# 2. Übungsblatt zur Linearen Algebra 2

## Aufgabe 1

a) Die Menge $A \subseteq \mathbb{Z}$: $\mathbb{Z}$ ist abzählbar.
In Aufgabe 3a) sehen wir,
dass jede Teilmenge von $\mathbb{Z}$ ebenfalls abzählbar ist.
b) Die Menge $B = (\mathbb{Z}_2)^\infty$ aller Folgen
$(a_n)$ in $\mathbb{Z}_2 = \{0,1\}$ ist abzählbar nach Aufgabe 4b).
c) Das reelle Intervall $C=\{0,1\} \subseteq \mathbb{R}$
ist überabzählbar.
Da $\mathbb{R}$ überabzählbar ist,
lassen sich in dem Intervall immer wieder neue Zahlen konstruieren,
sodass wieder ein überabzählbarer Raum entsteht
d) Das kartesische Produkt $D = \mathbb{Q} \mathrm{x} \mathbb{Q}$
ist abzählbar, des aus abzählbaren Mengen besteht.

## Aufgabe 2

Sei $M$ eine Menge und $X := \mathcal{P} (M)$ deren Potenzmenge.
Zu zeigen:
$A \sim B :\Leftrightarrow A$ ist gleichmächtig zu $B$ (für $A,B \in X$),
wobei $\sim$ eine Äquivalenzrelation ist.

- Reflexivität: Es gelte $|A| = n$.
Damit gilt für $A \sim A: |A| = |A| \Leftrightarrow n = n$ für $A \in X$.
- Symmetrie: Es gelte $|A| = n, |B| = m$.
Für $A \sim B$ gilt also $|A| = |B| \Leftrightarrow n = m$
$\Leftrightarrow m = n \Leftrightarrow |B| = |A|$ für $A,B \in X$
- Transitivität: Es gelte $|A| = n, |B| = m, |C| = o$.
Für $A \sim B$ gilt also $|A| = |B| \Leftrightarrow n = m$.
Für $B \sim C$ gilt $|B| = |C| \Leftrightarrow m = o$.
Es gilt aber $n = m = o$ und damit $|A| = |B| = |C|$ und
damit eben $A \sim C$ für $A,B,C \in X$.

$\Box$

Beschreibung der Äquivalenzklassen von $X$ im Fall $M=\mathbb{N}$:
$X|\sim := \{A,B \subseteq \mathcal{P}(M)||A|=|B|\}$.

## Aufgabe 3

Sei $X$ eine abzählbare Menge. Zu zeigen:
a) Jede Teilmenge $Y \subseteq X$ ist abzählbar.
Da $X$ nach Voraussetzung abzählbar ist,
existiert eine bijektive Abbildung $f:X \rightarrow \mathbb{N}$.
Sei nun also $Y \subseteq X$. Wir müssen nun argumentieren, dass eine weitere bijektive
Abbildung $g:Y \rightarrow \mathbb{N}$ existiert.
Solch eine Abbildung existiert aber, da $f$ bijektiv ist,
was bedeutet, dass jedem $x \in X$ genau ein $f(x)$ zugeordnet wird.
Da aber $Y \subseteq X$, gilt für alle $y \in Y$ auch $y \in X$.
Wir finden daher eine Abbildung $g$,
die durch $f|Y$ jedem $y \in Y$ genau ein $g(y)$ zuordnet.
Also finden wir tatsächlich eine bijektive Abbildung.

b) Ist $\sim$ eine Äquivalenzrelation auf $X$,
so ist die Menge $X / \sim$ der Äquivalenzklassen auch abzählbar.

## Aufgabe 4

Zu zeigen:
a) Der Vektorraum $\mathbb{Q}^\mathbb{N}$ aller rationalen Folgen ist überabzählbar.
Es wird das gleiche Schema angewandt wie in Aufgabe 4b).
Der Vektorraum aller endlichen Folgen lässt sich wie folgt darstellen:
$a_{11} a_{12} a_{13} a_{14} ...$
$a_{21} a_{22} a_{23} a_{24} ...$
$a_{31} a_{32} a_{33} a_{34} ...$
$a_{41} a_{42} a_{43} a_{44} ...$
.
.
.
Zu zeigen ist nun, dass eine Folge $b_{mn}$ existiert,
die in der vorherigen Auflistung nicht vorkommt.
Da die Auflistung nur alle endlichen Folgen enthält,
können wir eine unendliche Folge $b_{\infty n}$ konstruieren.

b)Der Vektorraum $\mathbb{Q}^{(\mathbb{N})}$
aller abbrechenden rationalen Folgen ist abzählbar.
In der Vorlesung haben wir gezeigt, dass sich $\mathbb{Q}$ definieren lässt als:
$\mathbb{Q} := \{\frac{z}{n}|(z,n)\in X\}$ für $X:= \mathbb{Z} + \mathbb{N}_0$.
Definieren wir uns also nun eine rationale endliche Folge
$a_{mn}$,wobei $m$ der Anzahl der Elemente entspricht,
die in der Folge enthalten sind
und $n$ der Nummerierung dient.
Dann kann man diese Folgen (nach Cantors 1. Diagonalargument)
auf diese Weise aufschreiben:
$a_{11} a_{12} a_{13} a_{14} ...$
$a_{21} a_{22} a_{23} a_{24} ...$
$a_{31} a_{32} a_{33} a_{34} ...$
$a_{41} a_{42} a_{43} a_{44} ...$
.
.
.
Daraus folgt, dass eine Bijektion
$f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{Q}^{(\mathbb{N})}$
existiert und der Vektorraum abzählbar ist.
$\square$

Geweth Christina, 103194
Günther Lucia, 102907
Kern Anna-Lena, 89377

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