# 8. Übungsblatt zur Linearen Algebra 2

## Aufgabe 1

Eigenschaften einer Norm:

- $i) ||x||\geq0$ und$||x||= 0 \Leftrightarrow x= 0$
- $ii) ||\lambda x||=|\lambda|||x||$
- $iii) ||x+y||\leq||x||+||y||$

Eigenschaften eines Skalarprodukts:

- (S1):$< \lambda v+\mu v′,w >=\lambda< v,w >+\mu< v′,w >$
${\space}{\space}{\space}{\space}{\space}{\space}
< v,\lambda w+\mu w′>=\lambda< v,w >+\mu< v,w′>$
- (S2):$< v,w >=< w,v >$
- (S3): $< v,v >\geq0$ und $< v,v >= 0\Leftrightarrow v= 0$

### 1a)

für Maximumsnorm ($||x||_{\infty}=max_{i=1,...,n} |x_i|$)
zu $i):||x||_{\infty}\geq0$:

1. Fall:$||x||_{\infty}=0$ gilt, wenn gilt $x_1=...=x_n= 0$
2. Fall:$||x||_{\infty}>0$ gilt durch den Betrag,
sobald mindestens ein $x_i\neq0$ ist

Zu $ii)||\lambda x||_{\infty}=|\lambda|||x||_{\infty}$:
${\space}{\space}{\space}||\lambda x||_{\infty}
= max_{i=1,...,n} |\lambda x_i|
=|\lambda| max_{i=1,...,n}|x_i|
= |\lambda| ||x||_{\infty}$ gilt,
da der Betrag von Lambda bei dem Maximum ausgeklammert werden kann.

Zu $iii) ||x+y||_{\infty}\leq||x||_{\infty}+||y||_{\infty}$:
$||x+y||_{\infty}=max_{i=1,...,n}|x_i+y_i|
\Rightarrow$ maximale Summe bei selben Index
$||x||_{\infty}+||y||_{\infty}= max_{i=1,...,n}|x_i|
+_{i=1,...,n}|y_i|$
die Summe der maximalen Elementen aus x und y. Dadurch gilt $||x+y||_{\infty}\leq||x||_{\infty}+||y||_{\infty}$

$\Rightarrow$ Für die Maximumsnorm gelten die drei Eigenschaften einer Norm

Für Summennorm($||x||_1=\sum^n_{i=1}|x_i|$):
Zu $i) ||x||_1\geq0$

1. Fall: $||x||_1= 0$ gilt für sobald alle x_i= 0
2. Fall: $||x||_1>0$ gilt sobald ein x aus x_i nicht 0 ist

Zu $ii) ||\lambda x||_i=|\lambda|||x||_i$
$||\lambda x||_i
=\sum^n_{i=1}|\lambda x_i|
=|\lambda| \sum^n_{i=1}|x_i|
=|\lambda|||x||_1$ gilt da hier auch das \lambda ausgeklammert werden kann

Zu $iii) ||x+y||_1\leq||x||_1+||y||_1$
$||x+y||_1= \sum^n_{i=1} |x_i+y_i|
\leq \sum^{n-1}_{i=1} |x_i+y_i|+|x_n|+|y_n|\leq$
$\sum^{n-1}_{i=1} |x_i+y_i|+|x_{n-1}|+|y_{n-1}|+|x_n|+|y_n|\leq...\leq$
$|x_1|+|y_1|+...+|x_n|+|y_n|=|x_1|+...+|x_n|+|y_1|+...+|y_n|=||x||_1+||y||_1$

$\Rightarrow$ Für die Summennorm gelten die drei Eigenschaften einer Norm

### 1b)

zz. es existiert kein Skalarprodukt mit
$i)||x||_{\infty}=<x,x>^{ \frac {1}{2}}$ bzw.
$ii) ||x||_1=<x,x>^{ \frac {1}{2}}$
Dabei müssen für $i)$ und $ii)$ (S1), (S2) und (S3) gelten
Es gilt jeweils $x,y,x',y' \in \mathbb{R}^n$

