# 函數佮微積分的基礎
###### tags: `數學` `初等數學`
::: spoiler 目錄
[TOC]
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## 初等函數的類別
### 基本
| 例 | 台漢 | 台羅 | 華語 | 英語 | 日語 |
| --- | -------- | ----------------- | -------- | ----------------- | -------- |
| $f(x)=c$ | ==常數==函數 | siông-sòo hâm-sòo | 常（數）函數 | constant function | 定数関数 |
| $f(x)=x^a$ | 冪函數 | bi̍k hâm-sòo | 冪函數 | power function | 冪関数 |
| $f(x)=a^x$ | 指數函數 | tsí-sòo hâm-sòo | 指數函數 | exponential function | 指数関数 |
| $f(x)=\log_a(x)$ | 對數函數 | tuì-sòo hâm-sòo | 對數函數 | logarithmic function | 対数関数 |
| $f(x)=\sin{x}$ | 三角函數 | sann-kak hâm-sòo | 三角函數 | trigonometric functions | 三角関数 |
| $f(x)=\arcsin{x}$ | ==逆==三角函數 | sann-kak hâm-sòo | 反三角函數 | inverse trigonometric functions |逆三角関数 |
### 組合
| 例 | 台漢 | 台羅 | 華語 | 英語 | 日語 |
| --- | -------- | ----------------- | -------- | ----------------- | -------- |
| $f(x)=\sum^n_{k=1}a_kx^k$ | 多項式函數 | to-hāng-sik hâm-sòo | 多項式函數 | polynomial functions | 多項式函数 |
| $f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}$ | ==有比==函數 | iú-pí hâm-sòo | 有理函數 | rational function | 有理関数 |
| $f(x)=\sinh{x}$ | 雙曲函數 | sann-kak hâm-sòo | 雙曲函數 | hyperbolic functions | 双曲線関数 |
| $f(x)=\text{arcsinh}\ x$ | ==逆==雙曲函數 | gi̍k-sann-kak hâm-sòo | 反雙曲函數 | inverse hyperbolic functions | 逆双曲線関数 |
## 區間
| 台漢 | 台羅 | 華語 | 英語 | 日語 |
| ------ | --- | -------- | ------------------- | ---------- |
| 端點<br>==尾溜== | tuan-tiám<br>bué-liu | 端點 | endpoint | 端点 |
| 開區間 | khui-khu-kan | 開區間 | open interval | 開区間 |
| 閉區間<br>==[峇](https://twblg.dict.edu.tw/holodict_new/result_detail.jsp?n_no=4872&curpage=1&sample=b%C4%81&radiobutton=1&querytarget=1&limit=20&pagenum=7&rowcount=123)區間== | pì-khu-kan<br>bâ-khu-kan | 閉區間 | closed interval | 閉区間 |
| 半開區間 | puànn-khui khu-kan | 半開區間 | half-open interval | 半開区間 |
| 有界區間 | iú-kài khu-kan | 有界區間 | bounded interval | 有界区間 |
| 無界區間 | bû-kài khu-kan | 無界區間 | unbounded interval | 非有界区間 |
| 退化區間 | thè-huà khu-kan | 退化區間 | degenerate interval | 退化区間 |
| 真區間 | tsin-khu-kan | 真區間 | proper interval | 真の区間 |
| 内部 | lāi-pōo | 内部 | interior | 内部 |
| 閉包 | pì-pau | 閉包 | closure | 閉包 |
1. $(a,b)=\{x|a<x<b\}$
1. $[a,b]=\{x|a\le x\le b\}$
1. $(a,b]=\{x|a < x\le b\}$
1. $[a,b)=\{x|a\le x < b\}$
1. $[a,\infty)=\{x|x\ge a\}$
1. $(a,\infty)=\{x|x>a\}$
1. $(-\infty,b)=\{x|x < b\}$
1. $(-\infty,b]=\{x|x\le b\}$
1. $(-\infty,\infty)=\{x|x\in\mathbb{R}\}$
## 函數佮MAPPING
::: warning
未來愛徙去【數學基礎／集合論】
@YuRen-tw
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| 數學式 | 台語 | 華語 | 英語 |
