函數佮微積分的基礎

tags: 數學 初等數學
目錄

初等函數的類別

基本

台漢 台羅 華語 英語 日語
f(x)=c
常數函數 siông-sòo hâm-sòo 常(數)函數 constant function 定数関数
f(x)=xa
冪函數 bi̍k hâm-sòo 冪函數 power function 冪関数
f(x)=ax
指數函數 tsí-sòo hâm-sòo 指數函數 exponential function 指数関数
f(x)=loga(x)
對數函數 tuì-sòo hâm-sòo 對數函數 logarithmic function 対数関数
f(x)=sinx
三角函數 sann-kak hâm-sòo 三角函數 trigonometric functions 三角関数
f(x)=arcsinx
三角函數 sann-kak hâm-sòo 反三角函數 inverse trigonometric functions 逆三角関数

組合

台漢 台羅 華語 英語 日語
f(x)=k=1nakxk
多項式函數 to-hāng-sik hâm-sòo 多項式函數 polynomial functions 多項式函数
f(x)=P(x)Q(x)
有比函數 iú-pí hâm-sòo 有理函數 rational function 有理関数
f(x)=sinhx
雙曲函數 sann-kak hâm-sòo 雙曲函數 hyperbolic functions 双曲線関数
f(x)=arcsinh x
雙曲函數 gi̍k-sann-kak hâm-sòo 反雙曲函數 inverse hyperbolic functions 逆双曲線関数

區間

台漢 台羅 華語 英語 日語
端點
尾溜
tuan-tiám
bué-liu
端點 endpoint 端点
開區間 khui-khu-kan 開區間 open interval 開区間
閉區間
區間
pì-khu-kan
bâ-khu-kan
閉區間 closed interval 閉区間
半開區間 puànn-khui khu-kan 半開區間 half-open interval 半開区間
有界區間 iú-kài khu-kan 有界區間 bounded interval 有界区間
無界區間 bû-kài khu-kan 無界區間 unbounded interval 非有界区間
退化區間 thè-huà khu-kan 退化區間 degenerate interval 退化区間
真區間 tsin-khu-kan 真區間 proper interval 真の区間
内部 lāi-pōo 内部 interior 内部
閉包 pì-pau 閉包 closure 閉包
  1. (a,b)={x|a<x<b}
  2. [a,b]={x|axb}
  3. (a,b]={x|a<xb}
  4. [a,b)={x|ax<b}
  5. [a,)={x|xa}
  6. (a,)={x|x>a}
  7. (,b)={x|x<b}
  8. (,b]={x|xb}
  9. (,)={x|xR}

函數佮MAPPING

未來愛徙去【數學基礎/集合論】
@YuRen-tw

數學式 台語 華語 英語
f(x)
f
of
x
f
of
x
f
of
x

the image of
x
under
f
f:AB
f
A
送到
B

f
是從
A
(映射)到
B
的函數
f
is a map from
A
to
B

f
(is a function that) maps
A
to
B
xy
x
送到
y
x
送到
y

x
映射到
y
x
maps to
y

y
is the image of
x
f:xy
x
經由
f
映射到
y
y
is the image of
x
under a mapping
f
f[A]
A
f
之下的像
image of
A
under
f
f1[B]
B
f
之下的原像
B
f
之下的反像
preimage of
B
under
f

inverse image of
B
under
f
f1
f
的反函數
inverse (function) of
f
f:XY
台語 華語 英語 日語 德語
domf=X
定義域 domain ていいき
いき
Definitionsmenge
codomf=Y
對應域
陪域
codomain しゅういき Zielmenge
rangef=f[X]
值域
range
image
いき
ぞう
Bildmenge
Bild
台語 華語 英語 日語
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單射
嵌射
一對一函數
injection
injective function
one-to-one function
単射たんしゃ
一対一の関数
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滿射
蓋射
映成函數
surjection
surjective function
onto function
全射ぜんしゃ
上への関数
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對射
雙射
一對一且映成函數
一一對應
bijection
bijective function
one-to-one and onto function
one-to-one correspondence
全単射ぜんたんしゃ
一対一上への関数

函數的合成

常數函數、冪函數、多項式函數

簡單講,常數函數是一種數值袂發生改變的函數。譬論講

f(x)=4
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多項式函數就是下跤按呢款的函數:

P(x)=k=0nakxk=amxm+am1xm1++a1x+a0,nN{0}

詞彙

台漢 台羅 華語 英語 日語
簡化 kán-huà 化簡 reduce, simplify
整理 tsíng-lí 整理、重組 rearrange
因式分拆 in-sik pun-thiah 因式分解 factorize 因式分解
分拆 pun-thiah 分解 decompose
可約 khó-iok 可約 reducilbe 可約
既約 kì-iok 不可約 irreducible 既約
既約多項式 kì-iok to-hāng-sik 不可約多項式
質式
irreducible polynomial 既約多項式
因式定理 factor theorem 因数定理
餘式定理 remaider theorem 剰余の定理
除法原理 除法の原理
牛頓插值法 Newton interpolating polynomial ニュートン補間多項式
拉格朗日插值法 Lagrange interpolating polynomial ラグランジュ補間多項式
最大公因式
最小公倍式
多項式方程式
多項式不等式

