# 數論
###### tags: `數學` `代數`

[TOC]

---
## 整數
| 台漢 | 台羅 | 華語 | 英語 | 日語 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 整數 | tsíng-sòo | 整數 | integer | 整数 |
| | | 除法原理 <br> 除法算則 | division theorem <br> division algorithm | 除法の原理 |
| | | 帶餘除法 <br> 歐幾里德除法 | division with remainder <br> Euclidean division | 剰余付き除法 <br> ユークリッド除法 |
| | | 輾轉相除法 <br> 歐幾里得算法 | Euclidean Algorithm | ユークリッドの互除法 |

### 因數佮倍數
| 台漢 | 台羅 | 華語 | 英語 | 日語 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 因數 | in-sòo | 因數 | divisor <br> factor | 約数 <br> 因数 |
| 倍數 | puē-sòo | 倍數 | multiple | 倍数 |
| 公因數 <br> 等數 | kong-in-sòo <br> tíng-sòo | 公因數 | common divisor | 公約数 |
| 公倍數 | siōng-sè kong-puē-sòo | 公倍數 | common multiple | 公倍数 |
| 上大公因數 <br> 上大的等數 | siōng-tuā kong-in-sòo <br> siōng-tuā ê tíng-sòo | 最大公因數 | greatest common divisor <br> gcd | 最大公約数 |
| 上細公倍數 | siōng-sè kong-puē-sòo | 最小公倍數 | least common multiple <br> lcm | 最小公倍数 |
| 互素 | hōo-sòo | 互質 | relatively prime <br> coprime | 互いに素 |
| | | 無平方因子數 | square-free number | 平方因子をもたない整数 <br> 無平方数 |

| 記號 | 台語 | 華語 | 英語 |
| --- | --- | --- | --- |
| $a \mid b$ | a 齊分 b | a 整除 b | a divides b |
| :point_up: | b 用 a 分，分會盡 | b 被 a 整除 | b is divided by a |
| :point_up: | a 是 b 的因數 | a 是 b 的因數 | a is a divisor of b <br> a is a factor of b |
| :point_up: | b 是 a 的倍數 | b 是 a 的倍數 | b is a multiple of a |

### 素數
| 台漢 | 台羅 | 華語 | 英語 | 日語 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 素數 | sòo-sòo| 質數 | prime (number) | 素数 |
| 合成數 | ha̍p-sîng-sòo | 合數 | composite number | 合成数 |
| 素因數 | sòo-in-sòo | 質因數 | prime factor | 素因数 |
| 素因數分拆 | sòo-in-sòo hun-thiah | 質因數分解 | prime factorization | 素因数分解 |
| 算術基本定理 <br> 素因數分拆的唯一性 | suàn-su̍t ki-pún tīng-lí <br> sòo-in-sòo hun-thiah ê uî-it-sìng | 算術基本定理 <br> 唯一分解定理 | fundamental theorem of arithmetic <br> unique factorization theorem | 算術の基本定理 <br> 素因数分解の一意性 |

## 算術函數
| 台漢 | 台羅 | 華語 | 英語 | 日語 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| | | 算術函數 | arithmetic function <br> number-theoretical function | 数論的関数 |
| | | 加性函數 | additive function | 加法的関数 |
| | | 完全加性函數 | completely additive function | 完全加法的関数 |
| | | 積性函數 | multiplicative function | 乗法的関数 |
| | | 完全積性函數 | completely multiplicative function | 完全乗法的関数 |

### 特別的算術函數
| 記號 | 台漢 | 台羅 | 華語 | 英語 | 日語 |
|:---:| --- | --- | --- | --- | --- |
| $\mu$ | | | 莫比烏斯函數 | Möbius function | メビウス関数 |
| $\varphi$ | | | 歐拉函數 <br> φ 函數 | Euler's (totient) function <br> (Euler's) phi function | オイラーの関数 <br> ファイ関数 |
| $\sigma_k$ | | | 除數函數 | divisor function | 約数関数 |

\begin{align}
\mu(n) &:= \begin{cases}
0, & \text{if $n$ is not square-free} \\
(-1)^k, & \text{if $k$ is the number of prime factors of $n$}
\end{cases}\\
\varphi(n) &:= \#\{k\in\mathbb{N}_{\le n} : \gcd(k, n) = 1\}\\
\sigma_k(n) &:= \sum_{d\mid n} d^k
\end{align}

### 捲積
| 台漢 | 台羅 | 華語 | 英語 | 日語 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| | | 捲積 | convolution | 畳み込み |
| | | 狄利克雷捲積 | Dirichlet convolution | ディリクレの畳み込み |
| | | 莫比烏斯反演公式 | Möbius inversion formula | メビウスの反転公式 |

## Congruences
:point_right: Congruences 是一種 equivalence relation，會當參考[【數學基礎／集合論／等價關係】](https://hackmd.io/@TaigiSTEM/ry3UH1v6s#等價關係)。
| 台漢 | 台羅 | 華語 | 英語 | 日語 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| | | 同餘 | congruences | 合同 |
| | | 模數 | modulus | 法 |
| | | 代表元素 | representative | 代表元 |
| | | 剩餘系 | residue system | 剰余系 |
| | | 完全剩餘系 | complete residue system | 完全剰余系 |
| | | 簡約剩餘系 | reduced residue system | 既約剰余系 |
| | | 模算術 | modular arithmetic | 合同算術 |
| | | 費馬小定理 | Fermat's little theorem | フェルマーの小定理 |
| | | 歐拉定理 | Euler's theorem | オイラーの定理 |
| | | 威爾遜定理 | Wilson's theorem | ウィルソンの定理 |

* 費馬小定理：$p \nmid a \implies a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$
* 歐拉定理：$\gcd(n,a) = 1 \implies a^{\varphi(n)} \equiv 1 \pmod{n}$
* 威爾遜定理：$(p-1)! \equiv -1 \pmod{p}$

| 記號 | 台語 | 華語 | 英語 |
| --- | --- | --- | --- |
| $a \equiv b \pmod{m}$ | | a 同餘 b 模 m | a is congruent to b modulo m |

## Congruence Equations

## 二次的 Congruence Equations

## Primitive Roots

## Diophantine Equations