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# 時空の幾何学（8章：相対論から導かれること）
James J. Callahan著，樋口三郎訳．時空の幾何学．Springer, 森北出版(2021)

## 前回のおさらい
自由落下運動は，同じ重力場に従って落下する観測者から見れば直線になる
$$
\frac{d^2x^m}{dt^2} = 0
$$
これは測地線であるので，一般共変性原理から自由落下運動する物体の世界線はどのような観測者から見ても測地線方程式を満たさねばならない．
$$
\frac{d^2 \xi^h}{dt^2}+\Gamma^h_{ij}\frac{d\xi^i}{dt}\frac{d\xi^j}{dt} = 0
$$
次の疑問は，測地線方程式を決定する幾何的な計量と，重力の間にどのような関係があるかである．
以下の対応関係があるのか…？
| | ニュートン　| アインシュタイン |
| -------- | -------- | -------- |
| 重力場 | $-\nabla\Phi$ | $-\Gamma^h_{ij}$ |
| 重力ポテンシャル | $\Phi$ | $\gamma_{ij}$ |

これを調べるためには，フェルミ座標系という都合の良い座標系を持ってきて，そこから一般共変性を使ってすべての座標系に成り立つ性質を見出した．

フェルミ座標は「座標系$R$の計量$g_{ij}$が定める重力場中を自由落下する観測者の座標系$G:(\xi^0,\xi^1,\xi^2,\xi^3)$」である．

フェルミ座標を用いた議論を通して，結局計量を含むリッチテンソル$R_{ij}$と，物理的な意味を持つエネルギー・運動量テンソル$T_{ij}$の間には以下の関係性が成り立つ．
**相対論的な重力場の方程式**
$$
R_{ij} = \frac{8\pi G}{c^4}\left(T_{ij}-\frac{1}{2}g_{ij}T\right),\quad または \quad T_{ij} = \frac{c^4}{8\pi G}\left(R_{ij}-\frac{1}{2}g_{ij}R\right)
$$
この解が重力場を決め，さらにそれが測地線を決め，質量のある粒子もない粒子もそれに従って運動する．

## 8.0. 今回のお気持ち
と，言われたところで相対論的な重力場の方程式が何者で，何を意味するのかはよく分からない．
そこで今回は７章の結果を実世界に適用し，相対論から何が言えるのか，また相対論の帰結との向き合い方を考える．

基本的な方針は，きれいすぎる相対論の方程式を近似を用いて実用的なものにしていく．

8.1と8.2では相対論的な方程式の近似を考えることで，ニュートン的な重力の方程式が導かれることを示す．また，それに対応する計量も考える．

8.3と8.4では球対称な重力場を持つシュバルツシルト計量を基に，光線の重力偏向や惑星の軌道のずれといった事象が説明されることをみる．

## 8.1. ニュートン近似
### 8.1.1. 小さな量
以下では，光速$c=1$として扱う幾何単位系でなく，$c\simeq 3\times 10^8 {\rm m/s}$の３次元組み立て単位系と考えることにする．

すると，日常で現れるような物体の速さ$v$の範囲では，$v/c$は非常に小さな値となる．

従って相対論で現れる諸々の量を$v/c$でテイラー展開し，目的に合う$O((v/c)^n)=O(1/c^n)$で打ち切る処理を行う．

### 8.1.2. 弱い重力場
この後出てくるのは次元同次座標
$$
\mathbb{X} = (x^0,x^1,x^2,x^3) = (ct,x,y,z)\ {\rm m},\quad \|\mathbb{X}\| = (x^0)^2-(x^1)^2-(x^2)^2-(x^3)^2\ {\rm m^2}
$$
である．ミンコフスノルムを定める行列を$J$とする．
$$
\|\mathbb{X}\|^2 =\mathbb{X}^\top J\mathbb{X},\quad J = (J_{kl})=\left(\begin{array}{rrrr}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & -1 & 0 & 0\\
0 & 0 & -1 & 0\\
0 & 0 & 0 & -1
\end{array}
\right)
$$

#### 定義8.1.
**弱い重力場**あるいは弱場とは，その計量が，標準的ミンコフスキ計量と，$1/c^2$より大きくないオーダーの補正項との和
$$
g_{kl} = J_{kl}+\frac{1}{c^2}g_{kl}^{(2)}+\frac{1}{c^3}g_{kl}^{(3)}+O\left(\frac{1}{c^4}\right)
$$
の形であり，さらに，その各成分が時間，空間に関してゆっくり変化するという条件
$$
g_{kl}^{(m)} = O(1),\quad \frac{\partial g_{kl}^{(m)}}{\partial t} = O(1),\quad \frac{\partial g_{kl}^{(m)}}{\partial x^\alpha} = O(1)
$$
を満たすもののことを言う．（ローマ文字は$0,1,2,3$を走り，ギリシャ文字は$1,2,3$を走る．）

上の定義を満たす重力場に対して，
$$
\frac{\partial g_{kl}^{(m)}}{\partial x^0} = \frac{\partial g_{kl}^{(m)}}{\partial t}\frac{dt}{x^0} = O(1)\cdot \frac{1}{c} = O\left(\frac{1}{c}\right)
$$
であることに注意せよ

#### 命題 8.1.
行列$J$の逆は自分自身，すなわち$J^{ij} = J_{ij}$であるが，弱い重力場$g_{ij}$に対して，
$$
g^{ij} = J^{ij}+O\left(\frac{1}{c^2}\right),\quad g = -1+O\left(\frac{1}{c^2}\right)
$$
である．（証明略）

### 8.1.3. 運動方程式
#### 定義 8.2
考えている系の典型的な速さの定数を$v$とするとき，粒子の軌跡${\bf x} = (x^1(t),x^2(t),x^3(t))$が，$\alpha = 1,2,3$に対して$\dot{x}^{\alpha}/c = O(v/c)$を満たすとき，その粒子は**遅い**という．

#### 定理 8.1
遅い粒子の，（４成分に対する）４個の相対論的運動方程式は，重力場が弱い時には，３個の非相対論的運動方程式
$$
\frac{d^2 x^i}{d\tau^2}=-\Gamma^i_{kl}\frac{dx^k}{d\tau}\frac{dx^l}{d\tau}\quad\longrightarrow\quad \ddot{x}^\alpha = -\frac{\partial \Phi}{\partial x^\alpha}
$$
に帰着する．ここでニュートン的ポテンシャル$\Phi$は，計量の成分$\frac{1}{2}g_{00}^{(2)}$である．

#### 証明
何段階かで行われ，まずは固有時間$\tau$を"世界時間"$t$で書き換える．
次に相対論的な方程式の１個が不要であることを示す．
３番目に，残り３個の方程式の右辺が，極限で１個の関数の勾配になることを示す．

##### ステップ１ 固有時間の世界時間への置き換え
世界線$\mathbb{X}(t)$上で，固有時間関数$\tau(t)$は
$$
d\tau = \frac{\|\mathbb{V}\|}{c}dt = \sqrt{\frac{g_{kl}\dot{x}^k\dot{x}^l}{c^2}}dt
$$
を満たす．
（固有時間は世界線の長さと関係し，$\tau(t)=\frac{1}{c}\int^t_a\|\mathbb{V}\|dt$を満たす．）