有比函數(毋是高中範圍)

有比函數就是下跤按呢款的函數:

f(x)=amxm+am1xm1++a1x+a0bnxn+bn1xn1++b1x+b0=Pm(x)Qn(x),m,nN{0},Qn(x)0

部份份式分拆

部份份式分拆(partial fraction decomposition)是一種撇步,會使共有比函數拆做按呢:

f(x)g(x)=p(x)+kckhk(x) 其中
f
g
p
fk
gk
全部攏是多項式函數,對逐个
k
gk
攏是既約多項式的冪乘,而且
deggk>degfk

指數函數

數學式 唸法 備註
2x
兩冪乘
x
ex
e
冪乘
x
exp(x)
exponential of
x
eiθ
e
冪乘
iθ
物理上的相位因子
eiπ=1
e
冪乘
iπ
平平負一
烏伊拉的恆等式

對數函數

數學式 台語 華語 英語
logx
x
的對數
x
的對數
log x
log10x
x
10
的對數
10
為底
x
的對數
logax
x
a
的對數
a
為底
x
的對數
log(1x)
lnx
l n x

ln 按怎唸?(英語)

有關三角函數、逆三角函數、雙曲函數、逆雙曲函數的說明

唸數學式的時,着照英語的呼音唸。譬論講看着

sinx,講「
sinx
」就好,毋免講「
x
的正弦」,有一寡狀況例外:

  • 欲強調
    sin
    是一个函數,所以特別講「正弦函數」。
  • 函數的引數(argument)傷複雜--矣,而且後壁閣有綴別項,譬論講
    sin(2+lnx3)+12
    ,會使唸做「根號兩 加
    x
    立方 over 三 規个的正弦 閣共兩份一」。(好佳哉這種複雜的物件真罕得出現!)

文白音

  • 正 tsiànn, tsìng
  • 餘 î, û

別名

  • 逆~ = 反~
  • 正切 = 正接 = 正磕
  • 餘切 = 餘接 = 餘磕

三角函數

Wikipedia - Saⁿ-kak hâm-sò͘

數學式 英語 台漢 台羅 華語 日語
sinx
sine 正弦 tsiànn-hiân 正弦 正弦
cosx
cosine 餘弦 î-hiân 餘弦 餘弦
tanx
tangent 正切 tsiànn-tshiat 正切 正接
cotx
cotangent 餘切 î-tshiat 餘切 余接
secx
secant 正割 tsiànn-kuah 正割 正割
cscx
cosecant 餘割 î-kuah 餘割 餘割

唸法的例

sin2x+cos2x=1(三角恆等式)唸做「
sin
立方
x
共」

sinx=xx33!+x55!
唸做「
sinx
平平
x
閣減
x
立方 over
3
階乘 閣減
x
5
次方 over
3
階乘點點點」

cosx=xx22!+x44!
唸做「
cosx
平平
1
閣減
x
平方 over
2
階乘 閣減
x
4
次方 over
4
階乘點點點」

逆三角函數(毋是高中範圍)

Wikipedia - Ge̍k-saⁿ-kak hâm-sò͘

函數 英語 台語 華語 日語
arcsinx
arcsine 逆正弦 反正弦 逆正弦
arccosx
arccosine 逆餘弦 反餘弦 逆餘弦
arctanx
arcarctangent 逆正切 反正切 逆正接
arccotx
arccotangent 逆餘切 反餘切 逆余接
arcsecx
arcsecant 逆正割 反正割 逆正割
arccscx
arccosecant 逆餘割 反餘割 逆餘割

雙曲函數(毋是高中範圍)

Wikipedia - Siang-khiok hâm-sò͘

數學式 英語 華語、台語漢字
sinhx
hyperbolic sine,
sinh
雙曲正弦
coshx
hyperbolic cosine,
cosh
雙曲餘弦
tanhx
hyperbolic tangent,
tanh
雙曲正切
cothx
hyperbolic cotangent,
coth
雙曲餘切
sechx
hyperbolic secant,
sech
雙曲正割
cschx
hyperbolic cosecant,
csch
雙曲餘割

英語呼音——詳細

  • sinh [sɪntʃ]
  • cosh [kɒʃ]
  • tanh [tæntʃ]

唸法的例

sinhx:=exex2 唸做「sinh x 的定義是 e to the x 減 e to the 負 x over 兩」抑是「sinh x 的定義是e 羃乘 x 減 e 羃乘負 x 分予兩 」

逆雙曲函數(毋是高中範圍)

數學式 英語 台語
arsinhx
inverse hyperbolic sine 逆雙曲正弦
arcoshx
inverse hyperbolic cosine 逆雙曲餘弦
artanhx
inverse hyperbolic tangent 逆雙曲正切
arcothx
inverse hyperbolic cotangent 逆雙曲餘切
arsechx
inverse hyperbolic secant 逆雙曲正割
arcschx
inverse hyperbolic cosecant 逆雙曲餘割

極限

多項式函數的微積分