# 3. Übungsblatt zur Linearen Algebra 2

## Aufgabe 1

Im $\mathbb{R}^3$ bezeichne $\mathcal{A}$ die Standardbasis und
sei $v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}$,
$v_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$,
$v_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$,
sowie $\mathcal{B}=(v_1,v_2,v_3)$.

### 1a)

Zu zeigen:
$\mathcal{B}$ ist eine Basis von $\mathbb{R}^3$.
$i)$ die Verktoren $e_1, e_2$ und $e_3$ lassen sich
durch $\mathcal{B}$ darstellen.
$ii)$ $\mathcal {B}$ ist linear unabhängig.
Zu $i)$ $e_1= v_1+\frac{1}{2}v_2 +v_3$
$e_2= v_2+v_3$ und $e_3=\frac{1}{2}(-v_2+v_3)$
Zu $ii)$: Lineare Unabhängigkeit gilt genau dann, wenn
$\sum_{i=1}^{3}{\lambda_i v_i}=0$ $\forall v_1 \in \mathcal{B}$ und
$\forall \lambda_i = 0$.
Um diese Gleichung zu zeigen, bringen wir das zugehörige Lineare Gleichungssystem
in Form einer Matrix und lösen diese durch Zeilen- und Spaltenoperationen:
$\begin{pmatrix}
1 && 0 && 0 && | && 0\\
-1 && 1 && 1 && | && 0\\
0 && -1 && 1 && | && 0\end{pmatrix}$
$(Z_3)$ Addition von Zeile $1$ zu Zeile $2 \leadsto$
$\begin{pmatrix}
1 && 0 && 0 && | && 0\\
0 && 1 && 1 && | && 0\\
0 && -1 && 1 && | && 0\end{pmatrix}$
$(Z_3)$ Addition von Zeile $2$ zu Zeile $3 \leadsto$
$\begin{pmatrix}
1 && 0 && 0 && | && 0\\
0 && 1 && 1 && | && 0\\
0 && 0 && 2 && | && 0\end{pmatrix}$
$(Z_3)$ Subtraktion des $\frac{1}{2}$-fachen der Zeile $3$ von Zeile $2 \leadsto$
$\begin{pmatrix}
1 && 0 && 0 && | && 0\\
0 && 1 && 0 && | && 0\\
0 && 0 && 2 && | && 0\end{pmatrix}$
$(Z_2)$ Skalare Multiplikation der Zeile $3$ mit $\frac{1}{2}$ $\leadsto$
$\begin{pmatrix}
1 && 0 && 0 && | && 0\\
0 && 1 && 0 && | && 0\\
0 && 0 && 1 && | && 0\end{pmatrix}$
$\Rightarrow \lambda_1=0, \lambda_2=0, \lambda_3=0$ als eindeutige Lösung.
$\Rightarrow \mathcal{B}$ ist linear unabhängig.
$\Rightarrow$ (mit $i)$) $\mathcal{B}$ ist eine Basis. $\Box$

### 1b)

$v_1=\begin{pmatrix} 1 \\ -1\\ 0 \end{pmatrix}$,
$v_2=\begin{pmatrix} 0 \\ 1\\ -1 \end{pmatrix}$,
$v_3=\begin{pmatrix} 0 \\ 1\\ 1 \end{pmatrix}$

$f(v_1)=\begin{pmatrix} 0 \\ 1\\ -1 \end{pmatrix}$
$=0e_1+1e_2+(-1)e_3 = 0v_1+1v_2+0v_3$
$f(v_2)=\frac{1}{2} \begin{pmatrix} 0 \\ 1\\ 1 \end{pmatrix}$
$=0e_1+\frac{1}{2}e_2+\frac{1}{2}e_3 = 0v_1+0v_2+\frac{1}{2}v_3$
$f(v_3)=\begin{pmatrix} 0 \\ 1\\ -1 \end{pmatrix}$
$=(-1)e_1+1e_2+0e_3 = (-1)v_1+0v_2+0v_3$