次元同次座標の定義より$\dot{x}^0=\frac{d x^0}{dt}=c$である．
粒子が遅く，かつ重力場が弱いことを考えているので
$$
\frac{g_{kl}\dot{x}^k\dot{x}^l}{c^2} = g_{00} + 2g_{0\alpha}\frac{\dot{x}^\alpha}{c}+g_{\alpha\beta}\frac{\dot{x}^\alpha\dot{x}^\beta}{c^2} = 1+O\left(\frac{1}{c^2}\right)
$$
となる．よって
$$
d\tau = \sqrt{\frac{g_{kl}\dot{x}^k\dot{x}^l}{c^2}}dt = \sqrt{1+O\left(\frac{1}{c^2}\right)} = \left[1+O\left(\frac{1}{c^2}\right)\right]dt
$$
である．さらに
$$
\frac{d\tau}{dt} = 1+O\left(\frac{1}{c^2}\right),\quad \frac{dt}{d\tau} = 1+O\left(\frac{1}{c^2}\right)
$$
も成立する．

##### ステップ２ 固有時間微分と世界時間微分
世界戦$\mathbb{X}$の助変数を固有時間$\tau$に変更し，合成関数の微分法を用いて微分を行う．
$$
\begin{eqnarray}
\frac{dx^0}{d\tau} &=& \frac{dx^0}{dt}\frac{dt}{d\tau} = c\left[1+O\left(\frac{1}{c^2}\right)\right]\\
\frac{d^2x^0}{d\tau^2} &=& \frac{d}{dt}\left[c+O\left(\frac{1}{c}\right)\right]\frac{dt}{d\tau} = O\left(\frac{1}{c}\right)\left[1+O\left(\frac{1}{c^2}\right)\right] = O\left(\frac{1}{c}\right)
\end{eqnarray}
$$
従って相対論的運動方程式の１番目の式の左辺は，無視できるほど小さな量となる．
空間変数については
$$
\begin{eqnarray}
\frac{dx^\alpha}{d\tau} &=& \frac{dx^\alpha}{dt}\frac{dt}{d\tau} = \dot{x}^\alpha\left[1+O\left(\frac{1}{c^2}\right)\right] = \dot{x}^\alpha + O\left(\frac{1}{c^2}\right)\\
\frac{d^2x^\alpha}{d\tau^2} &=& \frac{d}{dt}\left[1+O\left(\frac{1}{c^2}\right)\right]\frac{dt}{d\tau} = \ddot{x}^\alpha+O\left(\frac{1}{c^2}\right)
\end{eqnarray}
$$
従って，空間変数は粒子が遅いという条件の下で，固有時間による微分と世界時間による微分との差が無視できるほど小さいということが分かる．

##### ステップ3　クリストフェル記号の計算
計量は$g_{kl} = J_{kl} + O(1/c^2)$なので
$$
\frac{\partial g_{kl}}{\partial x^\alpha} = O\left(\frac{1}{c^2}\right),\quad \frac{\partial g_{kl}}{\partial x^0} = \frac{\partial g_{kl}}{\partial t}\frac{dt}{dx^0} = \frac{\partial g_{kl}}{\partial t}\frac{1}{c} = O\left(\frac{1}{c^3}\right)
$$
従って，$\Gamma_{k0,k} = O(1/c^3)$なのに対して，一般には$\Gamma_{kl,i} = O(1/c^2)$である．
第二種については
$$
\begin{eqnarray}
\Gamma_{00}^\alpha &=& g^{\alpha \alpha}\Gamma_{00,\alpha} + g^{\alpha 0}\Gamma_{00,0}+g^{\alpha \beta}\Gamma_{00,\beta}\\
&=& \left[-1+O\left(\frac{1}{c^2}\right)\right]\left[\frac{1}{2}\left(2\frac{\partial g_{0\alpha}}{\partial x^0}-\frac{\partial g_{00}}{\partial x^\alpha}\right)\right]\\
&&+O\left(\frac{1}{c^2}\right)\frac{1}{2}\frac{\partial g_{00}}{\partial x^\alpha}+O\left(\frac{1}{c^2}\right)\left[\frac{1}{2}\left(2\frac{\partial g_{0\beta}}{\partial x^0}-\frac{\partial g_{00}}{\partial x^\beta}\right)\right]\\
&=& \frac{1}{2}\frac{\partial g_{00}}{\partial x^\alpha}+O\left(\frac{1}{c^3}\right)\\
&=& \frac{1}{2c^2}\frac{\partial g_{00}^{(2)}}{\partial x^\alpha}+O\left(\frac{1}{c^3}\right)
\end{eqnarray}
$$
である．これ以外については
$$
\Gamma^h_{h0}=O\left(\frac{1}{c^3}\right),\quad \Gamma^h_{kl}=O\left(\frac{1}{c^2}\right)
$$
となる．

##### ステップ４
$x^0$に関する測地線方程式を考える．
$$
\frac{d^2x^0}{d\tau^2} = -\Gamma^0_{kl}\frac{dx^k}{d\tau}\frac{dx^l}{d\tau} = -\Gamma^0_{00}\left(\frac{dx^0}{d\tau}\right)^2-2\Gamma^0_{0\alpha}\frac{dx^0}{d\tau}\frac{dx^\alpha}{d\tau}-\Gamma^0_{\alpha\beta}\frac{dx^\alpha}{d\tau}\frac{dx^\beta}{d\tau}
$$
であるが，左辺はステップ2の議論より$O\left(\frac{1}{c}\right)$であった．右辺も
$$
\begin{eqnarray}
\Gamma^0_{00}\left(\frac{dx^0}{d\tau}\right)^2 &=& O\left(\frac{1}{c^3}\right)\left(c+O\left(\frac{1}{c^2}\right)\right)^2 = O\left(\frac{1}{c^3}\right)(c^2+O(1)) = O\left(\frac{1}{c}\right)\\
\Gamma^0_{0\alpha}\frac{dx^0}{d\tau}\frac{dx^\alpha}{d\tau} &=& O\left(\frac{1}{c^2}\right)\left(c+O\left(\frac{1}{c^2}\right)\right)\left(\dot{x}^\alpha+O\left(\frac{1}{c^2}\right)\right) = O\left(\frac{1}{c}\right)\\
\Gamma^0_{\alpha\beta}\frac{dx^\alpha}{d\tau}\frac{dx^\beta}{d\tau} &=& O\left(\frac{1}{c^2}\right)\left(\dot{x}^\alpha+O\left(\frac{1}{c^2}\right)\right) \left(\dot{x}^\beta+O\left(\frac{1}{c^2}\right)\right) = O\left(\frac{1}{c^2}\right)
\end{eqnarray}
$$
よって$x^0$についての測地線方程式は，両辺ともにオーダー$1/c$であり，ニュートン近似では完全に無視することができる．

