# 4. Tutorium

## Aufgabe 1

Sei $A ∈ Mat_{n×n}(K)$ diagonalisierbar. Zeigen Sie:

### 1a)

Dann ist auch $A^k$ diagonalisierbar, $\forall k ∈ \mathbb{N}$.

$A$ diagonalisierbar $\Rightarrow \exists D:=S^{-1}AS,S ∈ Mat_{n×n}(K)$.
Sei $J:= S^{-1}$.
$\Rightarrow A=JDJ^{-1}$.
$A^2 = JDJ^{-1}JDJ^{-1}=JDEDJ^{-1}=JD^2J^{-1}$
...
$A^k = JDJ^{-1}...JDJ^{-1}=JD^kJ^{-1}$
$\Rightarrow D^k = S^{-1}A^kS$. $\Box$

### 1b)

Ist $A$ invertierbar, so ist auch $A^{−1}$ diagonalisierbar.

$A$ diagonalisierbar $\Rightarrow \exists D:=S^{-1}AS$.
Sei $J:= S^{-1}$.
$\Rightarrow A=JDJ^{-1}$.
$\Rightarrow A^{-1}=(JDJ^{-1})^{-1}=J^{-1}D^{-1}J$
$\Rightarrow D^{-1}=SA^{-1}S^{-1}.
D^{-1}=\begin{pmatrix} 1/\lambda &0&&...&&0
\\0& 1/\lambda &0&...&&0
\\&&...\\
0&&...&&0&1/\lambda\end{pmatrix}$ hat Diagonalgestalt.
$\Box$

## Aufgabe 2

Es sei $f : V → V$ ein K-Endomorphismus.
Zeigen Sie: Ist $λ ∈ K$ ein Eigenwert von $f$,
so ist $λ^k$ ein Eigenwert von $f^k,\forall k ∈ \mathbb{N}$.

$\lambda$ Eigenwert $\Leftrightarrow f(v)=\lambda v.$
$f^2(v)=f(f(v))=f(\lambda v)=\lambda(f(v))=\lambda(\lambda v)=\lambda^2v$
...
$f^k(v)=f(f(...f(v)...))=\lambda^kv. \Box$

## Aufgabe 3

Stellen Sie die Matrix
$A = (Q_{23}(−1) P_{13} S_2(3) P_{12} Q_{12}(3) S_1(2))^{−1}$
als ein Produkt von Elementarmatrizen dar.

$A = (Q_{23}(−1) P_{13} S_2(3) P_{12} Q_{12}(3) S_1(2))^{−1}=
Q_{23}(1) P_{13} S_2(1/3) P_{12} Q_{12}(-3) S_1(1/2))^{−1}$

## Aufgabe 4

Stellen Sie die Matrix
$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} ∈ Gl_2(\mathbb{Q})$
als ein Produkt von Elementarmatrizen dar und machen Sie die Probe.

$A=Q_{21}(1)Q_{12}(1)=
\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$

## Aufgabe 5

Auf der Menge $X = Mat_{m×n}(K)$ sei die Relation $R$ definiert durch
$A R B :⇔ ∃ T ∈ GLm(K) : B = T A (\forall A, B ∈ X)$.

### 5a)

Beweisen Sie, dass $R$ eine Äquivalenzrelation ist.

- reflexiv: $ARA: A = EA$
- symmetrisch:
$ARB :\Leftrightarrow B = TA. \Rightarrow T^{-1}B=T^{-1}TA = A \Rightarrow BRA$
- transitiv:
$ARB \land BRC \Rightarrow B = TA, C= SB \Rightarrow C= STA,S ∈ GLm(K)
\Rightarrow C=UA, U:=ST \Rightarrow ARC$

$\Box$

### 5b)

Zeigen Sie, dass Matrizen $A, B ∈ X$ mit $A R B$ den gleichen Zeilenraum haben.

Zwei Matrizen haben den gleichen Zeilenraum, wenn sie den gleichen Rang haben.
Nach Korollar 2.6 ist dies der Fall, wenn $A \sim B$.
Wenn $ARB$, dann natürlich $A \sim B$. $\Box$

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