函數佮微積分的基礎

tags: 數學 初等數學

目錄

• 函數佮微積分的基礎
  • 初等函數的類別
    • 基本
    • 組合
  • 區間
  • 函數佮MAPPING
  • 函數的合成
  • 常數函數、冪函數、多項式函數
    • 詞彙
  • 有比函數（毋是高中範圍）
    • 部份份式分拆
  • 指數函數
  • 對數函數
  • 有關三角函數、逆三角函數、雙曲函數、逆雙曲函數的說明
    • 文白音
    • 別名
  • 三角函數
  • 逆三角函數（毋是高中範圍）
  • 雙曲函數（毋是高中範圍）
  • 逆雙曲函數（毋是高中範圍）
  • 極限
  • 多項式函數的微積分

初等函數的類別

基本

例	台漢	台羅	華語	英語	日語
$f(x)=c$	常數函數	siông-sòo hâm-sòo	常（數）函數	constant function	定数関数
$f(x)=x^a$	冪函數	bi̍k hâm-sòo	冪函數	power function	冪関数
$f(x)=a^x$	指數函數	tsí-sòo hâm-sòo	指數函數	exponential function	指数関数
$f(x)={\log }_a(x)$	對數函數	tuì-sòo hâm-sòo	對數函數	logarithmic function	対数関数
$f(x)=\sin x$	三角函數	sann-kak hâm-sòo	三角函數	trigonometric functions	三角関数
$f(x)=\arcsin x$	逆三角函數	sann-kak hâm-sòo	反三角函數	inverse trigonometric functions	逆三角関数

組合

例	台漢	台羅	華語	英語	日語
$f(x)=\sum _{k=1}^n{a}_k{x}^k$	多項式函數	to-hāng-sik hâm-sòo	多項式函數	polynomial functions	多項式函数
$f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}$	有比函數	iú-pí hâm-sòo	有理函數	rational function	有理関数
$f(x)=\sinh x$	雙曲函數	sann-kak hâm-sòo	雙曲函數	hyperbolic functions	双曲線関数
$f(x)=\text{arcsinh}x$	逆雙曲函數	gi̍k-sann-kak hâm-sòo	反雙曲函數	inverse hyperbolic functions	逆双曲線関数

區間

台漢	台羅	華語	英語	日語
端點 尾溜	tuan-tiám bué-liu	端點	endpoint	端点
開區間	khui-khu-kan	開區間	open interval	開区間
閉區間 峇區間	pì-khu-kan bâ-khu-kan	閉區間	closed interval	閉区間
半開區間	puànn-khui khu-kan	半開區間	half-open interval	半開区間
有界區間	iú-kài khu-kan	有界區間	bounded interval	有界区間
無界區間	bû-kài khu-kan	無界區間	unbounded interval	非有界区間
退化區間	thè-huà khu-kan	退化區間	degenerate interval	退化区間
真區間	tsin-khu-kan	真區間	proper interval	真の区間
内部	lāi-pōo	内部	interior	内部
閉包	pì-pau	閉包	closure	閉包

1. $(a,b)=\{x|a<x<b\}$
2. $[a,b]=\{x|a\le x\le b\}$
3. $(a,b]=\{x|a<x\le b\}$
4. $[a,b)=\{x|a\le x<b\}$
5. $[a,\mathrm{\infty })=\{x|x\ge a\}$
6. $(a,\mathrm{\infty })=\{x|x>a\}$
7. $(-\mathrm{\infty },b)=\{x|x<b\}$
8. $(-\mathrm{\infty },b]=\{x|x\le b\}$
9. $(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })=\{x|x\in \mathbb{R}\}$

函數佮MAPPING

未來愛徙去【數學基礎／集合論】
@YuRen-tw

數學式	台語	華語	英語
$f(x)$	$f$ of $x$	$f$ of $x$	$f$ of $x$ the image of $x$ under $f$
$f:A\to B$		$f$ 從 $A$ 送到 $B$ $f$ 是從 $A$ （映射）到 $B$ 的函數	$f$ is a map from $A$ to $B$ $f$ (is a function that) maps $A$ to $B$
$x\mapsto y$	$x$ 送到 $y$	$x$ 送到 $y$ $x$ 映射到 $y$	$x$ maps to $y$ $y$ is the image of $x$
$f:x\mapsto y$		$x$ 經由 $f$ 映射到 $y$	$y$ is the image of $x$ under a mapping $f$
$f[A]$		$A$ 在 $f$ 之下的像	image of $A$ under $f$
$f^{-1}[B]$		$B$ 在 $f$ 之下的原像 $B$ 在 $f$ 之下的反像	preimage of $B$ under $f$ inverse image of $B$ under $f$
$f^{-1}$		$f$ 的反函數	inverse (function) of $f$