##### ステップ５
空間変数$x^\alpha$についての測地線方程式を考えると
$$
\frac{d^2x^\alpha}{d\tau^2} = -\Gamma^\alpha_{00}\left(\frac{dx^0}{d\tau}\right)^2-2\Gamma^\alpha_{0\beta}\frac{dx^0}{d\tau}\frac{dx^\beta}{d\tau}-\Gamma^\alpha_{\beta\gamma}\frac{dx^\beta}{d\tau}\frac{dx^\gamma}{d\tau}
$$
左辺はステップ２より単に
$$
\frac{d^2x^\alpha}{d\tau^2} = \ddot{x}^\alpha+O\left(\frac{1}{c^2}\right)
$$
である．一方右辺では，第二，第三項は
$$
\begin{eqnarray}
\Gamma^\alpha_{0\beta}\frac{dx^0}{d\tau}\frac{dx^\beta}{d\tau} &=& O\left(\frac{1}{c^2}\right)\left(c+O\left(\frac{1}{c}\right)\right)\left(\dot{x}^\beta+O\left(\frac{1}{c^2}\right)\right) = O\left(\frac{1}{c}\right)\\
\Gamma^\alpha_{\beta\gamma}\frac{dx^\beta}{d\tau}\frac{dx^\gamma}{d\tau} &=& O\left(\frac{1}{c^2}\right)\left(\dot{x}^\beta+O\left(\frac{1}{c^2}\right)\right)\left(\dot{x}^\gamma+O\left(\frac{1}{c^2}\right)\right) = O\left(\frac{1}{c^2}\right)
\end{eqnarray}
$$
となって無視できる．しかし第１項からは無視できない寄与
$$
\Gamma^\alpha_{00}\left(\frac{dx^0}{d\tau}\right)^2 = \left[\frac{1}{2c^2}\frac{\partial g_{00}^{(2)}}{\partial x^\alpha}+O\left(\frac{1}{c^3}\right)\right](c^2+O(1)) = \frac{\partial g_{00}^{(2)}}{\partial x^\alpha}+O\left(\frac{1}{c}\right)
$$
がある．したがって，測地線方程式は
$$
\ddot{x}^\alpha = -\frac{1}{2}\frac{\partial g_{00}^{(2)}}{\partial x^\alpha}+O\left(\frac{1}{c}\right)
$$
と書き換えることができる．

ニュートン的方程式と見比べると，
$$
\frac{1}{2}\frac{\partial g_{00}^{(2)}}{\partial x^\alpha} = \frac{\partial \Phi}{\partial x^\alpha},\quad g_{00}^{(2)} = \Phi
$$
の関係があることがわかる．後で使う．
（定数倍については気にしなくてよさそう）

### 8.1.4. 重力場の方程式
#### 定理 8.2
弱い重力場という条件のもとで，相対論的な重力場の方程式から，非相対論的な重力場の方程式が導かれる．すなわち，
$$
R_{ij} = \frac{8\pi G}{c^4}\left(T_{ij}-\frac{1}{2}g_{ij}T\right)\quad \longrightarrow \quad \sum^3_{\alpha=1}\frac{\partial^2 \Phi}{\partial (x^\alpha)^2} = 4\pi G\rho.
$$
##### 証明
まず相対論的な式の右辺を考える．
物質-エネルギーを与える粒子の集団は，座標系$R:(ct,x^1,x^2,x^3)$から見て静止していることを考える．また粒子は互いに相互作用しないとする．

集団の静止密度を$\rho$とすると，固有四元速度は$\mathbb{U} = (c,0,0,0)$で与えられ，エネルギー・運動量テンソルは$T_{00} = \rho c^2$を除いて全て$0$になる．
ラウエのスカラー$T = T_i^i = T_0^0 = g^{00}T_{00} = \rho c^2$となる．

よって相対論的な方程式の$i=j=0$成分の右辺は
$$
\begin{eqnarray}
\frac{8\pi G}{c^4}\left(T_{00}-\frac{1}{2}g_{00}T\right) &=& \frac{8\pi G}{c^4}\left[\rho c^2-\left(1+O\left(\frac{1}{c^2}\right)\right)\frac{\rho c^2}{2}\right]\\
&=& \frac{8\pi G}{c^4}\left[\frac{\rho c^2}{2}+O\left(1\right)\right]\\
&=& \frac{1}{c^2}4\pi G\rho + O\left(\frac{1}{c^4}\right)
\end{eqnarray}
$$

左辺のこの成分は，
$$
R_{00} = R^h_{0h0} = R^\alpha_{0\alpha0} = \frac{\partial \Gamma^\alpha_{00}}{\partial x^\alpha}-\frac{\partial \Gamma^\alpha_{0\alpha}}{\partial x^0}+\Gamma^p_{00}\Gamma^\alpha_{p\alpha}-\Gamma^p_{0\alpha}\Gamma^\alpha_{p0}
$$
である（$R^0_{000}$はすぐわかるらしい）．

弱い重力場ではクリストフェル記号は高々$O\left(1/c^2\right)$なので，最後の２項は$O\left(1/c^4\right)$である．
さらに
$$
\Gamma^\alpha_{0\alpha} = O\left(\frac{1}{c^3}\right),\quad \frac{\partial \Gamma^\alpha_{0\alpha}}{\partial x^0} = O\left(\frac{1}{c^4}\right)
$$
および
$$
\Gamma^\alpha_{00} = \frac{1}{c^2}\frac{\partial \Phi}{\partial x^\alpha} + O\left(\frac{1}{c^2}\right),\quad \frac{\partial \Gamma^\alpha_{00}}{\partial x^\alpha} = \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \Phi}{\partial (x^\alpha)^2} + O\left(\frac{1}{c^3}\right)
$$
が成立するので，
$$
R_{00} = \frac{1}{c^2}\sum^3_{\alpha=1}\frac{\partial^2 \Phi}{\partial (x^\alpha)^2}+O\left(\frac{1}{c^3}\right)
$$
となる．よって，非相対論的な重力場の方程式は，オーダー$1/c$の項の不定性を除いて
$$
\sum^3_{\alpha=1}\frac{\partial^2 \Phi}{\partial (x^\alpha)^2} = 4\pi G\rho + O\left(\frac{1}{c}\right)
$$
となる．

## 8.2. 球対称重力場
このテーマでは，簡単な場合に限定して重力場の方程式の解を見つける．
### 8.2.1. 質点の作る弱い重力場
空間の小さな領域に質量が集中した1個の物体，つまり"点源"がつくる重力場を考える．

質量$M$のただ1つの点源が作るニュートン的ポテンシャルは
$$
\Phi({\bf x}) = -\frac{GM}{r},\quad r = \|{\bf x}\| = \sqrt{x^2+y^2+z^2}
$$
であらわされる．
相対論的表現に直すうえで重要な性質が以下の３つ．
- 球対称
- 時間に依存しない
- $r\to\infty$でミンコフスキ計量に近づく

また，弱い重力場であることを仮定して（シュバルツシルト計量ではこの仮定が外せる），ミンコフスキ計量に補正を加えた
$$
g_{00} = 1+\frac{2\Phi}{c^2}+O\left(\frac{1}{c^3}\right) = 1-\frac{2GM}{rc^2}+O\left(\frac{1}{c^3}\right)
$$
から出発する．
ただし，前節で導いた$\frac{1}{2}g_{00}^{(2)}=\Phi$の関係を用いた．

$g_{00}$以外がどのような補正を受けるかについて考えたい．
ここで真空中の重力場の方程式$R_{ij}=0$を用いる．

次元同次座標$(x^0 = ct,x,y,z)$を用いる座標系$R$で，質点の世界線が$t$軸に一致するものとして，計量を求める．
さらに，計量のすべての成分$g_{kl}$は時間に依存せず，空間座標の関数$r$のみに依存すると仮定する．

＜座標変換の話＞
まず極座標に変える．いったん重力の影響は忘れて，座標変換で計量がどう変わるかに焦点．

計量の球対称性を考えると，デカルト座標$R:(x,y,z)$から座標
$$
\begin{eqnarray}
x &=& r\sin\varphi\cos\theta\\
y &=& r\sin\varphi\sin\theta\\
z &=& r\cos\varphi
\end{eqnarray}
$$
に移った方がよく，上の関係式は座標系$G:(x^0,r,\varphi,\theta)=(\xi^0,\xi^1,\xi^2,\xi^3)$から$R$への写像$M:G\to R$を定めている．

