# ALOHA Packet System With and Without Slots and Capture
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[TOC]

### 前言
在 ALOHA 中，一個廣播頻道由多個通信設備共享。 在 Abramson 最初描述的版本中，每個設備都獨立於任何其他設備或特定時間傳輸其數據包。 也就是說，設備在隨機時間點傳輸整個數據包； 然後設備超時以接收確認。 如果沒有收到確認，則假定與某個其他設備發送的數據包發生衝突，並且在隨機的額外等待時間後重新發送數據包（以避免重複衝突）。 在一定的假設下，Abramson證明了這樣一個通道的有效容量是 1/(2e) 。

### Capture
Capture Radio(捕獲率)：如果次強信號的功率下降 1.5 -3db，FM 接收器將跟踪許多信號中最強的信號。


#### Assume
假設接收器被半徑 R 的圓內的等密度控制台群包圍，唯一可以干擾半徑 r 的是，給定一個圓內半徑是$$β^{-1/2}r$$的電台。


有兩種情況，異步和同步。 在這兩種情況下，我們假設所有站點的Poisson點過程都希望在隨機時間以速率 λ = γ/T中開始於封包長度為 T 秒的數據包。 因此，在一段時間內沒有衝突的概率 (mT) 為：

$$ q_{o} = e^{-γm} $$

但是，如果只有一小部分站點K，位於適當的位置以防止被捕獲，則泊松率會減少 K 。 在給定的半徑 r 處，接口站點是區域為 $$\frac {\pi r^{2}}{\beta}$$ 而總面積是$$ \pi R^{2} $$因此，會導致衝突的站點的比例是面積比。

現在，為了計算平均 q，我們必須將乘積 p( r) q(r ) 與 r 積分到 R√β和 p( r) qo 從 R√β到 R，因為這裡所有站都干擾。
隨著圓周的增加，任何半徑 r 處的站點數量都隨著 r 線性增加。 因此概率密度為：
找到平均 q 後，σ = γq 關係將為我們提供 σ
請注意，這是兩種解決方案的線性組合，即不捕獲的解決方案（當 (β=0) 時）和完全捕獲的解決方案，其中始終正確接收一個數據包。
現在有必要分別看異步和同步的情況來確定m。

### Asynchronous
由於每個數據包的長度為 T，因此給定數據包將與週期 2T 內開始的數據包發生衝突
Thus,m=2

### Synchronous Slot
數據包總是被放入槽中。 每個站都有一個時鐘，該時鐘對時隙進行計數，並通過觀察其他數據包來重新同步。 插槽必須有一個稍長的 T 以防止錯誤，但稍後將考慮這個因素。 在給定時隙中引起傳輸的數據包開始時間週期就是前一個時隙時間。 因此，泊松週期為 T (m=1) 。
請注意，這兩個公式在以下替換下是相同的：

