# 1. Tutorium

## Aufgabe 1

Seien X und Y Mengen und sei R ⊆ X ×Y eine Relation.
Betrachten Sie folgende Eigenschaften:

- R ist links-total: $\forall x ∈ X \space \exists y ∈ Y : (x, y) ∈ R$
- R ist rechts-total: $\forall y ∈ Y \space \exists x ∈ X : (x, y) ∈ R$
- R ist links-eindeutig: $(x, y) ∈ R \land (x', y) ∈ R \Rightarrow x = x'$
- R ist rechts-eindeutig: $(x, y) ∈ R \land (x, y') ∈ R \Rightarrow y = y'$.

Überlegen Sie, welche dieser Eigenschaften gerade
a) eine Abbildung: *linkstotal, rechtseindeutig*
b) eine injektive Abbildung: *linkseindeutig, linkstotal, rechtseindeutig*
c) eine surjektive Abbildung von X nach Y:
*rechtstotal, linkstotal, rechtseindeutig*
kennzeichnen.

## Aufgabe 2

Sei $X = \{a, b\}$.
a) Wie viele Relationen $R \in X \times X$ gibt es?
Wie viele Abbildungen $f : X \rightarrow X$?
$|\mathcal{P}(X)|=2^2=4; |\mathcal{P}(X\times X)|=2^4=16$ mögliche Relationen;
4 mögliche Abbildungen.
b) Stellen Sie die Relationen als Kreuztabellen dar. Welche sind die Abbildungen?

| R1 | a | b |
| ----- | --- | --- |
| **a** | x | |
| **b** | | x |

| R2 | a | b |
| ----- | --- | --- |
| **a** | | x |
| **b** | | x |

| R3 | a | b |
| ----- | --- | --- |
| **a** | | |
| **b** | x | x |

| R4 | a | b |
| ----- | --- | --- |
| **a** | x | x |
| **b** | x | |

...

$f_1=\{(a,a),(b,b)\},f_2=\{(a,a),(b,a)\},f_3=\{(a,b),(b,a)\},f_4=\{(a,b,(b,b)\}$

## Aufgabe 3

Sei $X = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$ und betrachten Sie die Relation
$R := {(1, 6),(2, 3),(2, 4),(3, 2),(3, 4),(4, 2),(4, 3),(6, 1)} ∪ ∆_X$,
wobei $∆_X := {(x, x) | x ∈ X}$ die ”Diagonale“ sei.
Visualisieren Sie die Relation als Kreuztabelle und
zeigen Sie, dass es sich um eine Aquivalenzrelation handelt.

| | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| ----- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| **1** | x | | | | | x |
| **2** | | x | x | x | | |
| **3** | | x | x | x | | |
| **4** | | x | x | x | | |
| **5** | | | | | x | |
| **6** | x | | | | | x |

- reflexiv: jedes Element in Relation zu sich selbst
- symmetrisch: Spiegelung an der Diagonale möglich
- transitiv: $2R3 \land 3R4 \Rightarrow 2R4 \land 4R3 \land 3R2 \Rightarrow 4R2$

## Aufgabe 4

Sei $V$ ein K-Vektorraum und sei $U ⊆ V$ ein Untervektorraum.
Zeigen Sie, dass durch $v ∼ w :⇔ v − w ∈ U$ (wobei $v, w ∈ V$)
eine Aquivalenzrelation auf $V$ definiert wird.

- reflexiv: $v-v = 0 \in U$
- symmetrisch: $v-w \in U, w-v = -(v-w) = -1 (v-w) \in U$
- transitiv: $v-w \in U, w-a \in U \Rightarrow (v-w)+(w-a) \in U
\Leftrightarrow v-w+w-a = v-a \in U$

$\forall v,w,a \in V$

## Aufgabe 5

Sei $X$ eine Menge. Bestimmen Sie alle Relationen auf $X$,
die gleichzeitig Aquivalenz- und Ordnungsrelation sind.

Es müssen Symmetrie und Antisymmetrie gleichzeitig gelten.

- Symmetrie: $xRy \Rightarrow yRx$
- Antisymmetrie: $xRy \land yRx \Rightarrow x=y$

$\Rightarrow x=y \forall x,y \in X$. Also nur $xRx$ möglich.

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