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title: 數學考題重點

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# 數學考題重點

## 觀念部分

### 1. 單位換算

普通的換算應該是沒有問題，但是單位是複合的時候（像是速度：公尺／秒、公里／小時等等），要注意換算到分母還是分子。

這種換算可以把單位想成分數，例如：
$$720公尺/分=720\times\frac{1 公尺}{1分鐘}=720\times\frac{\frac{1}{1000}公里}{\frac{1}{60}小時}=43.2公里/小時$$

### 2. 根號

平方的相反就是根號，$2^2$ 是 4，4 開根號就是 2。
值得留意的地方是：由於所有數平方後都是正數（因為正$\times$正$=$正，負$\times$負$=$正），所以被開根號的數只能是正數。（像是 $\sqrt{-1}$ 就沒有解）

### 3. 邊長、面積、體積

只要確定三個角的度數，邊長的比例就一定會成比例關係，有一些特殊三角形的邊長和角度比剛好可以寫成漂亮的數字，如下：
![](https://i.imgur.com/BrcmU5s.png)
（3/4/5、5/12/13 的三角形的角度並非整數，實際上是幾度也不太重要）

圓面積公式：半徑平方$\times\pi$
圓周長公式：直徑$\times\pi$
柱體體積公式：底面積$\times$高

（做這些題目的時候，常常需要自己將題目給的圖形拆解［像是 105 15 題］，這時候，除了**等距**、**成比例**等關鍵字，也可以看看怎麼拆可以拆出這些我們已知的特殊三角形。）

面積的題目有時候會需要用扣的，例如 110 的第 6 題，利用大圖形減去小圖形面積，算出最終的不規則圖形的面積。

### 4. 函數

函數的概念很簡單，每個函數就像是一台機器，像是平方這個函數，我們可以寫成 $y=x^2$ ，意思就是，我們輸入 x 值，得到的 y 就是 x 的平方。例如我們讓 x=2，就輸出 y=4。

#### 4.1 一元一次方程式

最簡單的那種。只要注意等量公理（等號左邊做什麼，右邊就得同時做什麼），就不會出什麼錯了。

x+2=5，我們可以把左式的 +2，移到右式變 -2，這時兩式**同時 -2** 這個就是等量公理。

| 消除左式的... | 兩式可以同時...|
| ------------- | ----------------- |
| +n            | -n                |
| $\times$n     | $\div$n           |
|  $(左式)^2$             |   開根號                |

*平方的話，左式必須是整個東西括號起來平方，等量公理才成立。

#### 4.2 一元二次方程式

如 110 第 21 題的 $x^2+4x+k=2$，這就是一個一元二次方程式。（註：k 他是有特定的值的，跟 x y 不一樣，在這裡不是一個變數。）

這類方程式化成圖形會變成**拋物線**的形狀，曲線和 x 軸交集的地方，就是可能的 x 值，總共可能出現三種結果：


| 和 x 軸焦點數量 | 意義                              |
| --------------- | --------------------------------- |
| 0               | 沒有實數的 x 解                   |
| 1               | 實數解的兩個 x 值是重複的（重根） |
| 2               | 兩個不同的實數 x 解               |


![](https://i.imgur.com/YYI0KtW.png)
^ 當 k = 6，有一個解 x = -2
<BR>
![](https://i.imgur.com/240iU2I.png)
^ 當 k = 4，有兩個解，分別是 -0.??? 和 -3.??? 的數字，也就是和 x 軸交道的那個點。
<BR>
![](https://i.imgur.com/cSPJpMz.png)
^ 當 k = 8，沒有實數解，因為和 x 軸沒有交集。

### 5. 其他主題（比較雜的方法／題型，放一些我曾經在課堂內提到的部分）

#### 5.1 比較係數（110年 第18題）

首先，係數指的是**變數的倍數**，不一定要是整數倍。例如 $2x^2$、$\pi x^3$、$\frac{\sqrt{x}}{2}$ 的 **2、$\pi$、$\frac{1}{2}$** 都是係數。不過一般題目頂多會用到分數的係數，所以不用太擔心。

比較係數的規則很簡單，應用卻很廣。

最簡單的類型是： $2x=ax$，很顯然的，我們知道 a=2。

再看看這種題型： $3x^3-5x^2+1=ax^3+bx^2+cx+d$；
乍看之下感覺很複雜，但其實規則還是一樣：**同樣的變數等級，對應同樣的係數**。如 $x^3$ 這一項，左邊係數是 3，右邊是 a，故 a=3；
同理、b=-5、c=0（觀察左式，並沒有 x 項）、d（我們叫他常數項）=1。

比較難的題型如 110 年的第 18 題： 
![](https://i.imgur.com/soaLZvS.png)

