# 微分
## 此文章旨在紀錄我所學之內容

### 本作參考包含:新觀念數學叢書(陳一理編著)、3blue1brown之影片及課綱內容
## 何謂極限:
### 1.極限基本定義
#### 若x趨近於a時，函數值即f(x)非常接近K(定值)，則稱x趨近於a時，函數 f(x)的極限為K
#### 記為$\begin{gather*} \lim_{x\to a} f(x) \end{gather*}$=K
### 2.右極限、左極限
#### 令x>a且x趨近a時f(x)之值非常接近K，稱f(x)之右極限為K
#### 記為$\begin{gather*} \lim_{x\to a+} f(x) \end{gather*}$=K
#### 左極限相反，當x<a且x趨近a時f(x)之值非常接近K，稱f(x)之左極限為K
#### 記為$\begin{gather*} \lim_{x\to a-} f(x) \end{gather*}$=K

### 3.函數極限存在條件
#### 當函數左右極限相同時函數極限才會存在(不代表其等於f(a))
#### 即$\begin{gather*} \lim_{x\to a+} f(x) \end{gather*}$=$\begin{gather*} \lim_{x\to a-} f(x) \end{gather*}$⇔$\begin{gather*} \lim_{x\to a} f(x) \end{gather*}$
#### (不代表其等於$f(a)$)
### 4.極限四則運算
#### 設$\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\alpha$，$\displaystyle\lim_{n\to\infty}b_n=\beta$ (極限唯一且存在)
#### $\displaystyle\lim_{n\to\infty}(a_n+b_n)=\alpha+\beta$
#### $\displaystyle\lim_{n\to\infty}(a_n-b_n)=\alpha-\beta$
#### $\displaystyle\lim_{n\to\infty}(a_n \cdot b_n)=\alpha\beta$
#### $\displaystyle\lim_{n\to\infty}(\frac {a_n} {b_n})=\frac {\alpha} {\beta}$ $(\beta\neq0)$
### 5.收斂與發散
#### 收斂數列，即其極限值有唯一存在
#### 發散數列，即其函數值震盪或正負無限大或不存在
### 6.夾擠定理
#### 設$\langle a_n \rangle\langle b_n \rangle\langle c_n \rangle$皆為收斂數列，且$\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\alpha ，\displaystyle\lim_{n\to\infty}b_n=\beta，\displaystyle\lim_{n\to\infty}c_n=\gamma$
#### $\forall n\in \mathbb{N}$，$a_n\le b_n\le c_n$，則$\alpha\le\beta\le\gamma$
#### 若$\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=K=\displaystyle\lim_{n\to\infty}c_n$，則$\displaystyle\lim_{n\to\infty}b_n=K$

## 何謂微分
### 1.導數的定義
#### 設$f(x)$為一函數且當x$\rightarrow$a時，若$\frac {f(x)-f(a)} {x-a}$的極限存在，稱此極限值為$f(x)$在x=a處的導數(亦被稱為微分係數)，以$f'(a)$表示。
#### 即$f'(a)=\displaystyle\lim_{x\to a}\frac {f(x)-f(a)} {x-a}$
#### 若$f(x)$於$x=a$有導數，則稱$f(x)在x=a$處可微分

