# 集合論
###### tags: `數學` `數學基礎`

[TOC]

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為著減輕網頁的負擔，「記號」以外的部分盡量攏袂使用 LaTeX。
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## 集合
| 台漢 | 台羅 | 華語 | 英語 | 日語 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 集合論 | tsi̍p-ha̍p-lūn | 集合論 | set theory | 集合論 |
| 集合 | tsi̍p-ha̍p | 集合 | set | 集合 |
| 空集合 | khang-tsi̍p-ha̍p | 空集合 | empty set | 空集合 |
| | | 列舉法 | roster notation <br> enumeration notation | 外延的記法 |
| | | 描述法 | set-builder notation | 内包的記法 |

集合的定義方法：
* 列舉法：$A = \{ 2, 3, 4, 5 \}$
* 描述法：$A = \{ x\in\mathbb{Z} \mid 2 \le x \le 5 \}$

| 記號 | 台語 | 華語 | 英語 |
| --- | --- | --- | --- |
| $\varnothing$ | 空集合 | 空集合 | empty set |
| $A=\varnothing$ | A 是空集合 | A 是空集合 | A is an empty set |
| :point_up: | A 是空-\-兮 | A 為空 | A is empty |

### 元素
| 台漢 | 台羅 | 華語 | 英語 | 日語 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 元素 | guân-sòo | 元素 | element <br> member | 元 <br> 要素 |
| 屬於關係 | sio̍k-î kuan‑hē | 屬於關係 | membership | 帰属関係 |
| 屬於 | sio̍k-î | 屬於 | belong to | 〜に属す |

| 記號 | 台語 | 華語 | 英語 |
| --- | --- | --- | --- |
| $x \in A$ | x 是 A 的元素 | x 是 A 的元素 | x is an element of A |
| :point_up: | x 屬於 A | x 屬於 A | x belongs to A |
| :point_up: | x 佇 A 內底 | x 在 A 中 | x is in A |

:::info
咱嘛會用「$\in$」來說明咱講著的元素是佇佗一个集合內底。按呢使用干焦是補充爾爾，彼句話的主角猶原是原本欲討論的物件。比論講，「有一个 $n \in \mathbb{N}$ 的平方是 $4$」。
:::

### 子集合
| 台漢 | 台羅 | 華語 | 英語 | 日語 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| ==子==集合 | tsú-tsi̍p-ha̍p | 子集（合） | subset | 部分集合 |
| 真==子==集合 | tsin tsú-tsi̍p-ha̍p | 真子集 | proper subset | 真部分集合 <br> 狭義の部分集合 |
| 母集合 | bú-tsi̍p-ha̍p | 超集 <br> 母集 | superset | 上位集合 |
| 含 | kânn | 包含關係 | inclusion <br> containment | 包含関係 |
| 含佇 | kânn tī | 包含於 | be contained in |

> 含 kânn：[ChhoeTaigi 找台語](https://chhoe.taigi.info/KauiokpooTaigiSutian/2973)

| 記號 | 台語 | 華語 | 英語 |
| --- | --- | --- | --- |
| $A \subseteq B$、$B \supseteq A$ | A 是 B 的==子==集合 | A 是 B 的子集 | A is a subset of B |
| :point_up: | B 是 A 的==母==集合 | B 是 A 的超集 | B is a superset of A |
| :point_up: | A 含佇 B 的內底 | A 包含於 B | A is contained in B |
| :point_up: | B 共 A 包起來 | B 包含 A | B contains A |
| $A \subsetneq B$、$B \supsetneq A$ | A 是 B 的真==子==集合 | A 是 B 的真子集 | A is a proper subset of B |

