# Nhóm - Một số tính chất quan trọng của nhóm
## 1. Nhóm(Group) là gì?
- Nhóm(Group) là một trong những thành phần quan trọng trong cấu trúc đại số. Một nhóm là một bộ $(G, * )$ gồm tập hợp $G$ các phần tử và một phép toán 2 ngôi $*$

## 2. Các tính chất của nhóm:
- $\forall a,b,c \in G, (a*b)*c = a*(b*c)$($*$ có tính chất kết hợp)
- $\forall a \in G, \exists e \in G: a*e = e*a = a$($e$ được gọi là phần tử đơn vị)
- $\forall a \in G, \exists a^{-1} \in G: a*a^{-1}=a^{-1}*a=e$($a^{-1}$ được gọi là phần tử nghịch đảo của $a$)
- $\forall a,b \in G: a*b = b*a$($*$ có tính giao hoán, tính chất này không bắt buộc, nếu $*$ có tính giao hoán thì nhóm sẽ được gọi là nhóm giao hoán hay nhóm Abel - Abelian Group)
- Ví dụ:

- Nhóm cộng $Z^{+}_{10} = \text{{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}}$ với phép toán là $+$, phần tử đơn vị là $0$, nghịch đảo của $3$ là $-3$ và là nhóm giao hoán
- Nhóm nhân $Z^{*}_{10} = \text{{1,3,7,9}}$ gồm các phần tử có nghịch đảo trong $Z_{10}$, phần tử đơn vị là $1$
- $(Q,+)$ với $Q$ là tập các số hữu tỉ, là một nhóm giao hoán
- Tập hợp gồm tất cả các ma trận $n \times n$ với các entry là số hữu tỉ và có định thức khác $0$, thành lập một nhóm không giao hoán dưới phép nhân ma trận

- Bậc của một phần tử $a$ là số $n$ nhỏ nhất sao cho: $\underbrace{a*...*a}_{\text{n lần}} = e$, ký hiệu là $ord(a)$. Bậc của một nhóm là số phần tử của nhóm đó, kí hiệu là $|G|$, lưu ý: $ord(a) \mid |G|$
- Nhóm con:

- Cho $(G,*)$ là một nhóm, $H$ là nhóm con của $G$ khi $\forall a,b \in H, a*b \in H ; \forall a \in H, a^{-1} \in H$
- Ví dụ: Một nhón con của $Z^{+}_{10}$ là $\text{{0,2,4,6,8}}$ là nhóm con sinh bởi $2$. Bậc của nhóm con sinh bởi $2$ là $5$, bằng với $ord(2) = 5(2+2+2+2+2 = 0 \pmod{10})$

- Nhóm Cyclic:

- Cho $(G,*)$ là một nhóm
- $\exists g \in G: ord(g) = |G|$ thì $G$ được gọi là nhóm cyclic, phần tử $g$ đó được gọi là phần tử sinh (generator) hoặc là phần tử nguyên thủy (primitive root)
- phần tử $g \in G$ được gọi là phần tử sinh vì $\forall a \in G$ có thể được viết dưới dạng $g^{i} = a, i \in \text{{1,2,...,|G|}}$
- Ví dụ: Xét nhóm nhân $Z^{*}_{11} = \text{{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}}$ và phần tử sinh $g = 2$, ta nhận thấy rằng: $ord(2) = 10 = |Z^{*}_{11}|$ và nhóm nhân sinh bởi 2 là $\{2^{1},2^{2},2^{3},2^{4},2^{5},2^{6},2^{7},2^{8},2^{9},2^{10}\} = \{2,4,8,5,10,9,7,3,6,1\} = Z^{*}_{11}$