步驟如下：
1. 先通分，把所有分母都換成一樣的，這樣才能做分子的加減：
$\frac{2x+11}{(x-2)^2}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{(x-2)^2}$
$\Rightarrow \frac{2x+11}{(x-2)^2}=\frac{A(x-2)}{(x-2)^2}+\frac{B}{(x-2)^2}$ （將 $\frac{A}{x-2}$ 上下乘以 x-2 以通分）

2. 接著只看分子（因為我們把分母調成一樣了），把括號拆開後，再分類誰是 x 項、誰是常數項，這時候就可以解聯立方程式，得到 A 和 B。
$\Rightarrow 2x+11=Ax-2A+B; A=2, B=15$ 

#### 5.2 算幾不等式

全部內容就圍繞在一個式子：$\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}$

![](https://i.imgur.com/LJLNJoY.png)

以題目 109-5 來看，要做的事就是先確定誰當 a 誰當 b ，這題的話，我會想讓 x=a；2y=b，這樣才能用 $\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}$ 湊出 x+2y。

算式：
> $\frac{x+2y}{2}\geq\sqrt{2xy}$
> $\Rightarrow \frac{1}{2}\geq\sqrt{2xy}$
> $\Rightarrow \frac{1}{4}\geq2xy$
> $\Rightarrow \frac{1}{8}\geq xy$

***我後來發現這一題用算幾不等式不好解，應該要用另外一個：柯西不等式，但這個就更複雜了，你有機會想知道的話我再解釋XDDD（所以我就先介紹算幾不等式，就先不算完這題了。

#### 5.3 $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

常應用的地方就是像是 109-6 這種**很靠近整數的數字平方**，要是問比較遠離整數的（像 $77^2$），就直接算出來就好，用這個可能也不會比較快。

#### 5.4 循環小數換成分數

1. 點後直接循環

$0.\overline{83}=0.838383...$

> Let $0.\overline{83} = x$
> Then $100x=83.\overline{83}$
> 100x-x=99x=83.838383...-0.838383...=83
> $x=\frac{83}{99}$

2. 點後過幾個數字才循環

$2.3\overline{18}=2.3181818...$

> Let $2.3\overline{18}=x$
> Then $10x=23.\overline{18}$、$1000x=2318.\overline{18}$
> 1000x-10x=990x=2318.181818...-23.181818...=2295
> $x=\frac{2295}{990}=\frac{51}{22}$ （剛好可以約分，就約分）


## 解題部分

幾次的解題後看下來，我發現大部分年度的考卷都是前面比較簡單，但題型也比較活，像是小學的數學題；而後半段則是相反。這樣的情況我的建議是可以先把前面的算完，後面的如果真的是沒看過的名詞，就不要話太多時間在他身上，反而可以多花時間驗算前面會的部分。尤其是像數數字、種樹題目、填數字（舉例像是：110-1、110-2、110-17、、105-7、105-19...等的這種**不是列列式就馬上立竿見影的題目**，我還是建議有時間可以回頭看，尤其是因為這些題目多半不難，但是很容易會出錯或是突然有個點卡住。

下面我羅列幾個我自己蠻喜歡使用的方法，雖然對考試沒有直接幫助，但大部分時候還是好用的：

### 1. 畫圖

畫圖一直都是最土法煉鋼的捷徑之一（文法很怪XD），因為是最容易、大家也都用過的方法，但再算像是 105-8 這種題目時，就特別適合。

直接舉 105-8 為例，七層可能太難畫了，我先試畫 3 層，大概會長這樣：
![](https://i.imgur.com/lE6riFn.png)
（我畫得有點隨便，但是考試時的確也沒時間畫精緻的圖）

圖像化之後就可以很明顯地看到是：1+2+4+...
於是我們可以推斷出**每一層的數量是上一層的兩倍時，倍數關係會是1、2、4、8...**。

接下來如果要算完就需要第二種方法：

### 2. 簡化

顯然題目給的線索是總共的數量，然而我們只有每層數量的關係，我們這時候就可以將題目簡化：即使我們知道第一層不一定只有一個，但設為一個的話，我們只需要算：**1+2+4+8+16+32+64**，是所有可能裡面最簡單的。

算出來等於 127，雖然不是題目所給的 635，但我們可以觀察**倍數關係**。畢竟上下層的倍數是不會變的，要是我們第一層放兩個，我們寫成 2\*1 個，納第二層會是 2\*2 個、然後 2\*4 個...以此類推。

$635\div127=5$，我們能知道我們的簡化範例和實際題目差了五倍，那麼我們簡化版的第七層是 64 個，題目就是 64*5 個了。