「$\subset$」的意思無固定，有的冊是代表「子集合」、有的是「真子集合」，若看著這个記號就愛加注意。

:::info
咱嘛會用「$\subseteq$」來說明咱講著的集合是含佇佗一个集合內底。按呢使用干焦是補充爾爾，彼句話的主角猶原是原本欲討論的物件。比論講，「素數集合 $\mathbb{P} \subseteq \mathbb{N}$ 內底上細的數是 $2$」。
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### 集合的運算
| 台漢 | 台羅 | 華語 | 英語 | 日語 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 交叉 | kau-tshe | `台` 交集 <br> `中` 交 | intersection | かつ |
| 聯合 | liân-ha̍p | `台` 聯集 <br> `中` 并 | union | または |
| 交叉 | kau-tshe | 交集 | intersection | 共通部分 <br> 積集合 |
| 聯合 | liân-ha̍p | `台` 聯集 <br> `中` 并集 | union | 和集合 |
| 差集 | tsha-tsi̍p | `台` 差集 <br> `中` 相对补集 | (set) difference <br> relative complement | 差集合 <br> 相対補集合 |
| 宇宙集合 | ú-tiū-tsi̍p-ha̍p | `台` 宇集 <br> `中` 全集 | universe | 宇宙 <br> 全体集合 <br> 普遍集合 |
| 補集合 | póo-tsi̍p-ha̍p | `台` 補集 <br> `中` （絕對）补集 | (absolute) complement | （絶対）補集合 |
| | | `台` 互斥聯集 <br>`中` 不交並 | disjoint union | 非交和 |
| | | 序對 | ordered pair | 順序対 |
| 第卡陀積 <br> 直積 | Tē-khah-tô tsik <br> ti̍t-tsik | 笛卡兒積 <br> 直積 | Cartesian product <br> direct product | デカルト積 <br> 直積 |
| 冪集合[^1] | bi̍k-tsi̍p-ha̍p | 冪集 | power set | 冪集合 |

[^1]: https://www.facebook.com/groups/Taigisia/permalink/3530270367050128/

| 記號 | 台語 | 華語 | 英語 |
| --- | --- | --- | --- |
| $A \cap B$ | A 佮 B 的交叉 | A 和 B 的交集 | the intersection of A and B |
| :point_up: | A 交叉 B | `台` A 交集 B <br> `中` A 交 B | A intersection B |
| $A \cup B$ | A 佮 B 的聯合 | `台` A 和 B 的聯集 <br> `中` A 和 B 的并集 | the union of A and B |
| :point_up: | A 聯合 B | `台` A 聯集 B <br> `中` A 并 B | A union B |
| $A \setminus B$ <br> $A - B$ | A 對 B 的差集 | A 對 B 的差集 | the set difference of B and A |
| :point_up: | B 佇 A 內的 相對補集 | B 在 A 中的相對補集 | the relative complement of B in A |
| $A^\complement$ <br> $\overline{A}$ | A 的（絕對）補集 | A 的（絕對）補集 <br> A 的餘集 | the (absolute) complement of A |
| $A \cap B \neq \varnothing$ | A 參 B 有交叉 | A 和 B 相交 | A intersects B <br> A meets B |
| $A \cap B = \varnothing$ | A 參 B 無交叉 | A 和 B 互斥 <br> A 和 B 不相交 | A and B are disjoint |
| $A \sqcup B$ <br> $A \uplus B$ | | A 和 B 的互斥聯集 | the disjoint union of A and B |
| $A \times B$ | A 佮 B 的第卡陀積 | A 和 B 的笛卡兒積 | the Cartesian product of A and B |
| $\mathscr{P}(A)$ | A 的冪集合 | A 的冪集 | the power set of A |

### 集合族
| 台漢 | 台羅 | 華語 | 英語 | 日語 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 集合族 | tsi̍p-ha̍p-tsok | 集（合）族 | family of sets | 集合族 |
| | | 指標 | index | 添字 |
| | | 指標集 | index set | 添字集合 |
| | | 加標族 | indexed family | 添字付けられた族 |

