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###### tags: `tgirc早修book`

# 浮點數

在程式設計中，小數被稱作浮點數

## 浮點數的表示方式

c++ 中的浮點數有兩種表示方式：<font color="F5F6B6">十進位小數</font> 與 <font color="F5F6B6">指數</font>

### 十進位小數

一般常見的表示方式，是直接利用小數點來表示一個浮點數：

3.14159
48.763

像這樣，與平常寫數學的書寫方式非常相似。

### 指數

指數表示法概念類似 *科學記號* ：

2.5e-5

上面的範例中， `2.5e-5` 就等於 $2.5 \times 10^{-5}$ 。
`e`後方的整數表示 10 的次方數。

### 整數表示為浮點數

如果要將一個整數以浮點數型態表示，可以直接在整數後加上一個小數點 `.` 。

#include <iostream>
#include <iomanip>
using namespace std;

int main()
{
    cout << "integer: " << 2434  / 5  << "\n";
    cout << "float: "   << 2434. / 5. ;
}

輸出結果：

integer: 486
float: 486.8 

## float 與 double

要使用浮點數的話，可以用以下方式宣告一個 `float` 型態的變數：

float f = 3.14159;

而其餘加減乘除等運算方式，則與整數操作無異。

除了使用 `float` 之外，也可以使用 `double` 或 `long double` 來宣告：

double d = 3.14159;
long double ld = 3.14159;

`double` 除了能儲存比 `float` 更大範圍的數字外，精確度也會比較佳。

## setprecision

如果今天要輸出 2434 / 7 ，很明顯的這會是一個無限循環小數。

cout << 2434. / 7. ;

輸出如下：

347.714

c++預設輸出至四捨五入共六位有效位數，所以雖然 `2434 / 7` 的結果是 `347.714285714285...` ，但只會顯示為 `347.714`

如果我們想要輸出到指定位數，可以這樣寫：

#include <iostream>
#include <iomanip>
using namespace std;

int main()
{
    cout << fixed << setprecision(9) << 2434. / 7. ;
}

如上，先引入 `<iomanip>` 函式庫，然後使用 `setprecision()` 來設定位數。

輸出如下：

347.714285714

需要注意的是， `setprecision()` 的效果，會持續影響到後面的所有 `cout` 。
如果需要輸出不同位數，那就必須重新再設定一次 `setprecision()`。

## 浮點數誤差

如果使用 `float` 來儲存一個很長的浮點數，然後把它輸出看看，如下：

float f = 3.333333333333333;
cout << fixed << setprecision(15) << f;

輸出如下：

3.333333253860474

可以發現，除了整數部分與小數點後六位的這七位，其他的則與原本的值不一樣。

這就是所謂的 *浮點數誤差* ，一個浮點數在固定位數之後就會與原本的值不一樣而產生誤差。

前面提到過的 `double` 比 `float` 準確，指的就是 `double` 可以儲存的準確位數比較多，要到更多位時才會產生浮點誤差。

各型態可以儲存的範圍如下：

| | float | double | long double |
| ---------- | ---------------------- | ------------------------ | -------------------------- |
| 有效位數 | 6~7 | 15~16 | 18~19 |
| 可儲存範圍 | $10^{-37}$ ~ $10^{38}$ | $10^{-307}$ ~ $10^{308}$ | $10^{-4931}$ ~ $10^{4932}$ |

要處理浮點數誤差，可以在浮點數後，加上一個非常小的數字，讓太小的數字進位，同時又不至於影響原本的數值。

float f = 4.8763 + 1e-8; // 10^-8
cout << fixed << setprecision(4) << f;

`pow()` , `sqrt()` 這些 `<cmath>` 中的函式，很多也是以浮點數來呈現結果的，所以也需要處理浮點數誤差。

cout << pow(2, 8) + 1e-8;
//加上 1e-8 以處理 pow() 產生的浮點誤差