|:---------------:|:---------- |:---------- |:-------------------------------------------------------------------------- |
| $f(x)$ | $f$ of $x$ | $f$ of $x$ | $f$ of $x$ <br> the image of $x$ under $f$ |
| $f:A\to B$ | | $f$ 從 $A$ 送到 $B$ <br> $f$ 是從 $A$ （映射）到 $B$ 的函數 | $f$ is a map from $A$ to $B$ <br> $f$ (is a function that) maps $A$ to $B$ |
| $x\mapsto y$ | $x$ 送到 $y$ | $x$ 送到 $y$ <br> $x$ 映射到 $y$ | $x$ maps to $y$ <br> $y$ is the image of $x$ |
| $f:x\mapsto y$ | | $x$ 經由 $f$ 映射到 $y$ | $y$ is the image of $x$ under a mapping $f$ |
| $f[A]$ | | $A$ 在 $f$ 之下的像 | image of $A$ under $f$ |
| $f^{-1}[B]$ | | $B$ 在 $f$ 之下的原像 <br> $B$ 在 $f$ 之下的反像 | preimage of $B$ under $f$ <br> inverse image of $B$ under $f$ |
| $f^{-1}$ | | $f$ 的反函數 | inverse (function) of $f$ |
| $f:X \to Y$ | 台語 | 華語 | 英語 | 日語 | 德語 |
| ---------------------- |:----:|:--------------:| -------------- |:--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------:| ----------------- |
| $\operatorname{dom} f=X$ | | 定義域 | domain | <ruby>定<rt>てい</rt></ruby><ruby>義<rt>ぎ</rt></ruby><ruby>域<rt>いき</rt></ruby><br><ruby>始<rt>し</rt></ruby><ruby>域<rt>いき</rt></ruby> | Definitionsmenge |
| $\operatorname{codom} f=Y$ | | 對應域<br>陪域 | codomain | <ruby>終<rt>しゅう</rt></ruby><ruby>域<rt>いき</rt></ruby> | Zielmenge |
| $\operatorname{range} f=f[X]$ | | 值域<br>像 | range<br>image | <ruby>值<rt>ち</rt></ruby><ruby>域<rt>いき</rt></ruby><br><ruby>像<rt>ぞう</rt></ruby> | Bildmenge<br>Bild |
| | 台語 | 華語 | 英語 | 日語 |
|:------------------------------------------:| --- |:--------------------------------------------------:|:--------------------------------------------------------------------------------------------------:|:--------------------------------------------------------------:|
|  | | 單射<br>嵌射<br>一對一函數 | injection <br> injective function <br> one-to-one function | <ruby>単射<rt>たんしゃ</rt></ruby> <br> 一対一の関数 |
|  | | 滿射 <br> 蓋射 <br> 映成函數 | surjection <br> surjective function <br> onto function | <ruby>全射<rt>ぜんしゃ</rt></ruby><br>上への関数 |
|  | | 對射 <br> 雙射 <br> 一對一且映成函數 <br> 一一對應 | bijection <br> bijective function <br> one-to-one and onto function <br> one-to-one correspondence | <ruby>全単射<rt>ぜんたんしゃ</rt></ruby> <br> 一対一上への関数 |
## 函數的合成
## 常數函數、冪函數、多項式函數
簡單講，常數函數是一種數值袂發生改變的函數。譬論講 $f(x)=4$。
多項式函數就是下跤按呢款的函數：$$P(x)=\sum^n_{k=0}a_k x^k=a_m x^m + a_{m-1}x^{m-1}+\cdots+a_1x+a_0,\qquad n\in\mathbb{N}\cup\{0\}$$
### 詞彙
|台漢 | 台羅 | 華語 | 英語 | 日語 |
|:----:| --- | --- | --- | --- |