これを用いれば$R$の計量から$G$の計量への変換
$$
(\gamma_{ij}) = dM^\top(g_{kl})dM
$$
が作れる．

さて，固有時間はノルムの積分で求められる．微分$ds$を用いて
$$
\tau = \frac{1}{c}\int\sqrt{g_{kl}\frac{dx^k}{dt}\frac{dx^l}{dt}}dt = \frac{1}{c}\int\sqrt{g_{kl}dx^kdx^l} = \frac{1}{c}\int ds
$$
と表すと，$ds^2 = g_{kl}dx^k dx^l = (dx^0)^2-(dx^1)^2-(dx^2)^2-(dx^3)^2$である．
また，固有時間はどのような座標系で計算しても変わらないはずなので，$ds^2 = \gamma_{ij}d\xi^i d\xi^j$も成立するはずである．

極座標の関係式から
$$
\begin{eqnarray}
dx &=& \sin\varphi\cos\theta\ dr+r\cos\varphi\cos\theta\ d\varphi-r\sin\varphi\sin\theta\ d\theta\\
dy &=& \sin\varphi\sin\theta\ dr+r\cos\varphi\sin\theta\ d\varphi+r\sin\varphi\cos\theta\ d\theta\\
dz &=& \cos\varphi\ dr-r\sin\varphi d\varphi
\end{eqnarray}
$$
すると
$$
dx^2+dy^2+dz^2 = dr^2+r^2d\varphi+r^2\sin^2\varphi\ d\theta^2
$$
従って
$$
(\gamma_{ij}) = \left(
\begin{array}{rrrr}
1 & & & \\
& -1 & & \\
& & -r^2 & \\
& & & -r^2\sin^2\varphi
\end{array}
\right)\tag{8.1}
$$
を得る．ここまでは座標変換の影響のみを考慮してきた．
ここからは，これに重力の影響（摂動）を加えていく．

＜重力による補正項＞

まず，時間座標は$R$と$G$で同一としているので
$$
\gamma_{00} = 1+\frac{2\Psi(r)}{c^2}+O\left(\frac{1}{c^3}\right)
$$
となる．ここで$\Psi(r) = \Phi(x,y,z)$である．

ここで，摂動後の重力場の方程式は球対称であると仮定したので，$d\varphi$と$d\theta$を含む項は影響を受けない．
（$\varphi$や$\theta$方向に動かしても重力場ひいては計量に変化がない）
さらに，残りの$dr^2$に対する補正は，$r$のみの関数であるはずで，
$$
\gamma_{11} = -1+\frac{P(r)}{c^2}+O\left(\frac{1}{c^3}\right)
$$
という形になる．
したがって重力場が弱いという仮定の下で，オーダー$1/c^2$までは正しく扱う弱場近似のもとで計量の式を求めるには，この関数$P(r)$を決定すればよい．

#### 定理8.3
$$
P(r)=2\Psi(r)+O(1/c)
$$
#### 証明
未知関数は一つのみなので，真空中の重力場方程式のうちただ１つ
$$
R_{11} = R^h_{1h1} = \frac{\partial \Gamma^h_{11}}{\partial \xi^h}-\frac{\partial \Gamma^h_{1h}}{\partial \xi^1}+\Gamma^p_{11}\Gamma^h_{ph}-\Gamma^p_{1h}\Gamma^h_{p1} = 0
$$
を考えればよい．
さらに，計量$\gamma_{ij}$が対角行列であることから
- 計量の逆行列$\gamma^{kl}$について
$$
\gamma^{kl} = \begin{cases}
1/\gamma_{kl} & k=l\\
0 & k\neq l
\end{cases}
$$
- クリストフェル記号について$\Gamma^k_{ij} = \gamma^{kl}\Gamma_{ij,l}$であるが，実際に現れるのは$k=l$の項のみ
- 添え字$i,j,k$がすべて互いに異なる値を取るとき，$\gamma_{ij}=\gamma_{ki} = \gamma_{jk}=0$より
$$
\Gamma_{ij,k} = \frac{1}{2}\left(
\frac{\partial \gamma_{ik}}{\partial \xi^j}+\frac{\partial \gamma_{kj}}{\partial \xi^i}-\frac{\partial \gamma_{ij}}{\partial \xi^k}
\right)=0
$$

また，計量は時間に依存しないとの仮定により
- すべての量の，$\xi_0=ct$についての導関数はゼロである．

このあたりの要請から，$R_{11}$に現れる殆どの項は$0$である．
残るのは
$$
\Gamma^0_{01} = \frac{\Psi'}{c^2}+O\left(\frac{1}{c^3}\right),\quad \Gamma^1_{11} = -\frac{P'}{2c^2}+O\left(\frac{1}{c^3}\right),\quad \Gamma^2_{12} = \Gamma^3_{13} = \frac{1}{r}
$$
だけで，これから
$$
\begin{eqnarray}
\frac{\partial \Gamma^h_{11}}{\partial \xi^h} &=&
\frac{\partial \Gamma^1_{11}}{\partial r} = -\frac{P''}{2c^2}+O\left(\frac{1}{c^3}\right)\\
\frac{\partial \Gamma^h_{1h}}{\partial \xi^1} &=& \frac{\partial \Gamma^0_{10}}{\partial r} + \frac{\partial \Gamma^1_{11}}{\partial r} + \frac{\partial \Gamma^2_{12}}{\partial r} + \frac{\partial \Gamma^3_{13}}{\partial r} = \frac{\Psi''}{c^2}-\frac{P''}{2c^2}-\frac{2}{r^2}+O\left(\frac{1}{c^3}\right)\\
\Gamma^p_{11}\Gamma^h_{ph} &=& \Gamma^1_{11}\Gamma^h_{1h} = \Gamma^1_{11}(\Gamma^0_{10}+\Gamma^1_{11}+\Gamma^2_{12}+\Gamma^3_{13}) = \frac{P'}{2c^2}\cdot \frac{2}{r} + O\left(\frac{1}{c^3}\right)\\
\Gamma^p_{1h}\Gamma^h_{p1} &=& (\Gamma^2_{12})^2+(\Gamma^3_{13})^2+O\left(\frac{1}{c^4}\right) = \frac{2}{r^2}+O\left(\frac{1}{c^4}\right)
\end{eqnarray}
$$
と計算される．結局，$R_{11}=0$成立のためには
$$
-\frac{\Psi''}{c^2}-\frac{P'}{rc^2}+O\left(\frac{1}{c^3}\right) = 0
$$
が成立することが必要十分である．この式を$P$について解くと
$$
P' = -r\Psi''+O\left(\frac{1}{c}\right) = \frac{2GM}{r^2}+O\left(\frac{1}{c}\right)
$$
となる．オーダー$O(1/c)$を無視して積分すると
$$
P(r) = -\frac{2GM}{r}+A = 2\Psi(r)+A
$$
ここで積分定数$A$について，$r\to\infty$で$P(r)\to 0$であってほしいので，$A=0$である．
よって$P(r)=2\Psi(r)$を得た．$\tag{終}$

