# 邏輯、集合、計數
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[TOC]

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## 邏輯
### 命題
| 台漢 | 台羅 | 華語 | 英語 | 日語 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 邏輯 | lô-tsi̍p | 邏輯 | logic | 論理 |
| | | 命題 <br> 敘述 | proposition <br> statement | 命題 <br> 言明 |
| | | 否定敘述 | negation <br> logical complement | 命題の否定 |
| 真 | tsin | 真 | true | 真 |
| 假 | ké | 假 | false | 偽 |
| | | 連接詞 | connective | 結合子 |
| 而且 | jî-tshiáⁿ | 且 | and | かつ |
| 或者 | he̍k-tsiá | 或 | or | または |
| 竇毛旅間法則 | Tōo Moo-lú-kàn hoat-chek | 笛摩根定律 | De Morgan's laws | ド・モルガンの法則 |

> 笛摩根定律：\\[
> \begin{cases}
> \mathord{\sim}(P \land Q) = \mathord{\sim}P \lor \mathord{\sim}Q\\
> \mathord{\sim}(P \lor Q) = \mathord{\sim}P \land \mathord{\sim}Q\\
> \end{cases}
> \\]

| 記號 | 台語 | 華語 | 英語 |
| --- | --- | --- | --- |
| $\mathord{\sim}P$ | | $P$ 的否定敘述 <br> 非 $P$ | negation of $P$ <br> not $P$ |
| $P \land Q$ | | $P$ 且 $Q$ | $P$ and $Q$ |
| $P \lor Q$ | | $P$ 或 $Q$ | $P$ or $Q$ |

### 條件
| 台漢 | 台羅 | 華語 | 英語 | 日語 |
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| | | 充分條件 | sufficient condition | 十分条件 |
| | | 必要條件 | necessary condition | 必要条件 |
| | | 充分必要條件 | necessary and sufficient condition | 必要十分条件 |
| | | 若且唯若 | if and only if <br> iff | ～のとき、かつそのときに限り |

| 記號 | 台語 | 華語 | 英語 |
| --- | --- | --- | --- |
| $P \implies Q$ | | 若 $P$ 則 $Q$ | if $P$ then $Q$ |
| :point_up: | | $P$ 是 $Q$ 的充分條件 | $P$ is sufficient for $Q$ |
| :point_up: | | $Q$ 是 $P$ 的必要條件 | $Q$ is necessary for $P$ |
| $P \iff Q$ | | $P$ 是 $Q$ 的充分必要條件 <br> $P$ 是 $Q$ 的充要條件 | $P$ is necessary and sufficient for $Q$ |
| :point_up: | | $P$ 若且唯若 $Q$ | $P$ if and only if $Q$ <br> $P$ iff $Q$ |

## 集合
### 集合佮伊的記法
| 台漢 | 台羅 | 華語 | 英語 | 日語 |
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| 集合 | tsi̍p-ha̍p | 集合 | set | 集合 |
| 空集合 | khang-tsi̍p-ha̍p | 空集合 | empty set | 空集合 |
| | | 列舉法 | roster notation <br> enumeration notation | 外延的記法 |
| | | 描述法 | set-builder notation | 内包的記法 |
| 元素 | guân-sòo | 元素 | element | 元 <br> 要素 |
| 屬於關係 | sio̍k-î kuan‑hē | 屬於關係 | membership | 帰属関係 |

> 集合的定義方法：
> * 列舉法：$A = \{ 2, 3, 4, 5 \}$
> * 描述法：$A = \{ x\in\mathbb{Z} \mid 2 \le x \le 5 \}$

| 記號 | 台語 | 華語 | 英語 |
| --- | --- | --- | --- |
| $\varnothing$ | 空集合 | 空集合 | empty set |
| $A=\varnothing$ | $A$ 是空集合 | $A$ 是空集合 | $A$ is an empty set |
| :point_up: | $A$ 是空-\-兮 | $A$ 為空 | $A$ is empty |
| $A\ne\varnothing$ | $A$ 毋是空集合 | $A$ 是非空集合 | $A$ is a nonempty set |
| :point_up: | $A$ 毋是空-\-兮 | $A$ 非空 | $A$ is nonempty |
| $x \in A$ | $x$ 是 $A$ 的元素 | $x$ 是 $A$ 的元素 | $x$ is an element of $A$ |
| :point_up: | $x$ 屬於 $A$ | $x$ 屬於 $A$ | $x$ belongs to $A$ |
| :point_up: | $x$ 佇 $A$ 內底 | $x$ 在 $A$ 中 | $x$ is in $A$ |
| $x \notin A$ | $x$ 毋是 $A$ 的元素 | $x$ 不是 $A$ 的元素 | $x$ is not an element of $A$ |
| :point_up: | $x$ 無屬於 $A$ | $x$ 不屬於 $A$ | $x$ does not belong to $A$ |
| :point_up: | $x$ 無佇 $A$ 內底 | $x$ 不在 $A$ 中 | $x$ is not in $A$ |

### 包含佮子集合
| 台漢 | 台羅 | 華語 | 英語 | 日語 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 含 | kânn | 包含關係 | inclusion <br> containment | 包含関係 |
| ==子==集合 | ==tsú==-tsi̍p-ha̍p | 子集 | subset | 部分集合 |
> 含 kânn：[ChhoeTaigi 找台語](https://chhoe.taigi.info/KauiokpooTaigiSutian/2973)

| 記號 | 台語 | 華語 | 英語 |
| --- | --- | --- | --- |
| $A \subset B$、$B \supset A$ | $A$ 是 $B$ 的==子==集合 | $A$ 是 $B$ 的子集 | $A$ is a subset of $B$ |
| :point_up: | $A$ 含佇 $B$ 的內底 | $A$ 包含於 $B$ | $A$ is contained in $B$ |
| :point_up: | $B$ 共 $A$ 包起來 | $B$ 包含 $A$ | $B$ contains $A$ |
> 抑是寫做 $A \subseteq B$、$B \supseteq A$