| 簡化 | kán-huà | 化簡 | reduce, simplify | |
| 整理 | tsíng-lí | 整理、重組| rearrange | |
| 因式分拆 | in-sik pun-thiah | 因式分解| factorize | 因式分解 |
| 分拆 | pun-thiah | 分解| decompose | |
| 可約 | khó-iok | 可約 |reducilbe | 可約 |
| 既約 | kì-iok | 不可約 |irreducible | 既約 |
| 既約多項式 | kì-iok to-hāng-sik | 不可約多項式<br>質式 |irreducible polynomial | 既約多項式 |
| | | 因式定理 | factor theorem | 因数定理 |
| | | 餘式定理 | remaider theorem | 剰余の定理 |
| | | 除法原理 | | 除法の原理 |
| | | 牛頓插值法 | Newton interpolating polynomial | ニュートン補間多項式 |
| | | 拉格朗日插值法 | Lagrange interpolating polynomial| ラグランジュ補間多項式 |
|||最大公因式
|||最小公倍式
|||多項式方程式
|||多項式不等式
## 有比函數（毋是高中範圍）
有比函數就是下跤按呢款的函數：$$f(x)=\frac{a_m x^m + a_{m-1}x^{m-1}+\cdots+a_1x+a_0}{b_n x^n + b_{n-1}x^{n-1}+\cdots+b_1x+b_0}=\frac{P_m(x)}{Q_n(x)},\qquad m,n\in\mathbb{N}\cup\{0\},\quad Q_n(x)\neq0$$
### 部份份式分拆
部份份式分拆（partial fraction decomposition）是一種撇步，會使共有比函數拆做按呢：$$\frac{f(x)}{g(x)}=p(x)+\sum_k \frac{c_k}{h_k(x)}$$ 其中 $f$、$g$、$p$、$f_k$、$g_k$ 全部攏是多項式函數，對逐个 $k$，$g_k$ 攏是既約多項式的冪乘，而且 $\deg{g_k}>\deg{f_k}$。
## 指數函數
| 數學式 | 唸法 | 備註 |
|:---:|---|---|
| $2^x$ | 兩冪乘 $x$ |
| $e^x$ | $e$ 冪乘 $x$ | |
| $\exp(x)$ | exponential of $x$
| $e^{i\theta}$ | $e$ 冪乘 $i\theta$ | 物理上的相位因子 |
| $e^{i\pi}=-1$ | $e$ 冪乘 $i\pi$ 平平負一 | 烏伊拉的恆等式|
## 對數函數
| 數學式 | 台語 | 華語 | 英語 |
|:-----------------------------:| ------------------ | --- |:------------- |
| $\log x$ | $x$ 的對數 | $x$ 的對數 | log x |
| $\log_{10} x$ | $x$ 取 $10$ 的對數 | 以 $10$ 為底 $x$ 的對數 | |
| $\log_a x$ | $x$ 取 $a$ 的對數 | 以 $a$ 為底 $x$ 的對數 | |
| $\log\bigl(\frac{1}{x}\bigr)$ | | | |
| $\ln x$ | | | l n x |
[$\ln$ 按怎唸？（英語）](https://math.stackexchange.com/questions/2338447/how-is-ln-pronounced-by-english-speakers)
## 有關三角函數、逆三角函數、雙曲函數、逆雙曲函數的說明
唸數學式的時，着照英語的呼音唸。譬論講看着 $\sin x$，講「$\sin x$」就好，毋免講「$x$ 的正弦」，有一寡狀況例外：
* 欲強調 $\sin$ 是一个函數，所以特別講「正弦函數」。
* 函數的引數（argument）傷複雜-\-矣，而且後壁閣有綴別項，譬論講 $\sin{\left(\frac{\sqrt{2}+\ln{x}}{3}\right)}+\frac{1}{2}$，會使唸做「根號兩 加 $x$ 立方 over 三 規个的正弦 閣共兩份一」。（好佳哉這種複雜的物件真罕得出現！）
### 文白音
* 正 tsiànn, tsìng
* 餘 î, û
### 別名
* 逆～ = 反～
* 正切 = 正接 = 正磕
* 餘切 = 餘接 = 餘磕
## 三角函數
[Wikipedia - Saⁿ-kak hâm-sò͘](https://zh-min-nan.wikipedia.org/wiki/Sa%E2%81%BF-kak_h%C3%A2m-s%C3%B2%CD%98)
| 數學式 | 英語 | 台漢 | 台羅 | 華語 | 日語 |
|:---------:| --------- | --- | -------------------------- | ---- | ---- |
| $\sin{x}$ | sine | 正弦 | tsiànn-hiân | 正弦 | 正弦 |
| $\cos{x}$ | cosine | 餘弦 | î-hiân | 餘弦 | 餘弦 |
| $\tan{x}$ | tangent | 正切 | tsiànn-tshiat| 正切 | 正接 |
| $\cot{x}$ | cotangent | 餘切 | î-tshiat | 餘切 | 余接 |
