# 6. Übungsblatt zur Linearen Algebra 2

## Aufgabe 1

$A:= \begin{pmatrix} 2 &0& -2\\ -2&-1&1\\2&1&-1 \end{pmatrix}$

### Aufgabe 1a)

$p_A(X)=det(XE-A)=(X-2)(X+1)^2+2\cdot2\cdot(-1)-(-2)2(X+1)-(-1)(-1)(X-2)=$
$X^3+2X^2+X-2X^2-4X-2-4+4X+4-X+2=X^3$

$(A-\lambda E)v=0$
Durch Gaußverfahren folgt daraus, dass zu dem Eigenwert 0
es zwei Eigenvektoren
$v_1=\begin{pmatrix} 1\\1\\0\end {pmatrix}$ und
$v_2=\begin{pmatrix} 0\\0\\1\end {pmatrix}$ gibt.
$\Rightarrow$ Eigenwert ist $\lambda= 0$ und algebraische Vielfachheit ist 3
geometrische Vielfachheit ist
$dim(Eig(0,A))=dim(\begin{pmatrix} 1\\1\\0\end {pmatrix},
\begin{pmatrix} 0\\0\\1\end {pmatrix})$=2
$\Rightarrow$ Die Matrix ist nicht diagonalisierbar

## Aufgabe 2

zz. $p_A= f$
Da gilt, dass das charakteristische Polynom $p_A$,
wenn man die Matrix $A$ in $p_A$ einsetzt $0$ ergibt,
so muss man hier $f(A)$ berechnen und wenn gilt $f(A)=0$, so ist $f=p_A$

$p_A(X)=det|A-XE|= X^n+a'_{n-1}X^{n-1}+...+ Xa'_1+a'_0$
$\Rightarrow p_A(A)=0=f(A)$ also
$A^n+a'_{n-1}A^{n-1}+...+ Aa'_1+a'_0=A^n+a_{n-1}A^{n-1}+...+ Xa_1+a_0$
$\Rightarrow$ $a'_{n-1}=a_{n-1} \land ... \land a'_0=a_0$
$\Rightarrow p_A= f$
$\square$

## Aufgabe 3

## Aufgabe 4

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