# Lineare Algebra 2: Anmerkungen

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## Mächtigkeiten

- z.B. Menge $W$ der Wochentage ist endlich:
$\{Mo,Di,Mi,Do,Fr,Sa,So\} \rightarrow \{1,2,3,4,5,6,7\} =: [7]$
definiert eine bijektive Abbildung; $|W|=7$
- Die Menge $X$ heißt unendlich,
falls $\nexists n \in \mathbb{N}: x$ bijektiv zu $[n]=\{1,...,n\}$
- Bem.: $\mathbb{N}$ ist unendlich.
Beweis: zeige: $\mathbb{N}$ endlich $\Rightarrow$ Widerspruch
D.h. $\exists n \in \mathbb{N}$ und $\varphi: \mathbb{N}
\rightarrow [n]$ bijektiv.
$\Rightarrow$ Schränke $\varphi$ ein auf $\{1,...,n+1\} =
[n+1] \subseteq \mathbb{N}$
$\Rightarrow \varphi |[n+1] \rightarrow [n]$ ist injektiv.
($\varphi(x) = \varphi'(x) \Rightarrow x=x'$)
Widerspruch zum Taubenschlagprinzip. $\Box$
- Alle Mengen $X$ mit $\mathbb{N} \subseteq X$ sind unendlich.
- Eine Menge heißt abzählbar, falls $X=\{x_0,x_1,...\}$.
$\{f(0),f(1),...\}$
$\Leftrightarrow \exists f: \mathbb{N} \Rightarrow X$ surjektiv.
$\Leftrightarrow \exists: g: X \rightarrow \mathbb{N}$
mit $g^{-1}(\{i\}) := \{x \in X|g(x)=i\}$ endlich $\forall i \in \mathbb{N}$.
Denn $A_{i_j}:=g^{-1}(\{i\})=
\{x_{i,0},x_{i,1},...,x_{i,n_i}\}$, wobei $n_i := |A_i|$ endlich.
$\Rightarrow X = \{x_{0,0},...,x_{1,0},...,x_{1,n_1}\}$,
(z.B. $g: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}, z \mapsto |z|$
hat Eigenschaften, dass
$g^{-1}(\{i\})=\{z \in \mathbb{Z} | |z| = i\}=\{i,-i\}$
$\Rightarrow$ Aufzählen von $g^{-1}(\{0\}), g^{-1}(\{1\}),...$ ist $0,1,-1,2,-2,...$)
- $X$ heißt überabzählbar,
falls $\nexists$ surjektive Abb. $f: \mathbb{N} \rightarrow X$
- Cantor: $\nexists$ Bijektion $X \rightarrow \mathcal{P(\mathbb{N})}$.
Also ist $\mathcal{P(\mathbb{N})}$ überabzählbar.
$\mathcal{P(\mathbb{N})} := \{A \subseteq \mathbb{N}| A$ ist Teilmenge$\}$.
$\mathcal{P(\mathit{X})}$ entspricht der Menge aller $\{0,1\}$-Folgen,
indiziert durch $X$.
$A \subseteq X \leadsto (a_x)_{x\in X}$ mit
\begin{equation*}
a_x = \left\{
\begin{array}{rl}
0 & \text{falls } x\notin A\\
1 & \text{sonst}
\end{array} \right.
\end{equation*}
- Nach diesem Prinzip gezeigt, dass $\mathbb{R}$ überabzählbar.
Reelle Zahlen werden durch Nachkommastellen bestimmt.
- Auswahlaxiom: $\forall$ Abb $f: X \rightarrow Y$
$\exists g: Y \rightarrow X$ mit $f \circ g = id_y$
, d.h. $\forall y \in Y \text{ }\exists g(y): f(g(y)) = y \in f^{-1}(y)$.
- $\mathbb{Q^N} \Leftrightarrow \mathbb{Q}^\infty$.

## Äquivalenz von Matrizen

- Die $A,B \in Mat:{m \times n}(K)$ ist äquivalent
$\Leftrightarrow B= T*A*S^{-1}$ ist eine Äquivalenzrelation
auf $X:= Mat_{m \times n}(K)$
--> definiert somit Zerlegung der Menge $X$ in Äquivalenzklassen.
- Jede Matrix ist äquivalent zu
$\begin{bmatrix} 1&0&0&0\\0&\backslash&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}$
- Jede 2x3-Matrix ist äquivalent zu
$\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$
- Motivation: Transformationsformel
$\Rightarrow f_T \circ f_A = f_A´\circ f_S \Leftrightarrow f_{T*A} = f_{A'*S}$

- Wie bringe ich $A \in Mat_{m \times n}(K)$ in Normalform?

