# L1正則化 L2正則化

L1 正則化

L1 正則化 是機器學習中一種常用的正則化技術，用來防止模型過擬合，通過對模型的參數施加懲罰來控制模型的複雜度。

公式：

L1 正則化會在損失函數中加入模型參數的絕對值和作為懲罰項。假設模型的參數為

那麼 L1 正則化項為：



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L2 正則化

與 L1 正則化類似，L2 正則化 也是一種防止過擬合的技術，但它的懲罰方式不同。

公式：

L2 正則化是將模型參數的平方和作為懲罰項：



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L1 與 L2 正則化的區別

1. 稀疏性：
- L1 正則化會使一些權重變為 0，導致稀疏模型，適合特徵選擇。
- L2 正則化會讓所有權重變得很小，但不會變為 0，因此保留所有特徵。
2. 懲罰方式：
- L1 正則化對權重的絕對值進行懲罰，因此對於那些不重要的特徵，會直接將其權重設為 0。
- L2 正則化對權重的平方進行懲罰，更加平滑地縮小權重。
3. 應用場景：
- L1 正則化適合用於高維數據中的特徵選擇（如 Lasso 回歸）。
- L2 正則化適合控制權重大小，使模型更加平滑（如 Ridge 回歸）。

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總結

- L1 正則化：對權重的絕對值進行懲罰，促使部分權重變為 0，實現特徵選擇並防止過擬合。
- L2 正則化：對權重的平方進行懲罰，縮小權重但不會使其變為 0，防止過擬合但保留所有特徵。
希望這些解釋能幫助您理解 L1 和 L2 正則化的區別及應用！如果還有問題，隨時告訴我！

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為什麼L1正則化可以讓一些權重變0?

ChatGPT 說：

ChatGPT
L1 正則化 可以讓一些權重變為 0，這是因為 L1 正則化對權重的懲罰特性，具體來說，它會促使權重進行稀疏化（即部分權重趨向於 0）。這與 L1 正則化的數學性質和優化過程有關。

1. L1 正則化的數學懲罰特性

L1 正則化的懲罰項是每個權重的絕對值總和：


- 由於對每個權重 Wi都施加了絕對值懲罰，優化過程中模型傾向於減小權重的大小，以減少這個懲罰項對損失函數的影響。
- 在這個過程中，當某些權重 Wi 的值很小時，為了最小化損失函數，L1 正則化會直接把這些權重推到 0，從而完全消除這些特徵對模型的影響。

2. 為什麼會出現權重變為 0？

這可以從 L1 正則化 與 L2 正則化 的幾何性質來理解：
- L1 正則化對權重施加的是絕對值懲罰，這會產生一個「尖角形」的等值線，當我們進行優化時，模型在逼近損失最小點的過程中，會傾向於逼近這些「尖角」位置。這些尖角位置通常出現在權重為 0 的地方。因此，當優化過程逼近最優解時，L1 正則化會自動將一些小權重收縮到 0。
- L2 正則化 對權重施加的是平方懲罰，它的等值線是圓滑的，因此權重會逐漸縮小，但不會直接變為 0。

3. 優化過程中權重變 0 的原因

當我們使用 L1 正則化進行模型優化時，模型會根據損失函數的梯度來調整每個權重。由於 L1 正則化的梯度是固定的（不管權重是大還是小，L1 正則化的懲罰對小權重的影響都很強），因此，當某些權重值很小但還不為 0 時，正則化懲罰的作用會促使這些小權重直接變成 0。這種收縮效果讓 L1 正則化能夠選擇性地將不重要的特徵剔除。

4. 幾何解釋

可以通過幾何來直觀理解：
- L1 正則化在多維參數空間中的等值線是一個菱形，當模型的優化目標接近菱形的頂點（即坐標軸上的點）時，優化過程會自然將某些權重推向 0。
- L2 正則化的等值線則是圓形或橢圓形，權重會被均勻縮小，但不會像 L1 那樣明顯被壓縮到 0。

5. L1 正則化與特徵選擇

正是因為 L1 正則化能夠使部分權重變為 0，所以它非常適合特徵選擇。當模型在學習時，它會自動識別哪些特徵對結果的影響較小，並將這些特徵的權重壓縮到 0，從而自動去除不重要的特徵，實現特徵選擇。