ここから，極座標系$G$での計量が決まる（$\Psi$を$\Phi$に戻している）．
$$
\begin{eqnarray}
ds^2 &=& c^2\left(1+\frac{2\Phi}{c^2}\right)dt^2-\left(1-\frac{2\Phi}{c^2}\right)dr^2-r^2(d\varphi^2+\sin^2\varphi\ d\theta^2)\\
&=& c^2\left(1+\frac{2\Phi}{c^2}\right)dt^2-dr^2-r^2(d\varphi^2+\sin^2\varphi\ d\theta^2) + \frac{2\Phi}{c^2}dr^2
\end{eqnarray}
$$
重力による摂動前の計量$(8.1)$と見比べると，最後の項が追加されたことに気づく．
関係性$r^2 = x^2+y^2+x^2$から
$$
\begin{eqnarray}
dr &=& \frac{xdx+ydy+zdz}{r} = \sum_\alpha\frac{x^\alpha}{r}dx^\alpha\\
dr^2 &=& \left(\sum_\alpha\frac{x^\alpha}{r}dx^\alpha\right)\left(\sum_\beta\frac{x^\beta}{r}dx^\beta\right) = \sum_{\alpha,\beta}\frac{x^\alpha x^\beta}{r^2} dx^\alpha dx^\beta
\end{eqnarray}
$$
と求まるので，座標系$R$での計量は
$$
\begin{eqnarray}
ds^2 &=& c^2 \left(1+\frac{2\Phi}{c^2}\right)dt^2 - \sum_\alpha(dx^\alpha)^2+\frac{2\Phi}{c^2}\sum_{\alpha,\beta}\frac{x^\alpha x^\beta}{r^2} dx^\alpha dx^\beta\\
&=& (dx^0)^2-\sum_\alpha(dx^\alpha)^2-\frac{2GM}{rc^2}\left((dx^0)^2+\sum_{\alpha,\beta}\frac{x^\alpha x^\beta}{r^2} dx^\alpha dx^\beta\right)
\end{eqnarray}
$$
である．成分を用いると，
$$
g_{00} = 1-\frac{2GM}{c^2}\frac{1}{r},\quad g_{0\alpha} = 0,\quad g_{\alpha\beta} = -\delta_{\alpha\beta}-\frac{2GM}{c^2}\frac{x^\alpha x^\beta}{r^2}
$$
である．

### 8.2.2. シュバルツシルト計量
シュバルツシルト計量は，任意の球対称な質量分布に対して適用可能であり，かつ場が弱いという仮定も不要である．質量から遠方に離れるとミンコフスキ計量に近づくという条件があればよい．

重力場が球対称を維持しつつ時間変化する場合も取り扱うことができるが，ここでは単純に時間に依存しない場合を考える．

引き続き球対称の中心の世界線が座標系$G:(ct,r,\varphi,\theta)$の$t$軸に一致すると仮定する．

シュバルツシルト計量はミンコフスキ計量が摂動を受けたものなので，
$$
ds^2 = e^{T(r)}c^2dt^2-e^{Q(r)}dr^2-r^2(d\varphi^2+\sin^2\varphi\ d\theta^2)
$$
という形にかける．ここで$r\to\infty$で$T\to0$かつ$Q\to0$を要求する．
指数関数の形で係数が書かれているのは後の計算を簡単にするためであるが，別の形でもよい．

今度は未知関数が２つあるので，真空中の重力場の方程式のうち，$R_{00}=0$と$R_{11}=0$の二つを取り扱う．

最初に計量行列とその逆行列を調べる．
$$
\begin{array}{llll}
\gamma_{00} = e^T, & \gamma_{11} = -e^Q,& \gamma_{22} = -r^2,& \gamma_{33} = -r^2\sin^2\varphi\\
\gamma^{00} = e^{-T}, & \gamma^{11} = -e^{-Q},& \gamma^{22} = -r^{-2},& \gamma^{33} = -r^{-2}\sin^{-2}\varphi
\end{array}
$$
また，非対角成分は全て$0$であり，定理8.3で使った項目がまた使える．

#### 定理8.4
$$
e^T = 1+\frac{a}{r},\quad e^Q = e^{-T} = \left(1+\frac{a}{r}\right)^{-1}
$$
#### 証明
ゼロでないクリストフェル記号は以下の通り
$$
\begin{array}{llll}
\Gamma^1_{00} = \frac{T'}{2}e^{T-Q},& \Gamma^1_{11} = \frac{Q'}{2}, & \Gamma^1_{22} = -re^{-Q},& \Gamma^1_{33} = -re^{-Q}\sin^2\varphi,\\
\Gamma^0_{01} = \frac{T'}{2},& \Gamma^2_{12} = \frac{1}{r}, & \Gamma^3_{23} = \cot\varphi,& \Gamma^2_{33} = -\sin\varphi\cos\varphi\\
& \Gamma^3_{13} = \frac{1}{r}
\end{array}
$$
共変リッチテンソルのゼロでない成分は
$$
\begin{eqnarray}
R_{00} &=& e^{T-Q}\left(\frac{T''}{2}+\frac{(T')^2}{4}-\frac{T'Q'}{4}+\frac{T'}{r}\right),\\
R_{11} &=& -\frac{T''}{2}-\frac{(T')^2}{4}+\frac{T'Q'}{4}+\frac{Q'}{r},\\
R_{22} &=& 1-e^{-Q}+re^{-Q}\left(\frac{Q'}{2}-\frac{T'}{2}\right)\\
R_{33} &=& R_{22}\sin^2\varphi
\end{eqnarray}
$$
ここで，$R_{00}$のカッコ内と$R_{11}$を足し合わせて
$$
\frac{T'}{r}+\frac{Q'}{r} = 0
$$
を得る．
ここから積分定数を$k$として，$T+Q=k$である．
ここでは時間変数の定数ずれ分を無視して$k=0$と置き，$T=-Q$として進める．

この関係を使って$R_{11}=0$を書き直すと
$$
-\frac{T''}{2}-\frac{(T')^2}{4}-\frac{(T')^2}{4}-\frac{T'}{r} = -\frac{1}{2r}(rT''+r(T')^2+2T')=0
$$
ここで括弧内が$(re^T)''$であることに気づく．
従って，
$$
(re^{T})' = k,\quad re^{T} = br+a,\quad e^{T} = b+\frac{a}{r}
$$
$r\to\infty$で$e^T\to1$とならねばならないので，$b=1$と分かる．$\tag{終}$

この定理より，シュヴァルツシルト計量は，
$$
ds^2 = c^2\left(1+\frac{a}{r}\right)dt^2-\frac{1}{1+a/r}dr^2-r^2(d\varphi^2+\sin^2\varphi\ d\theta^2)
$$
となることが分かった．

$r$が大きい所ではシュヴァルツシルト計量が記述する重力場は弱くなるため，
$$
1+\frac{a}{r} = \gamma_{00}\simeq 1+\frac{2\Phi}{c^2} = 1-\frac{2GM}{rc^2}
$$
つまり
$$
-a\simeq \frac{2GM}{c^2} = r_M
$$
となる．
$$
ds^2 = c^2\left(1-\frac{r_M}{r}\right)dt^2-\frac{1}{1-r_M/r}dr^2-r^2(d\varphi^2+\sin^2\varphi\ d\theta^2)
$$
この$r_{M}$は$M$の重力半径またはシュヴァルツシルト半径と呼ばれ，$r<r_M$では$\gamma_{00}$は負となり，計量は根本的に異なる性質を持つ．

アインシュタインの弱場の計量，及びシュヴァルツシルト計量は$r\to\infty$で標準的ミンコフスキ計量に漸近するため，漸近慣性座標系と呼ばれる．
これは，これらの座標系が慣性座標系に対して回転しておらず，ひいてはコリオリの力が働いていないことを意味する．