- Zu $i): ||x||_{\infty}=max_{i=1,...,n} |x_i|
=\sqrt {<x,x>}=\sqrt {(max_{i=1,...,n} |x_i|)^2}$
(S1)$<\lambda x+ \mu x',y>=
max_{i=1,...,n}|\lambda x_i+ \mu x'_i| \cdot max_{i=1,...,n} |y_i|=$
$(\lambda +\mu)max_{i=1,...,n}|x_i+x'_i|\cdot max_{i=1,...,n}|y_i$

$\lambda <x,y>+\mu<x',y>=
\lambda max_{i=1,...,n}|x_i|\cdot max_{i=1,...,n}|y_i|
+\mu max_{i=1,...,n}|x'_i|\cdot max_{i=1,...,n}|y_i|=$
$(\lambda max_{i=1,...,n}|x_i| + \mu max_{i=1,...,n}|x'_i|) \cdot max_{i=1,...,n}|y_i|$
Da wir die Dreiecksungleichung gezeigt haben gilt, dass
$(\lambda +\mu)max_{i=1,...,n}|x_i+x'_i|
\cdot max_{i=1,...,n}|y_i|\leq
(\lambda max_{i=1,...,n}|x_i|
+\mu max_{i=1,...,n}|x'_i|) \cdot max_{i=1,...,n}|y_i|$
und somit gilt (S1) also die Bilingualität nicht immer
und somit kann es so ein Skalarprodukt für die Maximumsnorm nicht geben.

- Zu $ii)||x||_1=<x,x>^{ \frac {1}{2}}$
$||x||_1=\sum^n_{i=1}|x_i|= \sqrt{<x,x>}= \sqrt {(\sum^n_{i=1}|x_i|)^2}$
(S1)$<\lambda x+ \mu x',y>=(\sum^n_{i=1}|\lambda x_i+\mu x'_i|)
(\sum^n_{i=1}|y_i|)$
$=(|\lambda+\mu|)(\sum^n_{i=1}|x_i+ x'_i|)(\sum^n_{i=1}|y_i|)=$
$\lambda<x,y>+\mu <x',y>=
\lambda(\sum^n_{i=1} |x_i|)(\sum^n_{i=1}|y_i|)
+\mu(\sum^n_{i=1} |x'_i|)(\sum^n_{i=1}|y_i|)=$
$((\lambda \sum^n_{i=1} |x_i|)+(\mu \sum^n_{i=1}|x'_i|))(\sum^n_{i=1}|y_i|)$
Ist wieder nicht dasselbe und somit gilt hier auch die Bilingualität nicht.

## Aufgabe 2

### 2a)

Basis von $E$:
$V:= \{v_1, v_2, v_3\}$ mit
$v_1=\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}$,
$v_2=\begin{pmatrix}2\\-1\\-1\end{pmatrix}$,
$v_3=\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}$.

Orthonormalbasis $W$ soll sein $W:= \{w_1,w_2,w_3\}$
Orthonormalisierung durch Gram-Schmidt'sches Orthonormalisierungsverfahren:

$w_1=\frac{v_1}{||v_1||}
=\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{<v_1,v_1>}}
=\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}\frac{1}{\sqrt2}
=\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt2}\\-\frac{1}{\sqrt2}\\0\end{pmatrix}$

$w'_2
=v_2-<w_1,v_2>w_1
=\begin{pmatrix}2\\-1\\-1\end{pmatrix}
-(\frac{2}{\sqrt2}+\frac{1}{\sqrt2}+0)
\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt2}\\-\frac{1}{\sqrt2}\\0\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}2\\-1\\-1\end{pmatrix}
-\begin{pmatrix}2\\-2\\0\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}$

$w_2=\frac{w'_2}{||w'_2||}
=\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{<w'_2,w'_2>}}
=\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}
=\begin{pmatrix}0\\\frac{1}{\sqrt{2}}\\-\frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}$