總結：

- L1 正則化可以讓一些權重變為 0，是因為它對權重的絕對值施加懲罰，這使得優化過程會傾向於將較小的權重推向 0。
- 這種效果來自於 L1 正則化的幾何特性，促使模型在優化時選擇性地去除不重要的特徵，從而達到特徵選擇和防止過擬合的效果。
如果您對這個過程有進一步的疑問，請隨時告訴我！

4o

你說：

可以用高階直覺人類初學者可理解的方式說明嗎?而不要用複雜的數學理論

ChatGPT 說：

ChatGPT
好的！讓我們用一個更直觀的方式來說明 L1 正則化為什麼能讓一些權重變為 0，而不用複雜的數學理論，這樣初學者會更容易理解。

簡單類比：

想像你是一位經理，負責一個項目。你有許多員工（每個員工就像是模型中的一個「權重」），有些員工非常重要，他們負責關鍵的工作；但有一些員工的貢獻很少，對項目影響不大。作為經理，你希望減少成本（也就是減少模型的複雜性），所以你想看看是否有不重要的員工可以讓他們離開公司。
L1 正則化 就像一個經理，它會仔細檢查每個員工的貢獻（也就是權重的大小）。當發現某些員工貢獻很少的時候，它就會決定把這些員工「解雇」，也就是把這些小的權重設為 0。這樣只剩下那些對項目真正有用的員工（即對模型預測結果影響較大的權重）留在團隊中。

為什麼 L1 正則化會「解雇」小的權重？

當你試圖簡化模型時，L1 正則化會評估每個特徵的權重。如果某個權重非常小，說明這個特徵對結果幾乎沒有影響。L1 正則化的目標是讓模型變得簡單且有效，所以它會「選擇性地」把這些權重設為 0，這就像是解雇那些不太有用的員工一樣。結果是，模型只留下真正重要的特徵，而那些不重要的特徵則被自動移除。

為什麼 L1 正則化能這麼做，而 L2 正則化不能？

想像 L2 正則化就像是一位和善的經理，看到貢獻少的員工時，他不會解雇他們，而是溫和地減少他們的工作量（也就是縮小權重）。這樣所有員工還在工作，只是工作量減少了，但沒有人被解雇。因此，L2 正則化會讓所有權重變得較小，但不會完全設為 0。
相比之下，L1 正則化就像一個更嚴厲的經理，會直接「解雇」貢獻很小的員工，因此一些權重會直接變為 0。

總結：

- L1 正則化 就像是一位只想要保留重要員工的經理，它會「解雇」那些貢獻小的員工，讓他們的權重變成 0，從而簡化模型。
- 這樣，L1 正則化幫助模型自動去除不重要的特徵，只留下對預測結果有明顯影響的部分。
- 相比之下，L2 正則化 只是減少所有權重的大小，但不會讓任何權重變成 0。
這樣的方式，應該能更直觀地幫助理解 L1 正則化的作用。如果還有問題，請隨時告訴我！

4o

你說：

那絕對值為何在L1正則稱為懲罰，具體效果是什麼，因為我只看的出會讓負值變正，這樣權重總和只會有正數，而且會越來越大不是嗎?

ChatGPT 說：

ChatGPT
這是一個非常好的問題！我們來更直觀地解釋為什麼 L1 正則化中的絕對值是懲罰，以及它的具體效果。

1. 為什麼在 L1 正則化中使用絕對值作為懲罰？

首先，L1 正則化是透過 絕對值來懲罰權重的，這是因為絕對值有兩個特點：
1. 避免正負號的影響：我們希望處理的是權重的「大小」，而不是它是正數還是負數。使用絕對值後，無論權重是正還是負，都會對模型產生相同的影響。這樣能夠讓 L1 正則化聚焦於權重的大小，而不會因為某個權重的符號不同（正或負）而產生偏差。
2. 產生稀疏性：L1 正則化的關鍵在於它能促使某些權重變為 0，這是因為它會讓模型更傾向於將不重要的特徵（權重）收縮到 0。這樣，L1 正則化能自動挑選出對預測貢獻最大的特徵，忽略不重要的特徵。

