# Analysis 1: Blatt 2

## Aufgabe 9

Es sei $(K,+,\cdot,P)$ ein angeordneter Körper und $\mathcal{I} \subseteqq \mathcal{P}(K)$ das System der induktiven Teilmengen von K.
Es ist $\mathbb{N}$ definiert als $\mathbb{N} :=\bigcap \mathcal{I} = \bigcap_{A\in \mathcal{I}} A$.

Sei also $B \in \mathcal{I}, 1 \in B, x \in B \Rightarrow x+1 \in B, 0 \notin B$. Damit ist $B$ nach wie vor induktive Teilmenge, da nach Definition 3.4.2 $0$ nicht in induktiven Mengen liegen muss, da $0<1$.
Wenn wir jetzt die Definition der natürlichen Zahlen anwenden, also $\mathbb{N} = \bigcap_{A\in \mathcal{I}} A = \bigcap_{A\in \mathcal{I}} A \cap B$. Da aber $0 \notin B$ gilt insbesondere $0 \notin \bigcap \mathcal{I}$, also $0 \notin \mathbb{N}$.
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## Aufgabe 10

Es sei $(K, +, ·, P)$ ein angeordneter Körper.

Fallunterscheidung:

- Fall 1: K ist dicht. Es kann kein kleinstes Element im Positivbereich geben, wenn K dicht ist. Denn nach dem Dichtheitssatz gilt für $x,y \in K, x<y$, dass $\exists a \in K:x \leq a \leq y$. Wähle nun $x = 0, y \in P$.
Es gilt $0 \notin P$. Wir finden allerdings ein $a < y$. Wähle als nächstes $y = a$, finde ein nächstes $a: a<y$. Dies kann unendlich fortgesetzt werden, so findet man nie ein kleinstes Element.
- Fall 2: K ist nicht dicht. Dann können wir ein kleinstes Element finden, indem wir gerade genannte Vorgehensweise so weit durchführen, bis es kein $a \in P, a \in K$ mehr gibt mit der Eigenschaft $a < y$. $y$ ist damit unser kleinstes Element.

## Aufgabe 11

Es sei $(K, +, ·, P)$ ein angeordneter Körper, $x ∈ K$ und $n ∈ \mathbb{N}$.
Wir definieren $x^n$ induktiv: $x^1 = 1, x^{n+1}=x \cdot x^n$

## Aufgabe 12

Es sei (K, +, ·, P) ein angeordneter Körper. Zu zeigen: für alle $x, y ∈ K$ und alle $n ∈ N$ gilt $(xy)^n = x^n \cdot y^n$.

Beweis per vollständiger Induktion:

- Induktionsanfang: $n = 1$: $x^1 \cdot y^1 = xy = (xy)^1$
- Induktionsvoraussetzung: Für ein $n \in \mathbb{N}$ gilt $(xy)^n = x^n \cdot y^n$.
- Induktionsschritt: $n \rightsquigarrow n+1$: $x^{n+1} \cdot y^{n+1} = x^n \cdot x \cdot y^n \cdot y = x^n\cdot y^n \cdot x \cdot y = (xy)^n \cdot (xy) = (xy)^{n+1}$.

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## Aufgabe 14

Es sei (K, +, ·, P) ein angeordneter Körper und $\mathbb{N}$ die Menge der natürlichen Zahlen darin. Zu zeigen: Für alle $n ∈ \mathbb{N}$ mit $n ≥ 4$ gilt $n! > 2^n$.

Beweis per Induktion:
- Induktionsanfang: $n = 4$: $4! = 24 > 2! = 16$.
- Induktionsvoraussetzung: Für ein $n ∈ \mathbb{N}$ mit $n ≥ 4$ gilt $n! > 2^n$.
- Induktionsschritt: $n \leadsto n+1$: Sei $n \geq 4$.
Es gilt: $(n+1)! = n \cdot (n+1), 2^{n+1}=2^n \cdot 2$.
Nach Induktionsvoraussetzung gilt bereits $n! > 2^n$.
Ebenfalls gilt $(n+1)>2, da n \geq 4 > (2-1) = 1$.
Also muss nach Satz 3.3 auch $n \cdot (n+1) > 2^n \cdot 2 \Leftrightarrow (n+1)! > 2^{n+1}$ gelten.
$\Box$