$w'_3
=v_3-(<w_1,v_3>w_1+<w_2,v_3>w_2)
=\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}
-(\frac{1}{\sqrt{2}}
\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt2}\\-\frac{1}{\sqrt2}\\0\end{pmatrix}
+(-\frac{1}{\sqrt2})
\begin{pmatrix}0\\\frac{1}{\sqrt{2}}\\-\frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix})
=\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}
-(\begin{pmatrix}\frac{1}{2}\\-\frac{1}2\\0\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}0\\-\frac{1}2\\\frac{1}{2}\end{pmatrix})
=\begin{pmatrix}\frac{1}{2}\\1\\-\frac{3}{2}\end{pmatrix}$

$w_3=\frac{w'_3}{||w'_3||}
=\begin{pmatrix}\frac{1}{2}\\1\\-\frac{3}{2}\end{pmatrix}
\frac{1}{\sqrt{<w'_2,w'_2>}}
=\begin{pmatrix}\frac{1}{2}\\1\\-\frac{3}{2}\end{pmatrix}
\frac{1}{\sqrt{3,5}}
=\begin{pmatrix}\frac{1}{2\sqrt{3,5}}\\\frac{1}{\sqrt{3,5}}\\-\frac{3}{2\sqrt{3,5}}\end{pmatrix}$

$\Rightarrow W = \{
\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt2}\\-\frac{1}{\sqrt2}\\0\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}0\\\frac{1}{\sqrt{2}}\\-\frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}\frac{1}{2\sqrt{3,5}}\\\frac{1}{\sqrt{3,5}}\\-\frac{3}{2\sqrt{3,5}}\end{pmatrix}
\}$.

## Aufgabe 3

$v_0: u_0=\frac {v_0}{||v_0||}= \frac {1}{\sqrt {1}}=\frac {1}{1}=1$

$v_1: u_1=\frac {v'_1}{||v'_1||}
=\frac{v_1}{||v_1||}
=\frac{x}{\sqrt{<x,x>}}
=\frac{x}{\sqrt{\frac{1}{3}}}
=\sqrt {3}x$

$v_1^*=\sum ^n_{i=1}<v_1,u_0>\cdot u_0=0$

$v'_1=v_1-v^*_1=v_1$

$v_2: u_2=\frac{v_2'}{||v_2'||}
=\frac{x^2 -\frac{1}{3}}{\sqrt{<x^2-\frac{1}{3},x^2-\frac{1}{3}>}}
=\frac{x^2-\frac{1}{3}}{\sqrt{\frac{4}{45}}}
=\frac{x^2-\frac{1}{3}}{\frac{2}{3 \sqrt{5}}}
=\frac{3 \sqrt {5} x^2-\sqrt{5}}{2}$

$v_2^*=\sum_{i=0}^1 <v_2,u_i>\cdot u_i
=<v_2,u_0>\cdot u_0+<v_2,u_1>\cdot u_1=\frac {1}{3}$

$v_2'= v_2-v_2^*=x^2-\frac{1}{3}$

$v_3:u_3=\frac {v'_3}{||v_3'||}=
\frac {x^3-\frac {3}{5}x}{\sqrt{<x^3-\frac {3}{5}x,x^3-\frac {3}{5}x>}}=
\frac{x^3-\frac {3}{5}x}{\sqrt {\frac {4}{175}}}=
\frac{x^3-\frac {3}{5}x}{{\frac {2}{\sqrt{7}\cdot5}}}=
\frac{5 \sqrt{7}x^3-3 \sqrt{7}x}{2}$

$v_3^*=\sum_{i=0}^2 <v_3, u_i>u_i=<v_3,u_0>u_0 + <v_3, u_2>u_2
= 0 + \frac{\sqrt{3}}{5}\cdot \sqrt3 x + 0 = \frac{3}{5}x$

$v_3'=v_3-v_3^*=x^3- \frac{\sqrt3}{5}x$

Geweth Christina, 103194
Günther Lucia, 102907
Kern Anna-Lena, 89377

###### tags: `Lineare Algebra 2` `Mathematik` `Uni`