## 三角函數高一
作者:TudoHuang

**建議自己手抄**
### 基本三角函數
- **正弦函數 (sine)**: $\sin \theta$
- **餘弦函數 (cosine)**: $\cos \theta$
- **正切函數 (tangent)**: $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$

### 常用角的三角函數值
| 角度 | 正弦 $\sin$ | 餘弦 $\cos$ | 正切 $\tan$ |
|-------------|--------------------------|--------------------------|---------------------------|
| $0^\circ$ | 0 | 1 | 0 |
| $30^\circ$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{1}{\sqrt{3}}$ |
| $45^\circ$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | 1 |
| $60^\circ$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{1}{2}$ | $\sqrt{3}$ |
| $90^\circ$ | 1 | 0 | 不定 |

### 重要的三角公式與定理

#### 餘弦定理
- **公式**: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$
- **應用**: 計算任意三角形中的任一邊長，給定其他兩邊及夾角。

#### 正弦定理
- **公式**: $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$
- **應用**: 在任意三角形中，任一邊長與其對角的正弦值的比值是常數。

#### 海龍公式 (Heron's formula)
- **公式**: $\text{Area} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$，其中 $s = \frac{a+b+c}{2}$ 為半周長。
- **應用**: 計算已知三邊長的三角形面積。

#### 角平分線定理
- **公式**: $\frac{a}{b} = \frac{d_a}{d_b}$
- **應用**: 角平分線將對邊按對邊兩邊的比例分成兩段。

#### 倍角與半角公式
- **正弦二倍角**: $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$
- **餘弦二倍角**: $\cos 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta$
- **正弦半角**: $\sin \frac{\theta}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{2}}$
- **餘弦半角**: $\cos \frac{\theta}{2} = \sqrt{\frac{1 + \cos \theta}{2}}$

#### 和角與差角公式
- **和角公式**:
$\sin (a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b$
$\cos (a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$
- **差角公式**:
$\sin (a - b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b$
$\cos (a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b$

#### 正切的倍角與半角公式
-

**正切二倍角**: $\tan 2\theta = \frac{2\tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}$
- **正切半角**: $\tan \frac{\theta}{2} = \frac{1 - \cos \theta}{\sin \theta} = \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta}$

#### 和角與差角的正切公式
- **和角公式**: $\tan (a + b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \tan b}$
- **差角公式**: $\tan (a - b) = \frac{\tan a - \tan b}{1 + \tan a \tan b}$

#### 平方關係
- **正弦和餘弦的平方關係**: $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$
- **正切和餘切的平方關係**: $\tan^2 \theta + 1 = \sec^2 \theta$

#### 商數關係
- **正弦和餘弦的商數關係**: $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$
- **餘弦和正弦的商數關係**: $\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$