1. Möglichkeit: Satz 3.5
- Basis $C$: starte mit Basis $\{w1,...wr\}$
vom $im (f_A) :=$ Spaltenraum von $A$
und ergänze zur Basis von $K^m$ beliebig.
- Basis $B$: starte mit $\{v1,...,vr\}$
mit $A_iv_i = w_i$ und ergänze mit Basis vom $ker(f_A)$
$\Rightarrow _BM_C(f_A)=N$ mit $S:=$ Spaltenvon $V$, $T :=$ Spalten von $C$
$\Rightarrow A=T*N*S^{-1}$
2. Möglichkeit: Zeilen- und Spaltenumformungen: $A \leadsto ... \leadsto N$

## Eigenwerte / Diagonalisierbarkeit

- Sei $f: V \rightarrow V$ ein $K$-Endomorphismus und $\lambda \in K$.
Dann $Eig(f, \lambda)^*:=\{v\in V | f(v) = \lambda v\} = ker(f-\lambda id_v)$,
wobei $f-\lambda id_v: V \rightarrow V, v \mapsto f(v)- \lambda v$
*Eigenraum
- $\lambda$ ist Eigenwert $\Leftrightarrow Eig(f, \lambda) \ne \{0\}$
- $v$ ist Eigenvektor $\Leftrightarrow v \in Eig (f,\lambda) \backslash \{0\}$
- **Spezialfälle:**
- $\lambda = 0: Eig(f,A) = ker f$, $0$ ist EW $\Leftrightarrow f$ ist nicht injektiv.
- $\lambda = 1: Eig(f,1) = \{v \in V | f(v) = 0\}:$
Unterraum aller $v \in V$, die durch $f$ fix gelassen werden.
- $f: K^n \rightarrow K^n,$
$\begin{pmatrix} x_1\\...\\x_n\end{pmatrix} \mapsto$
$\begin{pmatrix} \lambda_1&&0 \\ &...&\\ 0 &&\lambda_n\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} x_1\\...\\x_n\end{pmatrix} = (\lambda_1x_1,...,\lambda_nx_n)$
für $\lambda_1,...,\lambda_n \in K$.
Dann $Eig(f, \lambda) = span \{e_i|\lambda=\lambda_i\}$.
- Beispiel: $\begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix} \mapsto$
$\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&2\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}$,
$Eig(f,1)= span \{e_1\} =
\begin{Bmatrix}\begin{pmatrix}a\\0\\0\end{pmatrix}|a \in K\end{Bmatrix}$
$Eig(f,2)= span \{e_2 e_3\} =
\begin{Bmatrix}\begin{pmatrix}0\\b\\c\end{pmatrix}|b,c \in K\end{Bmatrix}$,
für alle $\lambda \ne 1,2 ist Eig(f,\lambda) = \{0\}$.
- Endom. $f$ heißt diagonalisierbar, falls ex. Basis von $V$ mit $_BM_B(f)$ diagonal
$\Leftrightarrow$ es existiert Basis $B$ aus Eigenvektoren.
- **Lemma 4.6**: Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind linear unabhängig.
- Beispiel: $A=\begin{pmatrix} 1&0&0\\0&2&2\\0&0&2\end{pmatrix}$,
$\begin{pmatrix} 1\\0\\0\end{pmatrix}=e_1$ EV zu EW 1,
$\begin{pmatrix} 0\\3\\5\end{pmatrix}$ EV zu EW 2,
$\begin{Bmatrix}\begin{pmatrix} 1\\0\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0\\3\\5\end{pmatrix}\end{Bmatrix}$
sind linear unabhängig.
$\Rightarrow B_i$ Basis zu $Eig(f,\lambda)$
$\Rightarrow \bigcup_i B_i$ linear unabhängig und $\bigcup_i B_i$ Basis von EVen
$\Leftrightarrow |\bigcup_i B_i| = n = dim V$ $\Leftrightarrow$ Diagonalisierbarkeit
- **Verfahren zur Diagonalisierung:**
1. EWe berechnen (d.h. $\lambda \in K$ mit $f-\lambda id_v$ nicht injektiv)
2. Basis der Eigenräume aussuchen (d.h. von $ker(f-\lambda id_v$)
- Beispiel: $A=\begin{pmatrix} 1&0&0\\0&2&0\\0&0&2\end{pmatrix}$
$det (A-\lambda E)=\begin{pmatrix} 1-\lambda&0&0\\0&2-\lambda&0\\0&0&2-\lambda\end{pmatrix}
= 0 = (1-\lambda)(2-\lambda)^2=0$
$\Leftrightarrow \lambda = 1 \land \lambda =2$
$\lambda =1:A-1E=\begin{pmatrix} 0&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{pmatrix}$;
Basis $\begin{Bmatrix}\begin{pmatrix} 1\\0\\0\end{pmatrix}\end{Bmatrix}$
$\lambda =2:A-2E=\begin{pmatrix} -1&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}$;
Basis $\begin{Bmatrix}\begin{pmatrix} 0\\1\\0\end{pmatrix},
\begin{pmatrix} 0\\0\\1\end{pmatrix}\end{Bmatrix}$