$f:X\to Y$	台語	華語	英語	日語	德語
$\mathrm{dom}f=X$		定義域	domain	定てい義ぎ域いき 始し域いき	Definitionsmenge
$\mathrm{codom}f=Y$		對應域 陪域	codomain	終しゅう域いき	Zielmenge
$\mathrm{range}f=f[X]$		值域 像	range image	值ち域いき 像ぞう	Bildmenge Bild

	台語	華語	英語	日語
		單射 嵌射 一對一函數	injection injective function one-to-one function	単射たんしゃ 一対一の関数
		滿射 蓋射 映成函數	surjection surjective function onto function	全射ぜんしゃ 上への関数
		對射 雙射 一對一且映成函數 一一對應	bijection bijective function one-to-one and onto function one-to-one correspondence	全単射ぜんたんしゃ 一対一上への関数

函數的合成

常數函數、冪函數、多項式函數

簡單講，常數函數是一種數值袂發生改變的函數。譬論講

$f(x)=4$。

多項式函數就是下跤按呢款的函數：

$$P(x)=\sum _{k=0}^n{a}_k{x}^k=a_m{x}^m+a_{m-1}{x}^{m-1}+\cdots +a_{1}x+a_0,n\in \mathbb{N}\cup \{0\}$$

詞彙

台漢	台羅	華語	英語	日語
簡化	kán-huà	化簡	reduce, simplify
整理	tsíng-lí	整理、重組	rearrange
因式分拆	in-sik pun-thiah	因式分解	factorize	因式分解
分拆	pun-thiah	分解	decompose
可約	khó-iok	可約	reducilbe	可約
既約	kì-iok	不可約	irreducible	既約
既約多項式	kì-iok to-hāng-sik	不可約多項式 質式	irreducible polynomial	既約多項式
		因式定理	factor theorem	因数定理
		餘式定理	remaider theorem	剰余の定理
		除法原理		除法の原理
		牛頓插值法	Newton interpolating polynomial	ニュートン補間多項式
		拉格朗日插值法	Lagrange interpolating polynomial	ラグランジュ補間多項式
		最大公因式
		最小公倍式
		多項式方程式
		多項式不等式

有比函數（毋是高中範圍）

有比函數就是下跤按呢款的函數：

$$f(x)=\frac{a_m{x}^m+a_{m-1}{x}^{m-1}+\cdots +a_{1}x+a_0}{b_n{x}^n+b_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +b_{1}x+b_0}=\frac{P_m(x)}{Q_n(x)},m,n\in \mathbb{N}\cup \{0\},Q_n(x)\ne 0$$

部份份式分拆

部份份式分拆（partial fraction decomposition）是一種撇步，會使共有比函數拆做按呢：

$$\frac{f(x)}{g(x)}=p(x)+\sum _k\frac{c_k}{h_k(x)}$$ 其中

$f$、

$g$、

$p$、

$f_k$、

$g_k$ 全部攏是多項式函數，對逐个

$k$，

$g_k$ 攏是既約多項式的冪乘，而且

$\mathrm{deg}{g}_k>\mathrm{deg}{f}_k$。

指數函數

數學式	唸法	備註
$2^x$	兩冪乘 $x$
$e^x$	$e$ 冪乘 $x$
$\exp (x)$	exponential of $x$
$e^{i\theta }$	$e$ 冪乘 $i\theta$	物理上的相位因子
$e^{i\pi }=-1$	$e$ 冪乘 $i\pi$ 平平負一	烏伊拉的恆等式

對數函數

數學式	台語	華語	英語
$\log x$	$x$ 的對數	$x$ 的對數	log x
${\log }_{10}x$	$x$ 取 $10$ 的對數	以 $10$ 為底 $x$ 的對數
${\log }_{a}x$	$x$ 取 $a$ 的對數	以 $a$ 為底 $x$ 的對數
$\log (\frac{1}{x})$
$\ln x$			l n x

