# 1. Übungsblatt zur Linearen Algebra II

## Aufgabe 1

Auf der Menge aller Menschen gibt es die Relationen
a) "ist Vorfahrin oder Vorfahre von",
b) "ist Schwester oder Bruder von",
c) "hat gemeinsame Vorfahren mit",
d) "ist befreundet mit",
e) "kennt".
Zu untersuchen sind die Eigenschaften einer Äquivalenz-,
bzw. Ordnungsrelation, die diese 5 Relationen besitzen.
zu a)

- Reflexivität ist nicht gegeben, da man selbst nicht sein
eigener Vorfahre, bzw. seine eigene Vorfahrin ist.
- Symmetrie ist nicht gegeben, da man selbst nicht
gleichzeitig der Vorfahre, bzw. die Vorfahren der eigenen Vorfahren sein kann.
- Antisymmetrie ist gegeben, da genau dann,
wenn $X$ Vorfahre von $Y$ und $Y$ Vorfahre von $X$ gilt,
daraus folgt, dass $X$ und $Y$ die gleichen Personen sein müssen.
- Transitivität ist gegeben,
da die Vorfahren der Vorfahren einer Person
auch die Vorfahren der Person selbst sind.

zu b)

- Reflexivität ist nicht gegeben, vorausgesetzt,
man kann sich nicht als eigene Schwester bzw. eigener Bruder definieren.
(Einzelkind bleibt Einzelkind.)
- Symmetrie ist gegeben, da, wenn eine Person ein Geschwisterkind hat,
es damit auch zum Geschwinderkind dessen wird.
- Antisymmetrie ist nicht gegeben,
weil eine Familie nicht zwingend nur ein Kind haben muss.
- Transitivität ist gegeben, da,
wenn eine Person zwei Geschwister hat,
sowohl Geschwisterkind 1 Bruder oder Schwester von Geschwisterkind 2 ist
und die Person selbst ebenfalls Bruder oder Schwester von Geschwisterkind 1,
dann müssen auch die Person selbst und Geschwisterkind 2 Geschwister sein.
(Halbgeschwister ausgeschlossen)

zu c)

- Reflexivität ist gegeben,
da man mit sich selbst die gleichen Vorfahren hat
- Symmetrie ist gegeben,
da dies durch die Beschreibung "gemeinsam" gegeben ist.
- Antisymmetrie ist nicht gegeben,
da zwei Personen die gleichen Vorfahren haben können
(im Sinne der Symmetrie), ohne dass es sich um die selbe Person handelt.
- Transitivität ist nicht zwingend gegeben,
da, z.B. wenn Person $X$ gemeinsame Vorfahren mit ihrer Cousine hat
und diese wiederum gemeinsame Vorfahren mit ihrer Cousine (Person $Z$) hat,
nicht Person $X$ gemeinsame Vorfahren mit Person $Z$ haben muss.

zu d)

- Reflexivität gilt nicht, da man sich selbst auch hassen kann.
- Symmetrie ist gegeben,
da Freundschaft auf Gegenseitigkeit beruht.
- Antisymmetrie ist nur gegeben, wenn man keine Freunde hat,
im Allgemeinen allerdings nicht gegeben.
- Transitivität ist nicht zwingend gegeben,
denn eine Person kann ín verschieden Freundeskreise sein.

zu e)

- Reflexivität gegeben,
da jeder Mensch sich selbst kennt.
- Symmetrie ist nicht gegeben,
da Person $X$ die Person $Y$ kennen kann,
Person $Y$ aber nichts von der Existenz von Person $X$ wissen muss.
- Antisymmetrie ist nicht zwingend gegeben,
da man im Allgemeinen mehr Personen als sich selbst kennt.
- Transitivität ist nicht zwingend gegeben,
da Person $X$ die Person $Y$ kennen kann
ohne Verbindung zu Bekannten der Person $Y$.

## Aufgabe 2

Es ist ein Beispiel für eine Relation auf einer Menge $X$ gesucht, welche
a) reflexiv, symmetrisch, aber nicht transitiv ist:
$R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1)\}$
b) reflexiv, transitiv, aber nicht symmetrisch ist:
$R=\{(B1,B2)|B1 \subseteq B2\subseteq M\}$
c) symmetrisch, transitiv, aber nicht reflexiv ist:
$R=\{(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,1),(1,3)\}$

## Aufgabe 3

Sei $X$ eine Menge und sei $\mathcal{C}$ eine Zerlegung von $X$.
Es sei auf $X$ eine Relation $\thicksim$ definiert durch
$x \thicksim y:\Leftrightarrow \exists A \in \mathcal{C}: x,y \in A$
(wobei $x,y \in X$).
Zu zeigen ist, dass $\thicksim$ eine Äquivalenzrelation ist.

$i)$ Reflexivität: Sei $x \in X$.
Dadurch, dass $A \subseteq X$ einen nicht-leere Menge ist
und $X$ durch $\mathcal{C}$ in Mengen $A$ unterteilt wird,
muss $x \in X$ in einer der Mengen vorkommen.
Da die Mengen $A$ paarweise disjunkt sind,
kann $x$ nur in genau einer Menge $A$ liegen.
Damit gilt $x \thicksim x:\Leftrightarrow \exists A \in \mathcal{C}: x \in A$.

$ii)$ Symmetrie: Sei $x,y \in X$.
Durch die Definition des Kommas als Abkürzung des "Unds"
gegeben, da dies kommutativ ist, so dass es trivial ist,
ob $x,y \in A$ oder ob $y,x \in A$.

$iii)$ Transitivität: Seien $x,y,z \in X$.
Dann gilt: $x \thicksim y:\Leftrightarrow \exists A \in \mathcal{C}: x,y \in A$
und $y \thicksim z:\Leftrightarrow \exists B \in \mathcal{C}: y,z \in A$.
Aus der Definition von Zerlegungen (die Teilmengen von $X$,
die durch die Zerlegung entstehen, sind paarweise disjunkt) geht hervor,
dass $A$ und $B$, die beide ein gemeinsames Element y haben,
die gleiche Menge sein müssen. Damit gilt Transitivität.
Die Relation $\thicksim$ ist somit eine Äquivalenzrelation. $\Box$

## Aufgabe 4

Sei $V$ ein $K$-Vektorraum und bezeichne $L$
die Menge aller Untervektorräume von $V$.

Es soll gelten:
($L, \leq$) mit $U \leq W:\Leftrightarrow U \subseteq W$
(wobei $U,W \in L$) ist eine geordnete Menge.

Zu zeigen ist,
dass für $U, W\in L$ stets eine größste gemeinsame untere Schranke in $L$
und eine kleinste gemeinsame obere Schranke in $L$ existieren,
also dass die geordnete Menge ($L, \leq$) ein Verband ist.

Sei $x \in U$ und untere Schranke von $U$ und sei
$y \in W$ und untere Schranke von W.
Durch Teilmenge gilt $x \in W$.
Da $U \leq W$ Ordnungsrelation ist, gilt $x \leq y$ und
somit folgt aus Definition $x=y$ und somit ist $x$ größte gemeinsame untere Schranke.

$\Box$

Geweth Christina, 103194
Günther Lucia, 102907
Kern Anna-Lena, 89377

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