對加標族 $\{ A_i \mid i \in I \}$ 來講，$I$ 是指標集，逐个 $i \in I$ 是指標。

| 記號 | 台語 | 華語 | 英語 |
| --- | --- | --- | --- |
| $\bigcap_{i\in I} A_i$ | {A_i} 的交叉 | {A_i} 的交集 | the the intersection product of {A_i} |
| $\bigcup_{i\in I} A_i$ | {A_i} 的聯合 | {A_i} 的聯集 | the union of {A_i} |
| $\bigsqcup_{i\in I} A_i$ <br> $\biguplus_{i\in I} A_i$ | | {A_i} 的互斥聯集 | the disjoint union of {A_i} |
| $\prod_{i\in I} A_i$ | {A_i} 的第卡陀積 | {A_i} 的笛卡兒積 | the Cartesian product of {A_i} |

嘛會當看著 $\bigcap_{i=0}^n A_i$ 抑是 $\bigcap_{A \in \mathcal{M}} A$ 的寫法（$\mathcal{M}$ 是一个集合族）。

### 特別的集合
下跤的集合定定會用著，人會用特別的字骨來代表，寫出來就通人知矣。

| 記號 | 台漢 | 台羅 | 華語 | 英語 | 日語 |
|:---:| --- | --- | --- | --- | --- |
| $\mathbb N$ | 自然數 | tsū-jiân-sòo | 自然數 | natural numbers | 自然数 |
| $\mathbb Z$ | 整數 | tsíng-sòo | 整數 | integers | 整数 |
| $\mathbb Q$ | ==有比數== | iú-pí-sòo | 有理數 | rational numbers | 有理数 |
| $\mathbb R$ | 實數 | si̍t-sòo | 實數 | real numbers <br> the reals | 実数 |
| $\mathbb C$ | ==複合數== | ho̍k-ha̍p-sòo | 複數 | complex numbers | 複素数 |

遮的記號原底是用較粗的字骨爾爾（有的冊嘛看會著，可比講 $\mathbf N$），是後來欲佇烏枋頂頭寫粗字才有這種雙線的寫法，英文號做「blackboard bold」。

## 關係
| 台漢 | 台羅 | 華語 | 英語 | 日語 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| | | （二元）關係 | (binary) relation | （二項）関係 |
| | | 逆關係 | converse <br> transpose <br> inverse <br> dual <br> opposite <br> reciprocal |
| 合成 | ha̍p-sîng | 合成 | composition | 合成 |

若是 $R \subseteq A \times B$，咱就講 R 是 A 佮 B 的關係；阿若 $(x,y) \in R$，咱嘛會寫做 $x\mathrel{R}y$。
關係定定毋是寫做字母，是寫做別的記號，比論講 $\leq$、$\unlhd$、$\cong$、$\equiv$。

### 性質
| 台漢 | 台羅 | 華語 | 英語 | 日語 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| | | 自反 | reflexive | 反射的 |
| | | 反自反 | irreflexive | 非反射的 |
| 對伨的 | tuì-thīn-tik | 對稱 | symmetric | 対称的 |
| 反對伨的 | huán-tuì-thīn-tik | 反對稱 | antisymmetric | 反対称的 |
| | | 非對稱 | asymmetric | 非対称的 |
| | | 遞移 | transitive | 推移的 |
| | | 完全 | total | 全順序 <br> 完全 |
| | | 三一律 | trichotomous | 三分的 |

* 自反：$x \sim x$
* 反自反：$x \nsim x$
* 對稱：$x \sim y \implies y \sim x$
* 反對稱：$(x \sim y) \land (y \sim x) \implies x = y$
* 非對稱：$x \sim y \implies y \nsim x$
* 遞移：$(x \sim y) \land (y \sim z) \implies x \sim z$
* 完全：$(x \sim y) \lor (y \sim x)$
* 三一律：$x \sim y$、$y \sim x$、$x = y$ 三个干焦一个有

