# 7. Übungsblatt zur Linearen Algebra 2

## Aufgabe 1

Zu berechnen sind die verallgemeinerten Eigenräume der Matrix
$A:= \begin{pmatrix} 1&0&1&0\\-3&3&0&2\\0&0&1&0\\5&-4&1&-3 \end{pmatrix}$.
Die Berechnung des charakteristischen Polynoms liefert
$p_A: \lambda ^4-2 \lambda ^3+2 \lambda -1 = (\lambda -1)^3(\lambda +1)$.
$p_A = 0$ liefert die Eigenwerte $1, -1$
mit algebraischer Vielfachheit $1$ für $\lambda = -1$
und $3$ für $\lambda = 1$.

- $VEig(A, -1) = ker((-1)E-A)^1 =
ker(\begin{pmatrix} -2&0&-1&0\\3&-4&0&-2\\0&0&-2&0\\-5&4&-1&2\end{pmatrix})=
\{\begin{pmatrix}0\\-1\\0\\2\end{pmatrix}\}$
- $VEig(A, 1) = ker(E-A)^3 =
ker(\begin{pmatrix} 0&0&0&0\\8&-8&0&-8\\0&0&0&0\\-16&16&0&16\end{pmatrix})=
\{\begin{pmatrix}1\\1\\0\\0\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}1\\0\\0\\1\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}0\\-1\\0\\1\end{pmatrix}\}.$

## Aufgabe 2b)

Zu zeigen: Ist $\lambda \in K$ mit $Eig(f,\lambda) = \{0\}$,
so gilt auch $VEig(f,\lambda)=\{0\}$.
Nach Definition gilt
$VEig(f,\lambda)=\{v\in V|(f-\lambda id_v)^s = 0, s\in \mathbb{N}\}$.
Zur Berechnung wird nun angewendet $ker(f-\lambda id_v)^s$.
Zur Berechnung des Eigenraums wird allerdings $ker(f-\lambda id_v)$ angewendet.
Wenn nun $ker(f-\lambda id_v) = \{0\}$ liefert, so muss $ker(f-\lambda id_v)^s = \{0\}$
ebenfalls gelten, da $\{0\}^s=\{0\}$ für alle $s\in \mathbb{N}$.

## Aufgabe 3

$A:=\begin{pmatrix}
1&1&-2&1&0&2&-2\\
0&1&1&0&2&2&1\\
0&0&1&0&1&0&0\\
0&0&1&0&1&0&0\\
1&0&-2&1&-1&1&-1\\
-1&0&1&-1&0&-1&1\\
0&1&-1&0&0&1&-1
\end{pmatrix}$

Die Jordansche Normalform von $A$:

$J=\begin{pmatrix}
0&0&0&0&0&0&0\\
0&0&1&0&0&0&0\\
0&0&0&1&0&0&0\\
0&0&0&0&0&0&0\\
0&0&0&0&0&1&0\\
0&0&0&0&0&0&1\\
0&0&0&0&0&0&0
\end{pmatrix}$

## Aufgabe 4

$A:= \begin{pmatrix} 2&0&0\\1&3&1\\0&-1&1\end{pmatrix}$

Berechnung des charakteristischen Polynoms liefert
$p_A = -\lambda ^3+6 \lambda ^2-10 \lambda +4$.
$p_A = 0 \Rightarrow$

- $\lambda_1 = 2$
- $\lambda_2 = 2+\sqrt 2$
- $\lambda_3 = 2-\sqrt 2$

Algebraische Vielfachheit ist jeweils $1$.
$\Rightarrow J =
\begin{pmatrix} 2&0&0\\0&2+\sqrt 2&0\\0&0&2+\sqrt 2\end{pmatrix}$
$\Rightarrow A = S^{-1}JS =
\begin{pmatrix}
2&0&0\\
-1 & -1+\sqrt 2 & -1-\sqrt 2\\
1&1&1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 2&0&0\\0&2+\sqrt 2&\\0&0&2+\sqrt 2\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\frac{1}{2} & 0 & 0\\
\frac{-1}{4} & \frac{1}{2 \sqrt {2}} & \frac{1}{4}(2+ \sqrt 2)\\
\frac{-1}{4} & \frac{-1}{2 \sqrt {2}} & \frac{1}{4}(2- \sqrt 2)\end{pmatrix}$

Geweth Christina, 103194
Günther Lucia, 102907
Kern Anna-Lena, 89377

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