因此，槽解決方案對兩者都有好處，請記住，對於異步通道的使用，速率是同步情況的 1/2。 也就是說，對於任何給定的信道帶寬和捕獲比，可實現的峰值速率或給定延遲下的速率（取決於 γ/6）在異步情況下將只有定義時隙的一半。 時隙填充將意味著失去一些這種優勢，但除非時隙 s 成為數據包大小的兩倍，否則時隙技術會明顯更好。
### Maximun σ for slot
除了捕獲率 = 0 (β =σ ) 的無法實現的情況，其中最大值 σ=1 在 γ= o 時，σ 存在一個真正的最大值
$$σ_{max} = β + (1-β)e^{-γ_{1}}$$
而
$$γ_{1} = \frac{1}{1-β}$$
### Delay
一個數據包遇到的延遲最初是假設沒有衝突的信道和數據包傳輸延遲。 將此延遲稱為 A 。 接下來，如果發生一次或多次重傳，則每次從傳輸到後續重傳都需要一些時間 R。 由於平均有 (γ/σ) 次傳輸，總延遲為：
$$ D = A+R(\frac{γ}{σ}-1)$$
### Satellite Delay
對於衛星，初始延遲 A 是衛星上下延遲（C = .27 秒）加上數據包時間 T。
$$ A = C + T $$
重傳是在看到自己的down信號發生衝突後，隨機等待10個包次以上，避免直接衝突。
$$R = C+6T$$
Thus:$$D=(C+6T)\frac{γ}{σ}-5T$$
Ex： 50 KB、1400 位數據包在 100 miles 以下距離的典型時間為:
$$D = 0.438\frac{γ}{σ}-0.14 sec$$
### Ground Radio Delay
這裡的傳播延遲 C 小得多，但同樣的規則適用於 A 。
$$ A = C + T $$
重傳只能在確認後發生，但是，這總是可以發送的：在一個數據包時間內（ave-1/2T） 然而，發生了兩次傳輸延遲，假設隨機等待超過 9 個數據包時間
$$R = 2C+7T$$
當 σ 對於任何變體被推到最大值時，系統是動態不穩定的，就像 γ 以某種方式被推到 σ,γ 方程的第二個解之外。 因此，必須選擇低於最大 σ 點的工作點，該點是動態穩定的並且具有合理的延遲。 對於操作和討論系統容量，一個方便的選擇點是 q = 1/2 和 γ=2σ 的點。 這意味著如果考慮變體之間的比較，延遲是固定的，並且對於實際使用，平均只有兩次傳輸。 這也限制了最大延遲，如果 (1-q) 更接近統一，則可以快速增長。
Thus:$$D=(2C+7T)\frac{γ}{σ}-(C+6T)$$
Ex： 50 KB、1400 位數據包在 100 miles 以下距離的典型時間為:
$$D = 0.196\frac{γ}{σ}-0.168 sec$$
### Operating Point
當 σ 對於任何變體被推到最大值時，系統是動態不穩定的，就像 γ 以某種方式被推到 σ,γ 方程的第二個解之外。 因此，必須選擇低於最大 σ 點的工作點，該點是動態穩定的並且具有合理的延遲。 對於操作和討論系統容量，一個方便的選擇點是 q = 1/2 和 γ=2σ 的點。 這意味著如果考慮變體之間的比較，延遲是固定的，並且對於實際使用，平均只有兩次傳輸。 這也限制了最大延遲，如果 (1-q) 更接近統一，則可以快速增長。
### Slot Padding
對於半徑為 25 英里的 UHF 無線電，填充在 50 KB 時可忽略不計，在 500 KB 時為 10%，對於 1200 位數據包在 5 MB 時為 50%。 這是假設沒有與衛星一樣的延遲校正計算。 如果仍然需要 1200 位數據包，則必須包含超過 5 MB 的延遲校正或使用異步系統。 當然，正是在相同的帶寬上，多個接收器開始幫助解決衝突——因此可能不需要延遲校正來實現始終如一的高信道利用率。
At q = 1/2:
m = 1 for slots
m = 2 for asynchronous

### Conclusion
對於衛星使用，插槽將把容量提高兩倍，達到 0.347 。 對於地面無線電，一個好的 FM 接收器將允許進一步提高到全帶寬的 60%。 在這種情況下，延遲只有 8 個數據包時間。 由於異步系統在低速率下也能正常工作，因此顯然不需要在信道利用率非常低的情況下使用時隙。
#### Flowchart
##### Satellite Delay
##### Slot-ALOHA
##### sigma vs. gamma

#### ALOHA SLOT PACKET SYSTEM
Maximum Channel Utilization vs. FM Capture Ratio for evenly populated area around station
#### SATELLITE DELAY
Asynchronous and Slot Systems for 50 KB Using 1400 Bit Packets
#### ALOHA SLOT SYSTEM
Ground Use Delay for 1400 Bits/50 KB
#### ALOHA SLOT SYSTEM σ vs. γ
For Capture Ratios from 0 = ∞

> [Source Code](https://colab.research.google.com/drive/1_uwA6vpfbZZWdB4gU014M6mCTNN--_TO#scrollTo=jr3x4uC4o6Pc)