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tags: 大學, 二下, 機率
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# Prob 筆記
### 變異數公式
==注意二式分母差別==
母體變異數：所有資料的變異數
樣本變異數：在所有資料中挑選部份資料作為樣本的變異數
### X: Random Variable,是一種function，定義在樣本空間$\Omega$中
ex:
考慮擲一公正銅板二次, 用H表出現正面, T表出現反面, 則此試驗的樣本空間是 $\Omega$ ={HH, HT, TH, TT},

其中HT表第一次出現正面, 第二次出現反面, 餘類推。我們令隨機變數X = 出現正面的次數, 所以可以很清楚知道:

X(HH): 表出現兩個正面, 所以 X(HH)=2;

X(HT)與X(TH): 均表出現一個正面, 所以 X(HT)=X(TH)=1;

X(TT): 表沒有出現正面, 所以 X(TT)=0;

因此隨機變數取值在0,1和2。
### S: space of X,所有X()出來的值所形成的集合，以上面為例則為{0, 1, 2}
### If S is a finite or countable infinite set(可數無限集合 eg. 整數集合、有理數集合), then X is said to be a discrete(離散的) random variable.
### probability mass function(p.m.f.):
##### Prob(X = k)當隨機變數為不同k時所形成的機率函數
##### For a random variable X, we define its ++probability distribution function++ F as $F_x(t) = Prob(X \le t)$ (a.k.a CDF)
### Uniform distribution(均勻分佈):
##### 在範圍 (a,b) 內的出現機會均等(不限離散型分佈)
定義： $f(x)= {1 \over m}, x=1, 2, …, m$
### Hypergeometric distribution(超幾何分佈):
##### 取球實驗，++取出後不放回++，則每次再取球的機率皆不同
ex:
在伯努力試驗中，若每次成功的機率不一樣，則次試驗後，所得成功次數就不是二項分佈了。假設袋中有個球，其中有個白球，個非白球，自其中隨機地取出個球，每次取出後不放回(without replacement)。令表總共取得之白球數

## Mathematical Expectation(期望值)
## standard deviation(標準差)
### ==變異數定義==
### ==推廣出的公式：== (平方的期望值 - 期望值的平方)
### ==線性關係==
### ==線性關係整理==

## Moment(動差)
### ==動差的意義==
### Moment-Generating Function(動差生成函數)
#### ==微分一次：一階動差, 微分兩次：二階動差==
##### ==(對t微分,不是對x微分)==
#### ==期望值與變異數利用動差生成函數求出==
#### ==動差生成函數另一個用途:==
##### ==暫不考==
## 二項分配(Binomial Distribution)與超幾何分配(hypergeometric distribution)
### 二項分配
### 超幾何分配
### 兩著比較 ==期望值與變異數要背！==
### 用Moment-Generating Function算二項分配的期望值跟變異數
## 幾何分配(Geometric distribution)
##### P(X = x)投擲恰好x次，而在第x次時獲得成功的機率(其餘皆為失敗)
### 幾何分配==期望值==與==變異數==
### p.m.f. vs p.d.f.
##### p.m.f(probability mass function):==離散==機率變量的函數,所有可能的變量的和為1
##### p.d.f(probability density function):==連續==機率變量的函數,所有可能的變量範圍所積分出的面積為1
# ==期中考範圍開始==
## ==幾何分配與負二項分配定義：==
### ==負二項分配的PMF==
### ==幾何分配是負二項分配的特例(當k = 1時)==
## ==布阿松分配==
### ==布阿松分配的期望值與變異數==
### ==布阿松分配的PMF==
## ==連續型機率分佈==
### ==期望值與變異數==
### ==伽瑪函數定義與性質==
### ==伽瑪分配期望值:$\alpha \beta$（背）==
### ==伽瑪分配變異數:$\alpha \beta ^2$（背）==
### ==伽瑪分配的PDF（背）==
### ==指數分配是伽瑪分配$\alpha = 1$的特例==
### ==指數分配的期望值與變異數==
### ==指數分配與布阿松分配的關係==
### ==無記憶性質定義==
##### ==白話文：不會因為前面已經過了多久而影響要等待的時間==
### ==卡方分配是伽瑪分配$\alpha = {\nu \over 2}, \beta = 2$的特例==


# ==期末考範圍開始==
## 聯合機率分配
### 聯合機率質量函數(間斷型)
### 聯合機率質量函數(間斷型)
### 邊際機率分配函數:
#### ==X的邊際機率分配函數$f_x(x)$：對Y做SUM(積分)==
### ==$f(x, y) = f_x(x) * f_y(y) \leftrightarrow X, Y\text{獨立} \rightarrow \text{可以從邊際機率函數回推聯合機率函數}$==
### 期望值定義：
### 期望值與變異數求法：
### 兩==獨立==隨機變數的期望值才可分開