## 等價關係
| 台漢 | 台羅 | 華語 | 英語 | 日語 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| | | 等價關係 | equivalence relation | 同値関係 |
| | | 等價類 | equivalence class | 同値類 |
| | | 商集 | quotient set | 商集合 |
| | | 分割 | partition | 分割 |

| 記號 | 台語 | 華語 | 英語 |
| --- | --- | --- | --- |
| $[x]$ | | x 的等價類 | the equivalence class of x |
| $A / {\sim}$ | | A 除以 ~ 的商集 | the quotient set of A by ~ |
| :point_up: | | A 模 ~ | A modulo ~ |

## 次序關係
| 台漢 | 台羅 | 華語 | 英語 | 日語 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| | | 次序關係 | order (relation) | 順序関係 |
| | | 偏序 | partially order | 半順序 |
| | | 嚴格偏序 | strict partial order | 狭義の半順序 |
| | | 全序 | total order <br> linear order | 全順序 |
| | | 嚴格全序 | strict total order | 狭義の全順序 |

| 關係 | 自反 | 對伨的 | 遞移 |
| --- | --- | --- | --- |
| 偏序 | 自反 | 反對伨的 | :heavy_check_mark: |
| 嚴格偏序 | 反自反 | 反對伨的 | :heavy_check_mark: |
| 全序 | 完全 | 反對伨的 | :heavy_check_mark: |
| 嚴格全序 | （反自反） | 三一律 | :heavy_check_mark: |
| 等價 | 自反 | 對伨的 | :heavy_check_mark: |

### 序集合
| 台漢 | 台羅 | 華語 | 英語 | 日語 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| | | 有序集 | ordered set | 順序集合 |
| | | 偏序集 | partially ordered set <br> poset | 半順序集合 |
| | | 全序集 | total ordered set | 全順序集合 |
| | | 良序集 | well-ordered set | 整列集合 |
| | | 上界 | upper bound | 上界 |
| | | 下界 | lower bound | 下界 |
| | | 最小上界 | least upper bound <br> supremum <br> sup | 最小上界 <br> 上限 |
| | | 最大下界 | greatest lower bound <br> infimum <br> inf | 最大下界 <br> 下限 |
| | | 極大元 | maximal element | 極大元 |
| | | 極小元 | minimal element | 極小元 |
| | | 最大元 | greatest element <br> maximum element | 最大元 |
| | | 最小元 | least element <br> minimum element | 最小元 |

* S 的上界：比 S 內底所有的元素閣較大，無限定是 S 的元素
* S 的最小上界：是 S 的上界，而且無別的 S 的上界比伊閣較細
* S 的極大元：是 S 的元素，而且 S 內底無比伊閣較大的元素
* S 的最大元：是 S 的上界，嘛是 S 的極大元

## 函數

## 勢
| 台漢 | 台羅 | 華語 | 英語 | 日語 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| | | 等勢 | equivalent <br> equipotent <br> equipollent <br> equinumerous | 等濃 <br> 同数 |
| | | 勢 | cardinality | 濃度 <br> カーディナリティ |
| | | 基數 | cardinal (number) |
| | | 阿列夫數 | aleph number | アレフ数 |
| | | 阿列夫零 | aleph-nought <br> aleph-null <br> aleph-zero | アレフ・ノート <br> アレフ・ヌル <br> アレフ・ゼロ |
| | | 康托爾對角線方法 | Cantor's diagonal argument | カントールの対角線論法 |
| | | 有限 | finite <br> enumerable | 有限 |
| | | 無限 | infinite | 無限 |
| | | 可數 | countable <br> at most countable | 可算 <br> 高々可算 |
| | | 可數無限 | countable infinite <br> denumerable | 可算無限 |
| | | 不可數 | uncountable | 非可算 |
| | | 連續統假設 | continuum hypothesis | 連続体仮説 |

| 記號 | 台語 | 華語 | 英語 |
| --- | --- | --- | --- |
| $\|A\|$ <br> $\operatorname{card}(A)$ <br> $\#A$ | | A 的勢 | the cardinality of A |
| $\aleph_0$ | | 阿列夫零 | aleph-nought <br> aleph-null <br> aleph-zero |

$\#A$ 通常是 A 有限的時才會用。