### 2.導函數
#### 導函數即 : $f'(a)=\displaystyle\lim_{\Delta x\to 0}\frac {f(a+\Delta x)-f(a)} {\Delta x}=\frac {d}{dx}f(x)$
#### $f(x)的二階導函數記為\frac {d^2 f(x)}{dx^2}或f''(x)$
#### $f(x)的n階導函數記為\frac {d^n f(x)}{dx^n}或f'''(x)(n個')$
### 3.微分公式
#### 1.$\frac {dx^n}{dx}=nx^{n-1}$
#### 證明:
#### $令f(x)=x^n，設a為任意實數則$
#### $\displaystyle\lim_{x\to a}\frac {f(x)-f(a)}{x-a}$
#### $=\displaystyle\lim_{x\to a}\frac {x^n -a^n}{x-a}$
#### $=\displaystyle\lim_{x\to a}(x^{n-1}+x^{n-2}a+\cdots +xa^{n-2}+xa^{n-1})$
#### $=a^{n-1}+a^{n-1}+\cdots+a^{n-1}$
#### $=na^{n-1}$
### $即\frac {dx^n}{dx}=nx^{n-1}$
#### 2.$若c為常數，\frac{dc}{dx}=0$
#### 證明:
#### $令f(x)=c，(c為常數)則$
#### $f'(x)=\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac {f(x+h)-f(x)}{h}$
#### $=\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac {c-c}{h}$
#### $=\displaystyle\lim_{h\to 0}0=0$
#### 即$\frac{dc}{dx}=0$
#### 3.$若n是正整數，則\frac {d\sqrt[n]{x}}{dx}=\frac {1}{n\sqrt[n]{x^{n-1}}}$
#### 證明:
#### $f(x)=\sqrt[n]x$
#### $f'(a)=\displaystyle\lim_{x\to a}\frac {\sqrt[n]x-\sqrt[n]a}{x-a}$
#### =$\displaystyle\lim_{x\to a}\frac {\sqrt[n]x-\sqrt[n]a}{(\sqrt[n]x-\sqrt[n]a)(\sqrt[n]{x^{n-1}}+\sqrt[n]{ax^{n-2}}+\cdots+\sqrt[n]{a^{n-2}x}-\sqrt[n]{a^{n-1}})}$
#### =$\displaystyle\lim_{x\to a}\frac {1}{(\sqrt[n]{x^{n-1}}+\sqrt[n]{ax^{n-2}}+\cdots+\sqrt[n]{a^{n-2}x}-\sqrt[n]{a^{n-1}})}$
#### $=\frac {1}{n \sqrt[n]{a^{n-1}}}$
#### $=\frac{1}{n}a^{\frac{1}{n}-1}$
#### 故$\frac {d\sqrt[n]{x}}{dx}=\frac {1}{n\sqrt[n]{x^{n-1}}}$
#### 4.若$f(x)和g(x)是可微分的函數，則f(x)+g(x)也為可微分的函數，且(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)$
#### 證明:
#### $(f(x)+g(x))'=f'(x)=\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac {[f(x+h)+g(x+h)]-[f(x)+g(x)]}{h}$
#### $=\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac {f(x+h)-f(x)}{h}+\frac {g(x+h)-g(x)}{h}$
#### $=f'(x)+g'(x)$
#### 故$(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)$
#### 5.$若f(x)是一可微分函數且c為一常數則(cf(x))'=cf'(x)，(-f(x))'=-f'(x)$
#### 證明:
#### $(cf(x))'=f'(x)=\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac {cf(x+h)-cf(x)}{h}$
#### =$f'(x)=\displaystyle\lim_{h\to 0}c\cdot\frac {f(x+h)-f(x)}{h}$
#### $=cf'(x)$
#### 6.若$f(x)與g(x)是可微分的函數，則(f(x)-g(x))'=f'(x)-g'(x)$
#### $(f(x)-g(x))'=(f(x)+(-g(x)))'$
#### 7. 設$f_1(x),f_2(x),\cdots f_n(x)皆為可微分之函數，且c_1,c_2，\cdots，c_n為常數則$
#### $\frac{d}{dx}(c_1f_1(x)+c_2f_2(x)+\cdots+c_nf_n(x))=c_1\cdot \frac{df_1(x)}{dx}+c_2\cdot \frac{df_2(x)}{dx}+\cdots+c_n\cdot \frac{df_n(x)}{dx}$
#### 證明:
#### $\frac{d}{dx}(c_1f_1(x)+c_2f_2(x)+\cdots+c_nf_n(x))$
#### $=c_1\frac{df_1(x)}{dx}+c_2\frac{df_2(x)}{dx}+\cdots+c_n\frac{df_n(x)}{dx}$
#### 8.若$f(x)與g(x)是可微分的函數$則
#### $(f(x)\cdot g(x))'=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$
#### 證明:
#### $(f(x)\cdot g(x))'=\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac {f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}$
#### $=\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac {f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}$
#### $\displaystyle\lim_{h\to 0}[{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}\cdot g(x+h)+\frac {g(x+h)-g(x)}{h}\cdot f(x)}]$
#### =$f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$
#### 9.若$f(x)與g(x)是可微分的函數$則
### $(\frac{f(x)}{g(x)})'=\frac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{(g(x))^2}$
#### 證明:
#### $(\frac{f(x)}{g(x)})'=(f(x)\cdot g(x))'=\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac {1}{h}[\frac{f(x+h)}{g(x+h)}-\frac{f(x)}{g(x)}]$
#### =$\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{[f(x+h)-f(x)]g(x)-[g(x+h)-g(x)]f(x)}{h\cdot g(x+h)\cdot g(x)}$
#### $\displaystyle\lim_{h\to 0}[\frac{f(x-h)-f(x)}{h}\cdot\frac{g(x)}{g(x+h)g(x)}-\frac {g(x+h)-g(x)}{h}\cdot\frac{f(x)}{g(x+h)g(x)}]$
### =$\frac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{(g(x))^2}$