### 8.2.3. 重力赤方偏移
重力赤方偏移とは，重力場中に静止した原子から放出される光の特性周波数が減少する現象であり，時間の伸びに起因する．

今，重力源から遠く離れた観測者$R$の座標系で書いた計量がシュヴァルツシルト計量であり，重力源に近い位置で観測者$G$が$R$に対して静止している状況を考える．

どちらの観測者の運動も$dr = d\varphi = d\theta = 0$であり，それぞれの固有時間$\tau$と$t$の関係は
$$
c^2d\tau^2 = ds^2 = c^2 \left(1-\frac{r_M}{r}\right)dt^2,\quad すなわち\quad d\tau = \sqrt{1-\frac{r_M}{r}}dt<dt
$$
逆に言うと，$G$の時計での$\Delta \tau$秒の時間経過は，$R$の時計で見ると
$$
\Delta t = \frac{1}{\sqrt{1-r_M/r}}\Delta \tau>\Delta \tau\ 秒
$$
$R$での時間の進みと$G$での時間の進みの違いを図示する．
図の青線は，重力源から位置$r$の地点にいる観測者$G$のある時間幅が，無限遠にいる$R$から見て何秒に見えるかを表している．

重力場に近い観測者では時間がゆっくり進むことが分かる．

※太陽でシュヴァルツシルト半径を計算してみた．
$G=6.67\times10^{-11}\ {\rm m^3\ kg^{-1}\ s^{-2}}$，$M = 2.0\times10^{30}\ {\rm kg}$，$c=3.0\times10^{8}\ {\rm m/s}$
で結果$r_M=2.96\times10^3\ {\rm m}$

思ったより大きいけど，太陽の半径が$7.0\times 10^8\ {\rm m}$だからシュヴァルツシルト半径まで近づくのは無理そう．

### 8.2.4. 等方的座標
アインシュタインの弱場計量も，シュヴァルツシルト計量もデカルト座標系で書き直すと非対角成分が沢山出てくる．

もしもシュヴァルツシルト計量
$$
ds^2 = c^2\left(1-\frac{r_M}{r}\right)dt^2-\frac{1}{1-r_M/r}dr^2-r^2(d\varphi^2+\sin^2\varphi\ d\theta^2)
$$
がもしも適切な動径座標$\rho(r)$で以下の様な形になれば
$$
ds^2 = A(\rho)c^2 dt^2-B(\rho)(d\rho^2+\rho^2d\varphi^2+\rho^2\sin^2\varphi\ d\theta^2)
$$
この新しい極座標系$(\rho,\varphi,\theta)$に対応するデカルト座標系$(\xi,\eta,\zeta)$について
$$
ds^2 = A(\rho)c^2 dt^2-B(\rho)(d\xi^2+d\eta^2+d\zeta^2)
$$
と非対角成分無しに記述できる！

このような$\rho$は実際作ることが出来で，空間座標$(\rho,\varphi,\theta)$及び$(\xi,\eta,\zeta)$は**等方的**であるという．
2つの動径変数を結びつける$r = f(\rho)$について導出はここでは省略する（本には書いてある）．

#### 定理8.5.
等方的デカルト座標$(t,\xi,\eta,\zeta)$では，シュヴァルツシルト計量は
$$
ds^2 = \left(\frac{1-r_M/4\rho}{1+r_M/4\rho}\right)^2c^2 dt^2-\left(1+\frac{r_M}{4\rho}\right)^4(d\xi^2+d\eta^2+d\zeta^2)\\
\rho = \sqrt{\xi^2+\eta^2+\zeta^2}
$$
と書ける．
ただし，普通のデカルト座標$(x,y,z)$と$r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$に対して，
$$
\left(\begin{array}{c}
\xi\\
\eta\\
\zeta
\end{array}
\right) = \frac{\rho}{r}\left(\begin{array}{c}
x\\
y\\
z
\end{array}
\right),\quad r = \rho\left(1+\frac{r_M}{4\rho}\right)^2,\quad
\begin{cases}
\xi = \rho\cos\theta\sin\varphi\\
\eta = \rho\sin\theta\sin\varphi\\
\zeta = \rho\cos\varphi
\end{cases}
$$
結局，もとのデカルト座標に上手い非線形なスケール変換を噛ますと，良いデカルト座標が作れるというお話．

#### 系8.1
動径座標$\rho$の大きい所では，シュヴァルツシルト計量は，近似的に
$$
ds^2 = \left(1-\frac{r_M}{\rho}\right)c^2 dt^2-\left(1+\frac{r_M}{\rho}\right)(d\xi^2+d\eta^2+d\zeta^2)
$$
で与えられる．

## 8.3. 光線の屈曲
アインシュタインの相対論によって導かれる物理的事象の一つが，光線の屈曲である．
光線が天体の近傍を通過するときに，重力による時間や空間の伸びによって光速が変化するため，光が屈折を起こす．

アインシュタインは特殊相対論までのケース（1911年）と一般相対論を含めたケース(1916年)の2回計算を行っていて，後者は前者の2倍の屈折角が導かれた．

この節ではそれらの計算を追いかけてみる．

※光線の屈曲が実世界で起こり，またそれが計算値と整合するかは本書で述べられていない．[正しい相対論の間違え方]()なる本のリンクが張られている所をみると，色々あったのかもしれない．

### 8.3.1. 速さの変化による偏向
真空中の光の速さ$c=2.998$m/sは光の速さの理論的な上限値であり，媒質や重力場の影響で遅くなる．

光の屈折のイメージとも合うが，光線の向きの変化率は，光線の法線方向への光の速さの減少率に比例する（$O(1/c^2)$は無視している）．
$$
曲率 = \frac{d\theta}{ds} = -\frac{1}{c}\frac{\partial \gamma}{\partial x}
$$

ただし$s$は経路長パラメータで，$\gamma$は光の速度を表す（計量ではないので注意！！）

### 8.3.2. 1911年の計算
以下では太陽の近くを通る光線の偏向を考える．

太陽の無限遠方にいる観測者$C$と，太陽から距離$r$の地点にいる観測者$C$を考える．
太陽の作るニュートン的な重力ポテンシャルは
$$
\Phi = -\frac{GM}{r}
$$
である．ここで$C$が測る時間幅$\Delta T$と$G$が測る時間幅$\Delta \tau$の間には，2つの観測者間での重力ポテンシャルの差$\Delta \Phi$を用いて次のような関係性がある．（see 4.4）
$$
\Delta \tau = \left(1-\frac{\Delta \Phi}{c^2}\right)\Delta T
$$
よって，$C$から見ると太陽から距離$r$を進む光線の速さ$\gamma$は
$$
\gamma(\tau) = \frac{c}{1-(\Phi/c^2)} = c\left(1+\frac{\Phi}{c^2}+O\left(\frac{1}{c^4}\right)\right) = c-\frac{GM}{cr}
$$

重力の偏向を受けなければ$(x,y)$平面内を直進し，太陽から距離$X$の点を通過する光線を考える．
この光線が重力により偏向を受けたとき，総偏向角は$O(1/c^2)$までのオーダーで
$$
(総偏向角)=\int^\infty_{-\infty}\frac{d\theta}{ds}dy = -\frac{1}{c}\int^\infty_{-\infty}\frac{\partial \gamma}{\partial x}dy
$$
この量は光線の上では
$$
\frac{\partial \gamma}{\partial x} = \frac{GMx}{cr^3}=\frac{GMX}{cr^3}+O\left(\frac{1}{c^2}\right)
$$
よって
$$
(総偏向角)=-\frac{GMX}{c^2}\int^\infty_{-\infty}\frac{dy}{(X^2+y^2)^{3/2}}=-\frac{2GM}{c^2X}\simeq 0.873\ 秒
$$
を得る．ここでの秒は角度の単位で，1度の1/3600を表す．

