--- tags: 大學, 二下, 機率 --- # Prob 筆記 ### 變異數公式 ==注意二式分母差別== ![](https://i.imgur.com/KGvn6Dj.png) 母體變異數:所有資料的變異數 樣本變異數:在所有資料中挑選部份資料作為樣本的變異數 ### X: Random Variable,是一種function,定義在樣本空間$\Omega$中 ex: 考慮擲一公正銅板二次, 用H表出現正面, T表出現反面, 則此試驗的樣本空間是 $\Omega$ ={HH, HT, TH, TT}, 其中HT表第一次出現正面, 第二次出現反面, 餘類推。我們令隨機變數X = 出現正面的次數, 所以可以很清楚知道: X(HH): 表出現兩個正面, 所以 X(HH)=2; X(HT)與X(TH): 均表出現一個正面, 所以 X(HT)=X(TH)=1; X(TT): 表沒有出現正面, 所以 X(TT)=0; 因此隨機變數取值在0,1和2。 ### S: space of X,所有X()出來的值所形成的集合,以上面為例則為{0, 1, 2} ### If S is a finite or countable infinite set(可數無限集合 eg. 整數集合、有理數集合), then X is said to be a discrete(離散的) random variable. ### probability mass function(p.m.f.): ##### Prob(X = k)當隨機變數為不同k時所形成的機率函數 ##### For a random variable X, we define its ++probability distribution function++ F as $F_x(t) = Prob(X \le t)$ (a.k.a CDF) ### Uniform distribution(均勻分佈): ##### 在範圍 (a,b) 內的出現機會均等(不限離散型分佈) 定義: $f(x)= {1 \over m}, x=1, 2, …, m$ ### Hypergeometric distribution(超幾何分佈): ##### 取球實驗,++取出後不放回++,則每次再取球的機率皆不同 ex: 在伯努力試驗中,若每次成功的機率不一樣,則次試驗後,所得成功次數就不是二項分佈了。假設袋中有個球,其中有個白球,個非白球,自其中隨機地取出個球,每次取出後不放回(without replacement)。令表總共取得之白球數 ![](https://i.imgur.com/vqaxWmL.png) ## Mathematical Expectation(期望值) ![](https://i.imgur.com/r2CVpme.png) ## standard deviation(標準差) ### ==變異數定義== ![](https://i.imgur.com/2MVgvJz.png) ### ==推廣出的公式:== (平方的期望值 - 期望值的平方) ![](https://i.imgur.com/2le1szK.png) ### ==線性關係== ![](https://i.imgur.com/BfalaTo.png) ![](https://i.imgur.com/yVqr9dd.png) ### ==線性關係整理== ![](https://i.imgur.com/jRgKpDE.png) ## Moment(動差) ### ==動差的意義== ![](https://i.imgur.com/0Qj5aZK.png) ![](https://i.imgur.com/0PWSX7i.png) ![](https://i.imgur.com/0NC2EvI.png) ![](https://i.imgur.com/lTtswbl.png) ![](https://i.imgur.com/Fs1Q2Mn.png) ![](https://i.imgur.com/3NqMGAc.png) ![](https://i.imgur.com/qacBcJt.png) ![](https://i.imgur.com/OJCaXP0.png) ### Moment-Generating Function(動差生成函數) #### ==微分一次:一階動差, 微分兩次:二階動差== ##### ==(對t微分,不是對x微分)== ![](https://i.imgur.com/zYXp5KY.png) ![](https://i.imgur.com/zXW8Dhl.png) ![](https://i.imgur.com/rOXN2vd.png) #### ==期望值與變異數利用動差生成函數求出== ![](https://i.imgur.com/WCR11Y8.png) #### ==動差生成函數另一個用途:== ![](https://i.imgur.com/WF6xZiL.png) ##### ==暫不考== ![](https://i.imgur.com/9xqjeKw.png) ## 二項分配(Binomial Distribution)與超幾何分配(hypergeometric distribution) ### 二項分配 ![](https://i.imgur.com/smpjOfL.png) ![](https://i.imgur.com/be2k125.png) ### 超幾何分配 ![](https://i.imgur.com/wBaJHVG.png) ![](https://i.imgur.com/QzzQnmM.png) ### 兩著比較 ==期望值與變異數要背!