# Analysis 1: Blatt 7

## Aufgabe 43

Es sei $(x_n)_{n \in \mathbb{N}} \in \mathbb{K}^\mathbb{N}$.
Zeigen Sie, dass für alle $n \in \mathbb{N}$ die Ungleichung $|\sum_{i = 1}^n x_i| \leq \sum_{i = 1}^n |x_i|$ gilt.

Beweis per vollständiger Induktion:
- Induktionsanfang: $n = 1$: $|\sum_{i = 1}^1 x_i| = |x_1| =\sum_{i = 1}^1 |x_i|$.
Zur besseren Vorstellung haben wir auch $n=2$ betrachtet:
$|\sum_{i = 1}^2 x_i| = |x_1 + x_2| \overset{\Delta} \leq |x_1| + |x_2| = \sum_{i = 1}^2 |x_i|$.
- Induktionsvoraussetzung: Sei $n \in \mathbb{N}$, sodass $|\sum_{i = 1}^n x_i| \leq \sum_{i = 1}^n |x_i|$ gilt.
- Induktionsschritt: $n \leadsto n+1$: $|\sum_{i = 1}^{n+1} x_i| = |x_{n+1} + \sum_{i = 1}^n x_i| \overset{\Delta} \leq |x_{n+1}| + |\sum_{i = 1}^n x_i| = \sum_{i = 1}^{n+1} |x_i|$.

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## Aufgabe 44

Es seien $(x_n)_{n \in \mathbb{N}} \in \mathbb{K}^\mathbb{N}$ eine konvergente Folge und $M \in \mathbb{R}$ mit $M \leq 0$. Zeigen Sie, dass aus $\forall n \in \mathbb{N}: |x_n| \leq M$ folgt, dass $|\underset{n \rightarrow \infty}{lim} x_n| \leq M$.

## Aufgabe 45

Es seien $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ und $(y_n)_{n \in \mathbb{N}}$ Folgen in $\mathbb{R}$ mit $0 \leq x_n \leq y_n$ für alle $n \in \mathbb{N}$. Zeigen Sie:

- (i) (Majorantenkriterium) Wenn $\sum_{n = 1}^\infty y_n$ konvergent ist, dann auch $\sum_{n = 1}^\infty x_n$.
- (ii) (Minorantenkriterium) Wenn $\sum_{n = 1}^\infty x_n$ divergent ist, dann auch $\sum_{n = 1}^\infty y_n$.

## Aufgabe 46

Beweisen Sie die Divergenz folgender Reihen:

- (i) $\sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{a+bn}$, wobei $a,b \in \mathbb{R}$ mit $a \geq 0, b > 0$
- (ii) $\sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{\sqrt n}$
- (iii) $\sum_{n = 1}^\infty \frac{n}{1+n^2}$

## Aufgabe 47

Es sei $q \in \mathbb{R}$ mit $q \geq 1$. Zeigen Sie, dass die Reihe $(\sum_{i = 0}^N q^i)_{N \in \mathbb{N}}$ divergent ist.

## Aufgabe 48

Es sei $x_n := \frac{1}{n(n+1)}$ für jedes $n \in \mathbb{N}$. Zeigen Sie, dass der Grenzwert der zugehörigen Reihe, d.h. $\sum_{i = 1}^n \frac{1}{n(n+1)}$ existiert. Argumentieren Sie, dass dann auch $\sum_{i = 1}^n \frac{1}{n^2}$ existiert.