$\ln$ 按怎唸？（英語）

有關三角函數、逆三角函數、雙曲函數、逆雙曲函數的說明

唸數學式的時，着照英語的呼音唸。譬論講看着

$\sin x$，講「

$\sin x$」就好，毋免講「

$x$ 的正弦」，有一寡狀況例外：

• 欲強調
  $\sin$ 是一个函數，所以特別講「正弦函數」。
• 函數的引數（argument）傷複雜--矣，而且後壁閣有綴別項，譬論講
  $\sin \left(\frac{\sqrt{2}+\ln x}{3}\right)+\frac{1}{2}$，會使唸做「根號兩 加
  $x$ 立方 over 三 規个的正弦 閣共兩份一」。（好佳哉這種複雜的物件真罕得出現！）

文白音

• 正 tsiànn, tsìng
• 餘 î, û

別名

• 逆～ = 反～
• 正切 = 正接 = 正磕
• 餘切 = 餘接 = 餘磕

三角函數

Wikipedia - Saⁿ-kak hâm-sò͘

數學式	英語	台漢	台羅	華語	日語
$\sin x$	sine	正弦	tsiànn-hiân	正弦	正弦
$\cos x$	cosine	餘弦	î-hiân	餘弦	餘弦
$\tan x$	tangent	正切	tsiànn-tshiat	正切	正接
$\cot x$	cotangent	餘切	î-tshiat	餘切	余接
$\sec x$	secant	正割	tsiànn-kuah	正割	正割
$\csc x$	cosecant	餘割	î-kuah	餘割	餘割

唸法的例

${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$（三角恆等式）唸做「

$\sin$ 立方

$x$ 共」

$\sin x=x-{\displaystyle \frac{x^3}{3!}}+{\displaystyle \frac{x^5}{5!}}-\cdots$
唸做「

$\sin x$ 平平

$x$ 閣減

$x$ 立方 over

$3$ 階乘 閣減

$x$ 的

$5$ 次方 over

$3$ 階乘點點點」

$\cos x=x-{\displaystyle \frac{x^2}{2!}}+{\displaystyle \frac{x^4}{4!}}-\cdots$
唸做「

$\cos x$ 平平

$1$ 閣減

$x$ 平方 over

$2$ 階乘 閣減

$x$ 的

$4$ 次方 over

$4$ 階乘點點點」

逆三角函數（毋是高中範圍）

Wikipedia - Ge̍k-saⁿ-kak hâm-sò͘

函數	英語	台語	華語	日語
$\arcsin x$	arcsine	逆正弦	反正弦	逆正弦
$\arccos x$	arccosine	逆餘弦	反餘弦	逆餘弦
$\arctan x$	arcarctangent	逆正切	反正切	逆正接
$\mathrm{arccot}x$	arccotangent	逆餘切	反餘切	逆余接
$\mathrm{arcsec}x$	arcsecant	逆正割	反正割	逆正割
$\mathrm{arccsc}x$	arccosecant	逆餘割	反餘割	逆餘割

雙曲函數（毋是高中範圍）

Wikipedia - Siang-khiok hâm-sò͘

數學式	英語	華語、台語漢字
$\sinh x$	hyperbolic sine, sinh	雙曲正弦
$\cosh x$	hyperbolic cosine, cosh	雙曲餘弦
$\tanh x$	hyperbolic tangent, tanh	雙曲正切
$\coth x$	hyperbolic cotangent, coth	雙曲餘切
$\mathrm{sech}x$	hyperbolic secant, sech	雙曲正割
$\mathrm{csch}x$	hyperbolic cosecant, csch	雙曲餘割

英語呼音——詳細

• sinh [sɪntʃ]
• cosh [kɒʃ]
• tanh [tæntʃ]
• …

唸法的例

$\sinh x:=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$ 唸做「sinh x 的定義是 e to the x 減 e to the 負 x over 兩」抑是「sinh x 的定義是e 羃乘 x 減 e 羃乘負 x 分予兩 」

逆雙曲函數（毋是高中範圍）

數學式	英語	台語
$\mathrm{arsinh}x$	inverse hyperbolic sine	逆雙曲正弦
$\mathrm{arcosh}x$	inverse hyperbolic cosine	逆雙曲餘弦
$\mathrm{artanh}x$	inverse hyperbolic tangent	逆雙曲正切
$\mathrm{arcoth}x$	inverse hyperbolic cotangent	逆雙曲餘切
$\mathrm{arsech}x$	inverse hyperbolic secant	逆雙曲正割
$\mathrm{arcsch}x$	inverse hyperbolic cosecant	逆雙曲餘割

極限

多項式函數的微積分