## Polynome

- $deg(fg)=deg(f)+deg(g)$
- $K[X]$ ist kein Körper:
Ist $deg(f)>0 \Rightarrow deg(fg) = deg f+g >0, \forall g \ne 0$,
also $fg \ne 1$, da $deg(1) = 0$
-Erweiterung:
Determinanten über kommutative Ringe:
$X^n+c_{n-1}X^{n-1}+...+c_{1}X+c_0 \Leftrightarrow -trA=-\sum_{i=1}^n a_{ii}$
- $c_0 = (-1)^n det(A)$
- Vielfachheiten:
- geometrische Vielfachheit: $dim Eig(A,\lambda)=n-rang(\lambda E - A)$
- algebraische Vielfachheit: Vielfachheit der NST. der $p_A$: $max\{i|(X-\lambda)^i|p_A\}$
- geometrische Vielfachheit $\leq$ algebraische Vielfachheit
- $A$ diagonalisierbar $\Leftrightarrow p_A$ zerfällt in Linearfaktoren und
geometrische Vielfachheit = algebraische Vielfachheit
- zerlege $V = U \oplus W$ mit $U$ $f$-invariant,
$W$ i.A. nicht, vgl. Beweis Satz 6.6: $U:=Kv_1$ mit $v_1$ Eigenvektor.
Da $p_A$ in Linearfaktoren zerfällt, existieren stets Eigenvektoren.
- Zu $p=\sum c_iX^i \in K[X]$ und $A\in Mat_{n\times n}(K),
bzw. $f: V \rightarrow V$ sei
- $p(A) := \sum_{i=0}^m c_iA^i$
- $p(f) = \sum_{i=0}^mc_if^i$
- $p(f)(v):=\sum_{i=0}^mc_if^i(v)$
- $p_A(A)=0$
- Determinanten mit Einträgen in $Mat_{n \times n}(K)$ nicht definiert.
- $Eig(A,\lambda):=Eig(f_A,\lambda)$
- $P_{_BM_B(f)}=P_{_{B'}M_{B'}(f)} \Rightarrow A' = S^{-1}AS \Rightarrow p_A' = p_A$

## Trigonalisierung

- $A$ trigonalisierbar $\Leftrightarrow p_A$ zerfällt in Linearfaktoren
- $f: V \rightarrow V$ diagonalisierbar $\Leftrightarrow$
kann $V$ in $f$-invariante UVR mit $dim = 1$ (feinste Zerlegung) zerlegen.
($U=Kv, f(u) \subseteq U \Rightarrow v$ ist Eigenvektor.
$_BM_B(f)$ hat Diagonalgestalt.)
- $f: V \rightarrow V$ trigonalisierbar $\Leftrightarrow$
es ex. $f$-invariante Fahne von $V$ (Lemma 6.5).
($_BM_B$ hat obere Dreiecksgestalt.)
- über $K =\mathbb{C}$ gilt immer
$p_A$ zerfällt in Linearfaktoren (vgl. Satz 6.8).
$\Rightarrow$ Jede komplexe Matrix ist trigonalisierbar.

## Wiederholung

### Lineare Strukturen

#### X Menge

- Relationen auf X
- Äquivalenzrelation (reflexiv, symmetrisch, transitiv)
- Ordnung (reflexiv, antisymmetrisch, transitiv)
- (Lemma von Zorn: jede Menge hat ein maximales Element)

#### V K-VR

- Endomorphismen: lineare Abb. $f: V \rightarrow V$
- $f:V \rightarrow V$ ist diagonalisierbar
$\Leftrightarrow \exists B: _BM_B(f)$ hat Diagonalgestalt
$\Leftrightarrow \exists$ Basis aus EVen
$\Leftrightarrow p_A$ zerfällt in Linearfaktoren und algebraische Vielfachheit...
- $f:V \rightarrow V$ ist trigonalisierbar
$\Leftrightarrow p_A$ zerfällt in Linearfaktoren
$\Leftrightarrow_BM_B$ hat obere Dreiecksgestalt.
Dann kann man obere Dreiecksmatrix sogar in Jordan-Normalform wählen.
- Dualraum $V^*$
- Quotientenvektorraum zu UVR: $V/U$
- Bilinearform (u.A. reelles Skalarprodukt)
- $p_f = p_A = det(XE-A)$

#### (V,<.,.>) K-VR mit Skalarprodukt

- Endomorphismen: lineare Abb. $f: V \rightarrow V$
- selbstadjungierte $f^* = f$ (Matrix symmetrisch)
- unitär $f^*f = id$
- normal $f^*f = ff^*$
- $K = \mathbb{R}, K = \mathbb{C}$
- Orthonormalbasis
- Bestapproximation
Anwendung:
Löse ein lineares Gleichungssystem approximativ (, falls keine Lösung existiert)
- Bilinearform

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