$f(e_1)=\begin{pmatrix} 0 \\ 1\\ 0 \end{pmatrix}=0e_1+1e_2+0e_3$
$f(e_2)=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}0\\0\\1 \end{pmatrix}=
0e_1+0e_2+\frac{1}{2}e_3$
$f(e_3)=-\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=(-1)e_1+0e_2+0e_3$

$A=_\mathcal{B}M_\mathcal{B}(f)=\begin{pmatrix}
0&&0&&-1\\
1&&0&&0\\
0&&\frac{1}{2}&&0\\
\end{pmatrix}$
$B=_\mathcal{B}M_\mathcal{A}(f)=\begin{pmatrix}
0&&0&&-1\\
1&&\frac{1}{2}&&1\\
-1&&\frac{1}{2}&&0\\
\end{pmatrix}$
$C=_\mathcal{A}M_\mathcal{A}(f)=\begin{pmatrix}
0&&0&&-1\\
1&&0&&0\\
0&&\frac{1}{2}&&0\\
\end{pmatrix}$

### 1c)

$id_\mathbb{R}^3(v_1)=v_1=1e_1+(-1)e_2+0e_3$
$id_\mathbb{R}^3(v_2)=v_2=0e_1+1e_2+(-1)e_3$
$id_\mathbb{R}^3(v_3)=v_3=0e_1+1e_2+1e_3$

$T=_\mathcal{B}M_\mathcal{A}(id_{\mathbb R^3})=\begin{pmatrix}
1&&0&&0\\
-1&&1&&1\\
0&&-1&&1\\
\end{pmatrix}$

$TA = \begin{pmatrix}
1&&0&&0\\
-1&&1&&1\\
0&&-1&&1\\
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
0&&0&&-1\\
1&&0&&0\\
0&&\frac{1}{2}&&0\\
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0&&0&&-1\\
1&&\frac{1}{2}&&1\\
-1&&\frac{1}{2}&&0\\
\end{pmatrix}$

$CT =\begin{pmatrix}
0&&0&&-1\\
1&&0&&0\\
0&&\frac{1}{2}&&0\\
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1&&0&&0\\
-1&&1&&1\\
0&&-1&&1\\
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0&&1&&-1\\
1&&0&&0\\
-\frac{1}{2}&&\frac{1}{2}&&\frac{1}{2}\\
\end{pmatrix}$

## Aufgabe 2

### 2a)

Zu zeigen:
$A\in Gl_n(K)$ invertierbar,
dann ist $A^{-1}$ eindeutig bestimmte Pseudoinverse von $A$.

Aus Definition invertierbarer Matrizen:
$AA^{-1}A=AE=A$, $A^{-1}AA^{-1}=A^{-1}E=A^{-1}$ für $E:=$ Einheitsmatrix.
Sei $B\in Mat_{n \times n}(K)$ eine Pseudoinverse von $A$. Dann gilt:
$B = A^{-1} A B A A^{-1} = A^{-1} A A^{-1} = A^{-1}$. $\Box$

### 2b)

Zu zeigen: Jede Matrix besitzt eine Pseudoinverse.

Für $A\in Gl_n(K)$ klar, da $A^{-1}$ Pseudoinverse.

## Aufgabe 3

$A= \begin{pmatrix}
1&& 1&& 1\\
1&&2&&2\\
1&&2&&3\\
\end{pmatrix}$

$A=(Q_{12}(-1)\cdot Q_{13}(-1)\cdot Q_{21}(-1)\cdot Q_{23}(-1)\cdot Q_{32}(-1))^{-1}=$
$=(\begin{pmatrix}
1&&-1&&0\\
0&&1&&0\\
0&&0&&1\\\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1&&0&&-1\\
0&&1&&0\\
0&&0&&1\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1&&0&&0\\
-1&&1&&0\\
0&&0&&1\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1&&0&&0\\
0&&1&&-1\\
0&&0&&1\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1&&0&&0\\
0&&1&&0\\
0&&-1&&1\\
\end{pmatrix})^{-1}=$
$=\begin{pmatrix}
1&&0&&0\\
0&&1&&0\\
0&&1&&1\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1&&0&&0\\
0&&1&&1\\
0&&0&&1\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1&&0&&0\\
1&&1&&0\\
0&&0&&1\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1&&0&&1\\
0&&1&&0\\
0&&0&&1\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1&&1&&0\\
0&&1&&0\\
0&&0&&1\\\end{pmatrix}=$
$=Q_{32}(1) \cdot Q_{23}(1)\cdot Q_{21}(1)\cdot Q_{13}(1)\cdot Q_{12}(1)$