### 8.3.3. 1916年の計算
先ほどは非相対論的な重力場だったが，今度は相対論的な重力場を考える．
座標系$R:(x^0,x^1,x^2,x^3) = (ct,x,y,z)$で，アインシュタインの弱場計量を用いると，オーダー$O(1/c^3)$の項を無視して
$$
ds^2 = (dx^0)^2-\sum_\alpha(dx^\alpha)^2-\frac{2GM}{rc^2}\left((dx^0)^2+\sum_{\alpha,\beta}\frac{x^\alpha x^\beta}{r^2} dx^\alpha dx^\beta\right)
$$
である．ここで，$R$から見た光子の世界線を$\mathbb{X}(t)=(ct,x^1(t),x^2(t),x^3(t))$とすると，光的ベクトルの条件$\|\mathbb{X}'\|^2=0$より，オーダー$O(1/c^2)$を無視して
$$
0 = \left(\frac{ds}{dt}\right)^2 = c^2-\sum_\alpha\left(\frac{dx^\alpha}{dt}\right)^2 = -\frac{2GM}{rc^2}\left((dx^0)^2+\sum_{\alpha,\beta}\frac{x^\alpha x^\beta}{r^2} \frac{dx^\alpha}{dt} \frac{dx^\beta}{dt}\right)
$$
となる．よって同じオーダーで
$$
\begin{eqnarray}
\gamma^2 = \sum_\alpha\left(\frac{dx^\alpha}{dt}\right)^2 &=& c^2- \frac{2GM}{rc^2}\left(c^2+\sum_{\alpha,\beta}\frac{x^\alpha x^\beta}{r^2} \frac{dx^\alpha}{dt} \frac{dx^\beta}{dt}\right)\\
&=& c^2\left[1-\frac{2GM}{rc^2}\left(1+\sum_{\alpha,\beta}\frac{x^\alpha x^\beta}{r^2c^2} \frac{dx^\alpha}{dt} \frac{dx^\beta}{dt}\right)\right]
\end{eqnarray}
$$
平方根取って近似すると($\sqrt{1-2A}=1-A$)より
$$
\gamma = c-\frac{GM}{rc}-\frac{GM}{rc}\sum_{\alpha,\beta}\frac{x^\alpha x^\beta}{r^2c^2} \frac{dx^\alpha}{dt} \frac{dx^\beta}{dt}
$$
第３項が1911年の計算に対する補正項になっていることが分かる．

諸々省略して結果を書くと
$$
(総偏向角)=-\frac{1}{c}\int^\infty_{-\infty}\frac{\partial \gamma}{\partial x}dy = -\frac{4GM}{c^2X} = 1.75 \ 秒
$$
従って，非相対論的重力場を考えたのに比べ，観測される量が２倍になることが分かる．

## 8.4. 近日点移動
これはアインシュタインの相対論が現実世界の現象を見事に予想した例である．

ニュートン力学の場合，太陽を回る惑星の軌道は，他の惑星の影響を無視すれば楕円となる．
しかし，特に太陽系の最も内側にある水星では他の惑星による影響が大きい．

軌道のずれとして観測される現象の１つが近日点の移動である．
ただ，水星の近日点の移動はニュートン力学の予想よりも１世紀あたり約43秒だけ大きすぎることが，1859年にはわかっていた．

当時は未知の惑星があるとして説明されていた（ヴァルカン Vulcanという名前までもらっていたらしい）が，結局発見されず，アインシュタインの1916年の理論まで解決されなかった．

### 8.4.1. 楕円
平面内の楕円軌道は極座標$(r,\theta)$とデカルト座標$(x,y)$のそれぞれで
$$
r = \frac{k}{1+e\cos\theta},\quad \frac{(x-p)^2}{a^2}+\frac{(y-q)^2}{b^2} = 1
$$
と記述される．
$a$,$b$はそれぞれ長半径及び短半径($a\geq b$のとき)と呼ばれる．

焦点距離$f$とすると，$a^2=b^2+f^2$が成立し，離心率$e$について
$$
e = \frac{f}{a} = \frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a} = \sqrt{1-\left(\frac{b}{a}\right)^2}
$$
で定義する．$e=0$なら真円，$e=1$なら直線となる．

また，
$$
a = \frac{k}{1-e^2},\quad b = \frac{k}{\sqrt{1-e^2}}
$$
が成り立つ．

### 8.4.2. 非相対論的軌道
太陽だけが重力を及ぼすと仮定し，ニュートン力学に基づいて惑星の運動を記述する．
太陽の中心を原点とし，時刻$t$における惑星の位置を${\bf x} = (x,y,z)$と置くと，運動方程式は
$$
\ddot{\bf x} = -\frac{GM}{r^3}{\bf x},\quad r = \|{\bf x}\|
$$
とかける．

一旦極座標での惑星の軌道を求めたい．速度ベクトル${\bf v} = \dot{\bf x}$とおくと，
$$
\frac{d}{dt}({\bf x}\times{\bf v}) = \dot{\bf x}\times{\bf v}+{\bf x}\times\dot{\bf v} = {\bf v}\times{\bf v} -\frac{GM}{r^3}({\bf x}\times{\bf x}) = 0
$$
よって角運動量ベクトル${\bf J} = {\bf x}\times{\bf v}$は保存され，適当な座標を取れば惑星の運動は$(x,y)$平面内で起こるとできる．
この平面内の極座標を$(r,\theta)$とすると

$$
{\bf J} = {\bf x}\times{\bf v} = (0,0,r\dot{\theta}^2),\quad J = \|{\bf J}\| = r\dot{\theta}^2
$$
つまり角運動量の大きさを得，これは定数である．

次に運動方程式を動径座標$r$で書き直す．
$r^2={\bf x}\cdot{\bf x}$であるから，$\mu=GM$を用いて
$$
\begin{eqnarray}
2r\dot{r} &=& 2{\bf x}\cdot\dot{\bf x},\quad r\dot{r} = {\bf x}\cdot\dot{\bf x}\\
\frac{d}{dt}(r\dot{r}) &=& r\ddot{r}+\dot{r}^2 = {\bf v}\times{\bf v} + {\bf x}\times\dot{\bf v} = v^2-\frac{\mu}{r^3}{\bf x}\cdot{\bf x} = v^2-\frac{\mu}{r}
\end{eqnarray}
$$
また$v^2 = {\dot r}^2+J^2/r^2$であり，運動方程式は，
$$
r{\dot r} = \frac{J^2}{r^2}-\frac{\mu}{r}
$$

ここで時間変数の変換$u = 1/r$を行う．
また$r$を$t$の関数でなく$\theta$の関数とするために，
$$
\begin{eqnarray}
\dot{r} &=& -\frac{1}{u^2}\dot{u} = -\frac{1}{u^2}\frac{du}{d\theta}\dot{\theta} = r^2\dot{\theta}\frac{du}{d\theta} = -J\frac{du}{d\theta},\\
\ddot{r} &=& -J\frac{d^2u}{d\theta^2}\dot{\theta}=-J\frac{d^2u}{d\theta^2}\frac{J}{r^2} = -J^2u^2\frac{d^2u}{d\theta^2}
\end{eqnarray}
$$
これを運動方程式に代入して
$$
\frac{d^2u}{d\theta^2}+u = \frac{\mu}{J^2}\tag{*}
$$
を得る．この微分方程式は
$$
u(\theta) = \frac{\mu}{J^2}+A\cos(\theta-\alpha)\tag{**}
$$
と書ける．ただし$A$は任意定数であり，$\alpha$は初期位相である．
しかし軌道という観点からは初期位相には興味がないので，$\alpha=0$とする．

