# 7. Tutorium

## Aufgabe 1

Geben Sie Untervektorräume $U_1, U_2, U_3$ eines K-Vektorraums $V$ an,
welche $U_i ∩ U_j = \{0\}, \forall i \ne j$ erfullen,
für die jedoch nicht $U_1 ⊕ U_2 ⊕ U_3 ⊆ V$ gilt.

Sei $V=\mathbb{R}^3,
U_1:=<\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}>,
U_2:=<\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}>,
U_3:=<\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}>$.

Dann ist $U_1 ⊕ U_2 \subseteq V,U_1 ⊕ U_3 \subseteq V, U_2 ⊕ U_3 \subseteq V$
(da Vektoren paarweise linear unabhängig),
aber $\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}=0$
und somit nicht $U_1 ⊕ U_2 ⊕ U_3 ⊆ V$.

## Aufgabe 2

Sei $V$ ein K-Vektorraum, $f : V → V$ ein Endomorphismus und sei $λ ∈ K$.
Zeigen Sie: Ist $U ⊆ V$ ein f-invarianter Untervektorraum,
so ist $U$ auch $(f + λ id_V)$-invariant.

Sei $u\in U$. Es gilt: $(f + λ id_V)(u)=f(u) + (λ id_V)(u)=f(u) + λ id_V(u) =
f(u) + \lambda u \in U$,
da $f(u) \in U$ (Nach Voraussetzung: $U$ f-invariant) und
$\lambda u \in U$, da $U$ als Unterraum bzgl. Multiplikation abgeschlossen ist.

## Aufgabe 3

Bestimmen Sie (ohne viel zu rechnen) die verallgemeinerten Eigenräume
der folgenden reellen Matrizen:
$A = \begin{pmatrix} -2&1&0 \\ 0&-2&0 \\ 0&0&3\end{pmatrix}$,
$B = \begin{pmatrix} 1&0&3 \\ 0&-2&0 \\ 0&0&1\end{pmatrix}$,
$C = \begin{pmatrix} -5&0&1&0 \\ 0&3&0&0 \\ 0&0&-5&0\\0&-2&0&3\end{pmatrix}$.

### 3a)

EWe der Matrix $A: \lambda_{1/2}=-2, \lambda_3=3$.
Es gilt $(A+2E)^2=\begin{pmatrix} 0&0&0 \\ 0&0&0 \\ 0&0&25\end{pmatrix}$
$\Rightarrow VEig(A,-2)=ker(A+2E)^2=
span\{\begin{pmatrix} 1\\0\\0\end{pmatrix},
\begin{pmatrix} 0\\1\\0\end{pmatrix}\}$.

$VEig(A,3)=ker(A-3E)=ker(\begin{pmatrix}-5&-1&0 \\ 0&-5&0 \\ 0&0&0\end{pmatrix})=
span\{\begin{pmatrix} 0\\0\\1\end{pmatrix}\}$.

### 3b)

EWe der Matrix $B: \lambda_{1/2}=1, \lambda_3=-2$.
Es gilt $(B-1E)^2=\begin{pmatrix} 0&0&0\\0&9&0\\0&0&0\end{pmatrix}$
$\Rightarrow VEig(B,1)=ker(A+E)^2=
span\{\begin{pmatrix} 1\\0\\0\end{pmatrix},
\begin{pmatrix} 0\\0\\1\end{pmatrix}\}$.

$VEig(B,-2)=ker(B+2E)=ker(\begin{pmatrix}3&0&3 \\ 0&0&0 \\ 0&0&3\end{pmatrix})=
span\{\begin{pmatrix} 0\\1\\0\end{pmatrix}\}$.

### 3c)

EWe der Matrix $C: \lambda_{1/2}=-5, \lambda_{3/4}=3$.
Es gilt $(C+5E)^2=\begin{pmatrix} 0&0&0&0 \\ 0&64&0&0 \\ 0&0&0&0\\0&-32&0&64\end{pmatrix}$
$\Rightarrow VEig(C,-5)=ker(C+5E)^2=
span\{\begin{pmatrix} 1\\0\\0\\0\end{pmatrix},
\begin{pmatrix} 0\\0\\1\\0\end{pmatrix}\}$.

$VEig(C,3)=ker(C-3E)=ker(\begin{pmatrix} -64&0&-16&0 \\ 0&0&0&0 \\ 0&0&-64&0\\0&0&0&0\end{pmatrix})=
span\{\begin{pmatrix} 0\\1\\0\\0\end{pmatrix},
\begin{pmatrix} 0\\0\\0\\1\end{pmatrix}\}$.

## Aufgabe 4

Berechnen Sie die verallgemeinerten Eigenräume der reellen Matrix
$A=\begin{pmatrix} 2&0&-1 \\ 1&0&0 \\ 1&-1&1\end{pmatrix}$

$p_A=det(XE-A)=det(\begin{pmatrix} X-2&0&1 \\ -1&X&0 \\ -1&1&X-1\end{pmatrix})
=(X-1)^3$
$\Rightarrow \lambda_{1/2/3}=1$
$\Rightarrow dim(VEig(A,1))=3
\Rightarrow VEig(A,1)=\mathbb{R}^3$

## Aufgabe 5

Sei $V$ ein n-dimensionaler K-Vektorraum und
sei $g : V → V$ ein nilpotenter Endomorphismus.
Wie sehen die verallgemeinerten Eigenräume von $g$ aus?
Geben Sie (für ein $n$) einen nilpotenten Endomorphismus $g : V → V$ an,
welcher nicht $ker g ⊕ im g = V$ erfüllt.


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