| $\sec{x}$ | secant | 正割 | tsiànn-kuah | 正割 | 正割 |
| $\csc{x}$ | cosecant | 餘割 | î-kuah | 餘割 | 餘割 |
#### 唸法的例
$\sin^2{x}+\cos^2{x}=1$（三角恆等式）唸做「$\sin$ 立方 $x$ 共」
$\sin x=x-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}-\cdots$
唸做「$\sin x$ 平平 $x$ 閣減 $x$ 立方 over $3$ 階乘 閣減 $x$ 的 $5$ 次方 over $3$ 階乘點點點」
$\cos x=x-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}-\cdots$
唸做「$\cos x$ 平平 $1$ 閣減 $x$ 平方 over $2$ 階乘 閣減 $x$ 的 $4$ 次方 over $4$ 階乘點點點」
## 逆三角函數（毋是高中範圍）
[Wikipedia - Ge̍k-saⁿ-kak hâm-sò͘](https://zh-min-nan.wikipedia.org/wiki/Ge%CC%8Dk-sa%E2%81%BF-kak_h%C3%A2m-s%C3%B2%CD%98)
| 函數 | 英語 | 台語 | 華語 | 日語 |
|:-------------------------:| ------------- | ------ | ------ | ------ |
| $\arcsin x$ | arcsine | 逆正弦 | 反正弦 | 逆正弦 |
| $\arccos x$ | arccosine | 逆餘弦 | 反餘弦 | 逆餘弦 |
| $\arctan x$ | arcarctangent | 逆正切 | 反正切 | 逆正接 |
| $\operatorname{arccot} x$ | arccotangent | 逆餘切 | 反餘切 | 逆余接 |
| $\operatorname{arcsec} x$ | arcsecant | 逆正割 | 反正割 | 逆正割 |
| $\operatorname{arccsc} x$ | arccosecant | 逆餘割 | 反餘割 | 逆餘割 |
## 雙曲函數（毋是高中範圍）
[Wikipedia - Siang-khiok hâm-sò͘](https://zh-min-nan.wikipedia.org/wiki/Siang-khiok_h%C3%A2m-s%C3%B2%CD%98)
| 數學式 | 英語 | 華語、台語漢字 |
|:-----------------------:| ----------------------------- | -------------- |
| $\sinh x$ | hyperbolic sine,<br> sinh | 雙曲正弦 |
| $\cosh x$ | hyperbolic cosine,<br>cosh | 雙曲餘弦 |
| $\tanh x$ | hyperbolic tangent,<br>tanh | 雙曲正切 |
| $\coth x$ | hyperbolic cotangent,<br>coth | 雙曲餘切 |
| $\operatorname{sech} x$ | hyperbolic secant,<br>sech | 雙曲正割 |
| $\operatorname{csch} x$ | hyperbolic cosecant,<br>csch | 雙曲餘割 |
#### 英語呼音——[詳細](https://math.stackexchange.com/questions/176055/pronunciation-of-sinh-x-cosh-x-tanh-x-for-short)
* sinh [sɪntʃ]
* cosh [kɒʃ]
* tanh [tæntʃ]
* ...
#### 唸法的例
$\sinh x:=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}$ 唸做「sinh x 的定義是 e to the x 減 e to the 負 x over 兩」抑是「sinh x 的定義是e 羃乘 x 減 e 羃乘負 x 分予兩 」
## 逆雙曲函數（毋是高中範圍）
| 數學式 | 英語 | 台語 |
|:-------------------------:| ----------------------------- | -------------- |
| $\operatorname{arsinh} x$ | inverse hyperbolic sine | 逆雙曲正弦 |
| $\operatorname{arcosh} x$ | inverse hyperbolic cosine | 逆雙曲餘弦 |
| $\operatorname{artanh} x$ | inverse hyperbolic tangent | 逆雙曲正切 |
| $\operatorname{arcoth} x$ | inverse hyperbolic cotangent | 逆雙曲餘切 |
| $\operatorname{arsech} x$ | inverse hyperbolic secant | 逆雙曲正割 |
| $\operatorname{arcsch} x$ | inverse hyperbolic cosecant | 逆雙曲餘割 |
## 極限
## 多項式函數的微積分
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