結果的に
$$
r = \frac{J^2/\mu}{1+e\cos\theta},\quad e = \frac{AJ^2}{\mu}
$$
を得る．

### 8.4.3. 相対論的軌道
太陽の作る相対論的な重力場がシュバルツシルト計量であらわせると仮定する．
$$
ds^2 = c^2\left(1-\frac{2\mu}{c^2r}\right)dt^2-\frac{1}{1-2\mu/c^2r}dr^2-r^2(d\varphi^2+\sin^2\varphi\ d\theta^2)
$$
惑星の軌道を時間的測地線$\mathbb{X}(\tau) = (t(\tau),r(\tau),\varphi(\tau),\theta(\tau))$で書く．

$t,r,\theta,\mu=GM$は非相対論的な場合と同じ意味で使う．

解の中で$xy$平面つまり$\varphi = \pi/2$であるものを見つけたい．
ここで，$\varphi(0) = \pi/2$かつ$\varphi'(0)=\pi/2$である測地線は，すべての時刻$\tau$について$\varphi(\tau)=\pi/2$であることを確認できる．

従って残る値の変数について測地線方程式を考えればよい．
まず$\theta$について
$$
\theta'' = -2\Gamma^3_{13}r'\theta' = -\frac{2}{r}r'\theta'
$$
これは$r^2\theta''+2rr'\theta' = (r^2\theta')'=0$と変形できるので，結局相対論的な場合についても角運動量$r^2\theta'=J$が定数であることが分かる．

変数$t$についての測地線方程式は
$$
t'' = -2\Gamma^0_{01}t'r' = -\frac{2\mu}{c^2r^2}\frac{1}{1-2\mu/rc^2}t'r'
$$
であり，こちらもある量の導関数がゼロという形に書き直せる．
$$
\left(\left(1-\frac{2\mu}{c^2r}\right)t'\right)' = 0
$$
したがってある定数$A$により
$$
t' = \frac{A}{1-2\mu/rc^2}
$$
と書ける．

最後に$r$に関してであるが，測地線方程式ではなく計量についての条件を使う．

計量は$ds^2 = c^2d\tau^2$とも書けるので，
$$
c^2 = c^2\left(1-\frac{2\mu}{c^2r}\right)(t')^2-\frac{1}{1-2\mu/rc^2}(r')^2-r^2(\theta')^2
$$
が成立する．ここで$\varphi'=0$かつ$\sin\varphi=1$を用いた．

この式に上で求めた$t'$や$\theta'$を代入し，かつ$r' = \frac{dr}{d\theta}\theta'$を用いて置き換えたり色々すると
$$
\frac{1}{2}\left(\frac{du}{d\theta}\right)^2+\frac{u^2}{2} = \frac{c^2(A^2-1)}{2J^2}+\frac{\mu}{J^2}u+\frac{\mu}{c^2}u^3
$$
を得る．ただし，$u=1/\tau$である．

ここからさらに変形や微分の操作を行うと
$$
\frac{d^2u}{d\theta^2}+u = \frac{\mu}{J^2}+3\frac{\mu}{c^2}u^2
$$
を得る．
これを非相対論的な$u$の方程式$(*)$と見比べると，右辺第二項がオーダー$O(1/c^2)$の補正項となっていることがわかる．

とすれば解も非相対論的な場合の解$(**)$に，同程度のオーダーの項をつけて補正してやればよいと予想される．
$$
u(\theta) = \frac{\mu}{J^2}(1+e\cos\theta)+\frac{v(\theta)}{c^2}+O\left(\frac{1}{c^4}\right)
$$
実際，この形の解は相対論的な$u$の方程式を満たすことが確認でき，結果として
$$
u(\theta) = \frac{\mu}{J^2}(1+e\cos(\theta-D\theta))+\frac{3\mu^3}{c^2J^4}\left(1+\frac{e^2}{2}-\frac{e^2}{6}\cos2\theta\right)+O\left(\frac{1}{c^4}\right)
$$
を得る．

括弧の中の項は無視できる累積効果である（定数を除けば周期的），相対論的な累積効果は項$\cos(\theta-D\theta)$のみに含まれる．

近日点の角$\theta$は$\cos(\theta-D\theta) = 1$を満たす．つまり
$$
\theta = \frac{2n\pi}{1-D} = 2n\pi(1+D+O(D^2)) = 2n\pi+2n\pi D+O\left(\frac{1}{c^4}\right)
$$
従って，近日点の方向の角度$\theta$は，公転1回ごとに
$$
2\pi D = \frac{6\pi\mu^2}{c^2}{J^2}
$$
ずつ増加する．

これは観測可能な量から計算することができて，
$$
2\pi D = \frac{6\pi GM}{c^2a(1-c^2)} = 43\ 秒
$$
を得る．

結果として，相対論的議論によって，現実世界で観測された近日点のずれ43秒を正確に予測することができた．

次の図は非相対論的なずれ5557秒毎世紀と，相対論的なずれを足した場合の水星の軌道をそれぞれ示している．


## 8章のまとめ
- 相対論的な方程式を適切なオーダーで近似し，また重力場の性質を上手く活用することによって，場合によっては相対論的な重力場および計量を計算することができる．
- その一つであるシュバルツシルト計量を用いると，光線の偏向や近日点移動といった物理的現象を記述することができ，その結果は現実世界の観測結果と矛盾しない．

##

### **お疲れさまでした！！！**

### 個人の感想
- 長かった…が面白かったので満足
- 聞いてくれるひとがいなければ読み終えられなかったと思うので感謝
- この後はこの内容を~~意地でも~~研究に活かしたい
- 衝突回避ポテンシャルと，それを受ける群れの振る舞いの考察
- 無限に飛ばないのが素敵．シュバルツシルト半径とか出てきたら草．
- 相対論みたいに時間の伸び縮を導入した衝突回避制御
- 高次元での群れの振る舞いの考察　

## 補足
- 電磁場のエネルギー・運動量テンソルに関して
- [電磁ポテンシャル](https://eman-physics.net/electromag/potential.html)
- [相対論的なマクスウェル方程式](https://eman-physics.net/relativity/maxwell.html)
- [電磁場のテンソル表現](https://eman-physics.net/relativity/em_tensor.html)
なんとなくわかるような気もするのがうれしい

相対論的マクスウェル方程式だけ下に書いておくと
4元電磁ポテンシャル$\mathbb{A} = (\phi/c, A_x,A_y,A_z)$, ４元電流密度$\mathbb{j} = (c\rho,i_x,i_y,i_z)$として
$$
\square A^k-\partial^k(\partial_l A^l) = -\mu_0 j^k
$$
ここで$\phi$は電位，$c$は光速，$\rho$が電荷密度（多分），ベクトルポテンシャル$A:\ B = {\rm rot} A$，$\square = \nabla-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial (x^0)^2}$，$\partial_i = \frac{\partial}{\partial x^i}$, $\partial^i = g^{ij}\partial_j$
$\square$はダランベルシヤンとか４元ラプラシアンとかと呼ぶ
- 重力場の方程式つまりリッチテンソルについて，素直に展開すると[こう](https://eman-physics.net/relativity/r00_ext.html)なるらしい