== ![](https://i.imgur.com/oLBu89G.png) ![](https://i.imgur.com/Gj6C3ZC.png) ### 用Moment-Generating Function算二項分配的期望值跟變異數 ![](https://i.imgur.com/lx6D3rt.png) ![](https://i.imgur.com/6rylAx8.png) ## 幾何分配(Geometric distribution) ##### P(X = x)投擲恰好x次,而在第x次時獲得成功的機率(其餘皆為失敗) ![](https://i.imgur.com/dCQfupA.png) ### 幾何分配==期望值==與==變異數== ![](https://i.imgur.com/qkxaExs.png) ### p.m.f. vs p.d.f. ##### p.m.f(probability mass function):==離散==機率變量的函數,所有可能的變量的和為1 ##### p.d.f(probability density function):==連續==機率變量的函數,所有可能的變量範圍所積分出的面積為1 # ==期中考範圍開始== ## ==幾何分配與負二項分配定義:== ![](https://i.imgur.com/18z5SWG.png) ### ==負二項分配的PMF== ![](https://i.imgur.com/yewWjzv.png) ### ==幾何分配是負二項分配的特例(當k = 1時)== ![](https://i.imgur.com/RgteULt.png) ## ==布阿松分配== ### ==布阿松分配的期望值與變異數== ![](https://i.imgur.com/Qvexz5E.png) ### ==布阿松分配的PMF== ![](https://i.imgur.com/9sf78qc.png) ![](https://i.imgur.com/NJlGhFc.png) ## ==連續型機率分佈== ### ==期望值與變異數== ![](https://i.imgur.com/4KrI6tB.png) ### ==伽瑪函數定義與性質== ![](https://i.imgur.com/tEATi3m.png) ### ==伽瑪分配期望值:$\alpha \beta$(背)== ![](https://i.imgur.com/buyEjPR.png) ### ==伽瑪分配變異數:$\alpha \beta ^2$(背)== ![](https://i.imgur.com/lsPtrrZ.png) ### ==伽瑪分配的PDF(背)== ![](https://i.imgur.com/hCmR4ef.png) ### ==指數分配是伽瑪分配$\alpha = 1$的特例== ![](https://i.imgur.com/5Gqb7u7.png) ### ==指數分配的期望值與變異數== ![](https://i.imgur.com/oDwQrhH.png) ### ==指數分配與布阿松分配的關係== ![](https://i.imgur.com/J7Gklo0.png) ### ==無記憶性質定義== ![](https://i.imgur.com/cvv1Hre.png) ##### ==白話文:不會因為前面已經過了多久而影響要等待的時間== ![](https://i.imgur.com/EOHuQYa.png) ### ==卡方分配是伽瑪分配$\alpha = {\nu \over 2}, \beta = 2$的特例== ![](https://i.imgur.com/dw38lti.png) ![](https://i.imgur.com/VWpiplK.png) # ==期末考範圍開始== ## 聯合機率分配 ### 聯合機率質量函數(間斷型) ![](https://i.imgur.com/C2RrqWj.png) ### 聯合機率質量函數(間斷型) ![](https://i.imgur.com/KOjMqmB.png) ### 邊際機率分配函數: #### ==X的邊際機率分配函數$f_x(x)$:對Y做SUM(積分)== ### ==$f(x, y) = f_x(x) * f_y(y) \leftrightarrow X, Y\text{獨立} \rightarrow \text{可以從邊際機率函數回推聯合機率函數}$== ![](https://i.imgur.com/lNfwzXw.png) ### 期望值定義: ![](https://i.imgur.com/t909oDI.png) ### 期望值與變異數求法: ![](https://i.imgur.com/0yQQIes.png) ### 兩==獨立==隨機變數的期望值才可分開 ![](https://i.imgur.com/qe8RI1C.png) ![](https://i.imgur.com/mAgYtlz.png) ![](https://i.imgur.com/rpPR0PF.png) ![](https://i.imgur.com/tF1CZLh.png) ![](https://i.imgur.com/UnokvXp.png) ![](https://i.imgur.com/5fQXNGE.png) ![](https://i.imgur.com/dVbtyBO.png) ![](https://i.imgur.com/8kz2TxH.png) ![](https://i.imgur.com/9Tre0De.png) ![](https://i.imgur.com/nNR4l38.png) ![](https://i.imgur.com/nP8lckF.png) ![](https://i.imgur.com/X9ueM3a.png)