2. 懲罰效果：

我們常說懲罰，是因為 L1 正則化會讓模型在優化過程中對較大權重產生更大的代價。當你增加權重的絕對值，L1 正則化會額外給這些大的權重加上一個「懲罰」，使得它們變得不那麼優化。

具體效果：

- L1 正則化的懲罰效果其實不在於讓權重變得「越來越大」，而是使權重在訓練過程中盡量縮小，並且對不重要的特徵進行「懲罰」，將它們的權重縮小到 0。這個懲罰來自於模型的優化過程，模型會選擇降低那些不重要權重的值，並將它們推向 0。
- 在這個過程中，模型不僅會尋求最小化損失函數，還會通過 L1 正則化的懲罰項，讓不重要的權重變為 0，從而去除不必要的特徵。

3. L1 正則化如何工作？

假設我們有一個簡單的損失函數，它是由 預測誤差和 L1 正則化項構成的：


- 預測誤差：這是模型的預測結果和真實結果之間的差異，模型會通過這個來最小化誤差。
- L1 正則化項：$\lambda \sum_{i=1}^{n} |W_i|$ 是對模型權重的懲罰。這個項越大，懲罰越強，權重會被壓縮到 0。

如何讓權重變 0？

1. 權重的絕對值越大，懲罰越大：當某個權重 Wi的絕對值越大，L1 正則化會給它越大的懲罰，這樣模型就會尋求將權重 Wi 減小。
2. 模型會自動壓縮小貢獻的權重：模型會調整這些權重，將它們縮小。對於那些對預測貢獻極小的特徵（權重小的特徵），L1 正則化會強烈迫使它們的權重縮小到 0。

4. L1 正則化的直觀理解

想像一下，在一個 多維空間中，模型的目標是找到最優的權重。L1 正則化會把所有的權重都推向原點（即 0）。具體來說，對於某些特徵，L1 正則化會將它們的權重收縮到 0，這樣這些特徵就不再對預測有影響，從而完成特徵選擇。
這個過程就像是選擇那些最有價值的特徵，忽略那些貢獻極小的特徵，這樣模型變得更加簡單且有用。

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總結：

- L1 正則化中的絕對值是為了消除正負號的影響，並強迫模型在訓練過程中將一些權重縮小到 0。
- 它的懲罰效果會讓模型在學習時，不斷調整權重，減少不重要特徵的影響，並自動去除它們。
- L1 正則化促進了稀疏性，有助於特徵選擇，這是它的最大優勢。
希望這樣的直觀解釋能幫助您理解 L1 正則化！如果還有其他問題，隨時告訴我！

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最早就是想了解以下例子，才關連到L1 L2

例子：兩點之間的距離和 MSE

假設我們有兩個點，分別是實際值（真實數據）和預測值。我們想要比較它們之間的距離，並計算 MSE。

情境設定：

- 實際值：($x_{\text{實際}}$, $y_{\text{實際}}$) = (3, 4)
- 預測值：($x_{\text{預測}}$, $y_{\text{預測}}$) = (1, 1)


我們將這兩個點看作平面上的兩個坐標點，並計算它們之間的距離。



以上一個例子 MSE，只有一個點 為何要除以2呢?
您提到的這個問題非常好！在我之前的例子中，確實不應該將均方誤差（MSE）除以 2，因為我們只有一個數據點。除以 2 的錯誤操作通常是在某些損失函數中（例如 L2 正則化）為了方便求導而進行的技術處理，而不是 MSE 的標準計算方法。


為什麼會有除以 2 的情況？

在某些損失函數（如 L2 正則化或均方誤差的某些變體）中，為了簡化反向傳播中的導數計算，會將損失函數中的平方項除以 2。這樣在求導時，2 和平方中的 2 會相互抵消，導數計算更為簡潔。但這是出於技術性操作，而不是標準的均方誤差計算方式。

總結：

- 標準 MSE 不需要除以 2，應該是誤差的平方和，然後除以數據點數量。
- 除以 2 的情況通常出現在其他損失函數中（例如 L2 正則化），是為了簡化導數計算。