leq \frac{1}{n_0} \leq \epsilon$.

## Aufgabe 33

Beweisen Sie das verschärfte Majorantenkriterium: Es seien $(x_n)_{n∈\mathbb{N}},(y_n)_{n∈\mathbb{N}} ∈ K^\mathbb{N}$.
Gilt $x_n → 0$ und existieren $C > 0$ und ein $n_0 ∈ \mathbb{N}$ mit $|y_n| ≤ C|x_n|$ für alle $n ∈ \mathbb{N}$, so folgt $y_n → 0$.

Wir definieren $(a_n)_{n∈\mathbb{N}}:=C \cdot ((x_n)_{n∈\mathbb{N}})$.
Nach Satz 4.5 (ii) folgt aus $x_n \rightarrow 0$, dass $a_n \rightarrow 0$.
Anschließend folgt aus $|y_n| ≤ C|x_n|$ und dem Majorantenkriterium, dass $y_n \rightarrow 0$.

## Aufgabe 37

Es seien $a ∈ K$ und $(x_n)_{n∈\mathbb{N}} ∈ K^\mathbb{N}$ eine Nullfolge. Bestimmen Sie den Grenzwert der Folge $(y_n)_{n∈\mathbb{N}} := ((a + x_n)^2)_{n∈\mathbb{N}}$.

Es gilt $\underset{x_n \rightarrow \infty}{lim} ((a + x_n)^2) =$
$=\underset{x_n \rightarrow \infty}{lim} a^2 + 2ax_n + (x_n)^2 \overset{\text{Satz 4.5 (i)}}=$
$=\underset{x_n \rightarrow \infty}{lim} a^2 + \underset{x_n \rightarrow \infty}{lim} 2ax_n + \underset{x_n \rightarrow \infty}{lim} (x_n)^2$.
Es gilt allerdings nach Satz 4.5(ii) $\underset{x_n \rightarrow \infty}{lim} (x_n)^2 = 0$ und $\underset{x_n \rightarrow \infty}{lim} 2ax_n = 0$.
$\Rightarrow \underset{x_n \rightarrow \infty}{lim} a^2 + \underset{x_n \rightarrow \infty}{lim} 2ax_n + \underset{x_n \rightarrow \infty}{lim} (x_n)^2 = a^2 + 0 + 0 = a^2$.