Probe:
$Q_{32}(1) \cdot Q_{23}(1)\cdot Q_{21}(1)\cdot Q_{13}(1)\cdot Q_{12}(1)=$
$=\begin{pmatrix}
1&&0&&0\\
0&&1&&0\\
0&&1&&1\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1&&0&&0\\
0&&1&&1\\
0&&0&&1\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1&&0&&0\\
1&&1&&0\\
0&&0&&1\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1&&0&&1\\
0&&1&&0\\
0&&0&&1\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1&&1&&0\\
0&&1&&0\\
0&&0&&1\\\end{pmatrix}=$
$=\begin{pmatrix}
1&&0&&0\\
0&&1&&1\\
0&&1&&2\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1&&0&&0\\
1&&1&&0\\
0&&0&&1\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1&& 0&& 1\\
0&&1&&0\\
0&&0&&1\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1&& 1&& 0\\
0&&1&&0\\
0&&0&&1\\\end{pmatrix}=$
$=\begin{pmatrix}
1&&0&&0\\
1&&1&&1\\
1&&1&&2\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1&& 0&& 1\\
0&&1&&0\\
0&&0&&1\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1&& 1&& 0\\
0&&1&&0\\
0&&0&&1\\\end{pmatrix}=$
$=\begin{pmatrix}
1&&0&&1\\
1&&1&&2\\
1&&1&&3\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1&& 1&& 0\\
0&&1&&0\\
0&&0&&1\\\end{pmatrix}=$
$=\begin{pmatrix}
1&&1&&1\\
1&&2&&2\\
1&&2&&3\\
\end{pmatrix}=A$

## Aufgabe 4

$A=\begin{pmatrix}1&&1&&1\\ 1&&2&&3\\ \end{pmatrix}
\in Mat_{2\times 3}(\mathbb{Q})$

$N= T^{-1}\cdot A \cdot S$
$N$ geht durch Zeilen- und Spaltenoperatoren hervor:
$N=Q_{12} (-1) \cdot Q_{21}(-1)\cdot A \cdot Q_{13}(1) \cdot Q_{23} (-2) =$
$\begin{pmatrix}1&&-1\\0&&1\\ \end{pmatrix} \cdot
\begin{pmatrix} 1&&1\\-1 &&1\\ \end{pmatrix} \cdot
\begin{pmatrix}1&&1&&1\\ 1&&2&&3\\ \end{pmatrix} \cdot
\begin{pmatrix} 1&&0&&1\\0&&1&&0\\0&&0&&1\\ \end{pmatrix}
\cdot \begin{pmatrix} 1&&0&&0\\0&&1&&-2\\0&&0&&1\\ \end{pmatrix}=$
$\begin{pmatrix}2&&-1\\-1&&1\\ \end{pmatrix} \cdot
\begin{pmatrix}1&&1&&1\\ 1&&2&&3\\ \end{pmatrix} \cdot
\begin{pmatrix} 1&&0&&1\\0&&1&&-2\\0&&0&&1\\ \end{pmatrix}
=\begin{pmatrix} 1&&0&&0\\0&&1&&0\\\end{pmatrix}$

$\Rightarrow T^{-1}= \begin{pmatrix}2&&-1\\-1&&1\\ \end{pmatrix}
\Rightarrow T= \begin{pmatrix}1&&1\\1&&2\\ \end{pmatrix}$
und $S=\begin{pmatrix} 1&&0&&1\\0&&1&&-2\\0&&0&&1\\ \end{pmatrix}$

Geweth Christina, 103194
Günther Lucia, 102907
Kern Anna-Lena, 89377

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