# Modeling and Estimation of One-Shot Random Access for Finite-User Multichannel Slotted ALOHA Systems
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[TOC]
## Introduction

* <font color=blue>Bernoulli distribution</font>
伯努利分布（英語：Bernoulli distBernoulli distributionribution），又名兩點分布或是0-1分布，是一個離散型機率分布。若伯努利試驗成功，則伯努利隨機變數取值為1。若伯努利試驗失敗，則伯努利隨機變數取值為0。記其成功機率為，失敗機率為。

* <font color=blue>Poisson distribution</font>
卜瓦松分布(英語：Poisson distribution)，與Bernoulli distribution都為離散型機率分布。適合於描述單位時間內隨機事件發生的次數的機率分布。
卜瓦松分布的機率質量函數為:
母數λ是單位時間（或單位面積）內隨機事件的平均發生率。

* <font color=blue>MTC/M2M</font>
- 機器對機器 (M2M)通訊或機器型態通訊 (Machine Type Communication, MTC)是一種不需人類交談(或指令)，包含多個機器設備間直接通訊之新 型態資料通訊，並加強群體移動性、快速認證與安全性、佈建彈性、網路擁塞控制與新 型態計費能力等新的功能。
- 機器對機器通訊(Machine-to-Machine Communication, M2M Communication)有別於傳統人對人(Human-to-Human, H2H)通訊模式，MTC 通訊具備幾項特徵，例如：較低的資料傳輸量、較低的移動性、極低的電耗量，及非經常性資料傳輸等。
- 這些設備可以使用有線或無線數據傳輸相互通信，尤其是無線 M2M 隨著大量物聯網 (IoT) 應用的加入而成為一個不斷發展的領域。

* <font color=blue>Group paging</font>
機器類通信通常涉及大量的 MTC 設備，以支持廣泛的應用，例如計量、道路安全和消費電子設備。海量設備同時接入無線網絡可能導致現有的人對人 (H2H) 通信服務有過長的延遲、大量丟包甚至服務無法使用。
Group paging是一種用於限制 MTC 流量強度的解決方案之一，在呼叫Group paging中，基站發送尋呼消息以激活大量設備同時接入網絡。除非被尋呼，否則不允許設備向網絡傳輸消息。被尋呼的設備應該遵循標準的隨機訪問過程來訪問網絡，失敗的設備應該再次執行隨機訪問過程來訪問網絡，直到達到重試限制。

* <font color=blue>Group Random Access(GRA)</font>
Group paging機制就類似於GRA，它在每個時間段內為一組用戶保留特定的slote，以便在隨機訪問的基礎上傳輸他們的封包。

* <font color=blue>Random Access</font>
隨機存取，代表同意時間存取一組序列中的一個隨意元件。
 <= 比較隨機存取（下）及循序存取（上）

就似比較一軸古代畫卷（循序︰所有在元件之前的物料必須事先捲開）及一本圖書（隨機︰可以隨時翻至任何一頁）。

* <font color=blue>Fast Retrial Algorithm(FRA)</font>
快速重接入算法，是S-ALOHA在多信道情況下的一種延伸：多個站點隨機選擇信道接入，如果接入不成功(主要是由於數據包衝突造成)，則站點重新選擇信道進行接入，而不是像傳統
的接入那樣只是後退一個隨機時間後再接入。

這項工作考慮了在多通道時隙 Aloha 系統中執行隨機訪問的固定數量的設備有M個。 在該系統中，時間被劃分為固定長度的「訪問周期」。每個訪問周期包含 N 個 RAO(Random Access Opportunity)。
## One-shot Random Access
:::success
* ${M}$
* 競爭設備數量
* ${N_{i}}$
* 第${i}$個access cycle(訪問週期)保留的RAO數量。
* ${N_{S,i}}$
* 第${i}$個訪問週期結束時觀察到的成功RAO數量
* ${N_{C,i}}$
* 第${i}$個訪問週期結束時觀察到的碰撞RAO數量
* ${P_{k}}$
* 有${M}$個設備隨機訪問。在第一個訪問週期中有${N_{i}}$個RAO的數量，其中發生${k}$個碰撞的可能性(機率)
* ${P_{k}(M,N_{C,1})}$等於將${M}$個球放入${N_{i}}$個箱子且${k}$個箱子中至少有2個球${(i_{j}≥2}$ for ${1≤j≤k)}$，其餘箱子中有0~1個球的可能性，推算出來則為

* ${C^n_{k}}$
* 是只有n個元素中取k個組合的機率值
* ${N_{C,1}}$
* 至少有2個球(RAO發生碰撞)的箱子期望值

* ${N_{S,1}}$
* 只有1個球(RAO成功隨機存取)的箱子期望值
:::
在方程式(1)-(3) 是基於${M}$是整數的假設推導出來的。然而，每個訪問周期中競爭設備的平均數量，即 ${N_{C,1}}$可能並不一直都是整數。但因計算複雜度相當高，不是用於MTC隨機接入資源的動態管理。因此需要找到近似公式來推倒後續的訪問週期的${N_{S,1}}$和${N_{C,1}}$，即${i≥2}$

${M}$個裝置(ex:UE,IoT)在一個連續時間是時間單位的隨機接入slot中競爭${N_{1}}$個RAO的一個系統，它相當於一個系統中有${N_{1}}$個mini slot，每個mini slot包含一個RAO，持續時間為${\frac{1}{N_{1}}}$個時間單位。

因此，我們使用 slotted ALOHA系統，在一個時間單位內具有 ${M}$個設備的Poisson distribution，slot持續時間為 ${\frac{1}{N_{1}}}$ 個時間單位，以近似${M}$個設備在一次性隨機訪問中競爭${N_{1}}$個 RAO 的情況。

在一個時間單位內觀察到的單次隨機訪問的平均成功 RAO 數等於一個 mini slot 的成功概率乘以${N_{1}}$。 mini slot 的成功概率是在 ${\frac{1}{N_{1}}}$（即${\frac{M}{N_{1}}e^{-{M\over N_{1}}}}$）的時間段內只有一個設備傳輸的概率。 因此，方程(3)可以近似為
${N_{S,1}=Me^{-{M\over N_{1}}}.{\hbox{(4)}}}$

在一個時間單位內觀察到的單次隨機訪問的平均衝突 RAO 數等於${N_{1}}$減去空閒 RAO 和成功 RAO 的總和。 空閒RAO的平均數量等於${N_{1}}$乘以一個小時隙的空閒概率（即${N_{1}e^{-{M\over N_{1}}}}$。 因此，方程(2) 可以近似為
${N_{C,1}=N_{1}-Me^{-{M\over N_{1}}}-N_{1}e^{-{M\over N_{1}}}.{\hbox{(5)}}}$

需要注意的是，one-shot隨機接入的平均成功設備數等於成功RAO的平均數。 因此，我們可以使用方程（4）來估計目標觀察間隔內每個訪問周期中競爭設備的數量，這有助於我們研究隨機訪問信道的瞬態行為。

本研究室要我們將演示如何使用近似公式來推導簡化組尋呼的訪問成功概率、平均訪問延遲和衝突概率等數值。
## Flowchart
### ${N_{C,1},N_{S,1}}$
### Whithout Performance Metric
### With Performance Metric

## Num Results
[Source code](https://colab.research.google.com/drive/1oQLPfIaWeE3j-1aowaCm_9H8izL2lclc?usp=sharing)
### figure 1

### figure 2

### figure 3

### figure 4

### figure 5