### 集合的運算
| 台漢 | 台羅 | 華語 | 英語 | 日語 |
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| | | 文氏圖 | Venn diagram | ベン図 <br> ヴェン図 |
| 交叉 | kau-tshe | `台` 交集 <br> `中` 交 | intersection | かつ |
| 聯合 | liân-ha̍p | `台` 聯集 <br> `中` 并 | union | または |
| 交叉 | kau-tshe | 交集 | intersection | 共通部分 <br> 積集合 |
| 聯合 | liân-ha̍p | `台` 聯集 <br> `中` 并集 | union | 和集合 |
| 差集 | tsha-tsi̍p | `台` 差集 <br> `中` 相对补集 | (set) difference <br> relative complement | 差集合 <br> 相対補集合 |
| 宇宙集合 | ú-tiū-tsi̍p-ha̍p | `台` 宇集 <br> `中` 全集 | universe | 宇宙 <br> 全体集合 <br> 普遍集合 |
| 補集合 | póo-tsi̍p-ha̍p | `台` 補集 <br> `中` （絕對）补集 | (absolute) complement | （絶対）補集合 |

| 記號 | 台語 | 華語 | 英語 |
| --- | --- | --- | --- |
| $A \cap B$ | $A$ 佮 $B$ 的交叉 | $A$ 和 $B$ 的交集 | the intersection of $A$ and $B$ |
| :point_up: | $A$ 交叉 $B$ | `台` $A$ 交集 $B$ <br> `中` $A$ 交 $B$ | $A$ intersection $B$ |
| $A \cup B$ | $A$ 佮 $B$ 的聯合 | `台` $A$ 和 $B$ 的聯集 <br> `中` $A$ 和 $B$ 的并集 | the union of $A$ and $B$ |
| :point_up: | $A$ 聯合 $B$ | `台` $A$ 聯集 $B$ <br> `中` $A$ 并 $B$ | $A$ union $B$ |
| $A - B$ | $A$ 對 $B$ 的差集 | $A$ 對 $B$ 的差集 | the set difference of $B$ and $A$ |
| :point_up: | $B$ 佇 $A$ 內的 相對補集 | $B$ 在 $A$ 中的相對補集 | the relative complement of $B$ in $A$ |
| $A^\complement$ | $A$ 的（絕對）補集 | $A$ 的（絕對）補集 <br> $A$ 的餘集 | the (absolute) complement of $A$ |
| $A \cap B \neq \varnothing$ | $A$ 參 $B$ 有交叉 | $A$ 和 $B$ 相交 | $A$ intersects $B$ <br> $A$ meets $B$ |
| :point_up: | | $A$ 和 $B$ 為相交集 | $A$ and $B$ are intersecting (sets) |
| $A \cap B \neq \varnothing$ | $A$ 參 $B$ 無交叉 | $A$ 和 $B$ 互斥 <br> $A$ 和 $B$ 不相交 |$A$ and $B$ are disjoint |
| :point_up: | | $A$ 和 $B$ 為互斥集合 <br> $A$ 和 $B$ 為不相交集合 | $A$ and $B$ are disjoint sets |

> * $A - B$ 嘛通寫做 $A \setminus B$
> * $A^\complement$ 嘛通寫做 $\overline{A}$ 抑是 $A'$

## 計數
### 計數原理
| 台漢 | 台羅 | 華語 | 英語 | 日語 |
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| 記數 | kì-siàu | 計數 | counting | 数え上げ |
| 記數原理 | kì-siàu guân-lí | 計數原理 | combinatorial principles <br> fundamental counting principles | 組合せ原理 <br> 数え上げの基本原理 |
| | | 窮舉法 | method of exhaustion | |
| | | 樹狀圖 | tree diagram | 樹形図 |
| 加法原理 | ka-huat guân-lí | 加法原理 | addition principle <br> rule of sum | 和の法則 |
| 乘法原理 | sîng-huat guân-lí | 乘法原理 | multiplication principle <br> rule of product | 積の法則 |
| | | 取捨原理 <br> 排容原理 | inclusion-exclusion principle | 包除原理 |

### 排列組合
| 台漢 | 台羅 | 華語 | 英語 | 日語 |
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| 排列 | pâi-lia̍t | 排列 | permutation <br> variation <br> arrangement | 順列 |
| 組合 | tsoo-ha̍p | 組合 | combination | 組み合わせ |
| 階乘 | kai-sîng | 階乘 | factorial | 階乗 |
| 排列數 | pâi-lia̍t-sóo | 排列數 | number of permutations <br> number of variations | 順列の総数 |
| 組合數 | tsoo-ha̍p-sóo | 組合數 | number of combinations | 組み合わせの数 |
| | | 不盡相異物的排列 | permutations with repetition <br> permutations of multisets | | |
| | | 重複排列 | variations with repetition | 繰り返しを許した順列 |
| | | 二項式定理 <br> 二項展開式 | binomial theorem <br> binomial expansion | 二項定理 <br> 二項展開 |

| 記號 | 台語 | 華語 | 英語 |
| --- | --- | --- | --- |
| $n!$ | | $n$ 階乘 | $n$ factorial |
| $P^n_k$ | | $P$ $n$ 取 $k$ | $n$ permute $k$ |
| $C^n_k$ | | $C$ $n$ 取 $k$ | $n$ choose $k$ |