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# System prepended metadata

title: Codierungstheorie - Hausaufgaben 2
tags: [Codierungstheorie, Hausaufgabe]

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# Codierungstheorie - Hausaufgaben 2


## Vorstellung Aufgabe 3

Codewort: $u_1 u_2 u_3 c_1 c_2$
$c_1 c_2 = (u_1 + 2 \cdot u_2 + 4 \cdot u_3) \mod 3$

### a) alle Codewörter
| $u_1$ | $u_2$ | $u_3$ |     | sum | $\mod 3$ | $c_1$ | $c_2$ |
| ----- | ----- | ----- | --- |:---:|:--------:| ----- | ----- |
| 0     | 0     | 0     |     |  0  |    0     | 0     | 0     |
| 0     | 0     | **1** |     |  1  |    1     | 0     | **1** |
| 0     | **1** | 0     |     |  2  |    2     | **1** | 0     |
| 0     | **1** | **1** |     |  3  |    0     | 0     | 0     |
| **1** | 0     | 0     |     |  4  |    1     | 0     | **1** |
| **1** | 0     | **1** |     |  5  |    2     | **1** | 0     |
| **1** | **1** | 0     |     |  6  |    0     | 0     | 0     |
| **1** | **1** | **1** |     |  7  |    1     | 0     | **1** |

### b) nicht erkannte Fehlervektoren
Fehler $e = e_1,\ \ldots ,\ e_5$

#### Liste der Fehler pro Codewort:
**00000**
   - 00101
   - 01010
   - 01100
   - 10001
   - 10110
   - 11000
   - 11101

**00101**
   - 00101
   - 01001
   - 01111
   - 10011
   - 10100
   - 11000
   - 11101

**01010**
   - 00110
   - 01010
   - 01111
   - 10010
   - 10111
   - 11011
   - 11100

**01100**
   - 00110
   - 01001
   - 01100
   - 10001
   - 10100
   - 11010
   - 11101

**10001**
   - 00111
   - 01001
   - 01100
   - 10001
   - 10100
   - 11011
   - 11101

**10110**
   - 00111
   - 01011
   - 01110
   - 10011
   - 10110
   - 11010
   - 11100

**11000**
   - 00101
   - 01001
   - 01110
   - 10010
   - 10100
   - 11000
   - 11101

**11101**
   - 00101
   - 01011
   - 01100
   - 10001
   - 10111
   - 11000
   - 11101

#### Tabelle 

| $\ \quad$Codewort Fehler$\quad\oplus$ | 00000 | 00101 | 01010 | 01100 | 10001 | 10110 | 11000 | 11101 |
|:---------------------------:|:-----:|:-----:|:-----:|:-----:|:-----:|:-----:|:-----:|:-----:|
|          **00101**          |  ✖️   |  ✖️   |       |       |       |       |  ✖️   |  ✖️   |
|          **00110**          |       |       |  ✖️   |  ✖️   |       |       |       |       |
|          **00111**          |       |       |       |       |  ✖️   |  ✖️   |       |       |
|          **01001**          |       |  ✖️   |       |  ✖️   |  ✖️   |       |  ✖️   |       |
|          **01010**          |  ✖️   |       |  ✖️   |       |       |       |       |       |
|          **01011**          |       |       |       |       |       |  ✖️   |       |  ✖️   |
|          **01100**          |  ✖️   |       |       |  ✖️   |  ✖️   |       |       |  ✖️   |
|          **01110**          |       |       |       |       |       |  ✖️   |  ✖️   |       |
|          **01111**          |       |  ✖️   |  ✖️   |       |       |       |       |       |
|          **10001**          |  ✖️   |       |       |  ✖️   |  ✖️   |       |       |  ✖️   |
|          **10010**          |       |       |  ✖️   |       |       |       |  ✖️   |       |
|          **10011**          |       |  ✖️   |       |       |       |  ✖️   |       |       |
|          **10100**          |       |  ✖️   |       |  ✖️   |  ✖️   |       |  ✖️   |       |
|          **10110**          |  ✖️   |       |       |       |       |  ✖️   |       |       |
|          **10111**          |       |       |  ✖️   |       |       |       |       |  ✖️   |
|          **11000**          |  ✖️   |  ✖️   |       |       |       |       |  ✖️   |  ✖️   |
|          **11010**          |       |       |       |  ✖️   |       |  ✖️   |       |       |
|          **11011**          |       |       |  ✖️   |       |  ✖️   |       |       |       |
|          **11100**          |       |       |  ✖️   |       |       |  ✖️   |       |       |
|          **11101**          |  ✖️   |  ✖️   |       |  ✖️   |  ✖️   |       |  ✖️   |  ✖️   |

<br>

| Codewort Fehler$\quad\oplus$ | 00000 | 00101 | 01010 | 01100 | 10001 | 10110 | 11000 | 11101 |
|:---------------------------:|:-----:|:-----:|:-----:|:-----:|:-----:|:-----:|:-----:|:-----:|
|          **00101**          | 00101 | 00000 |       |       |       |       | 11101 | 11000 |
|          **00110**          |       |       | 01100 | 01010 |       |       |       |       |
|          **00111**          |       |       |       |       | 10110 | 10001 |       |       |
|          **01001**          |       | 01100 |       | 00101 | 11000 |       | 10001 |       |
|          **01010**          | 01010 |       | 00000 |       |       |       |       |       |
|          **01011**          |       |       |       |       |       | 11101 |       | 10110 |
|          **01100**          | 01100 |       |       | 00000 | 11101 |       |       | 10001 |
|          **01110**          |       |       |       |       |       | 11000 | 10110 |       |
|          **01111**          |       | 01010 | 00101 |       |       |       |       |       |
|          **10001**          | 10001 |       |       | 11101 | 00000 |       |       | 01100 |
|          **10010**          |       |       | 11000 |       |       |       | 01010 |       |
|          **10011**          |       | 10110 |       |       |       | 00101 |       |       |
|          **10100**          |       | 10001 |       | 11000 | 00101 |       | 01100 |       |
|          **10110**          | 10110 |       |       |       |       | 00000 |       |       |
|          **10111**          |       |       | 11101 |       |       |       |       | 01010 |
|          **11000**          | 11000 | 11101 |       |       |       |       | 00000 | 00101 |
|          **11010**          |       |       |       | 10110 |       | 01100 |       |       |
|          **11011**          |       |       | 10001 |       | 01010 |       |       |       |
|          **11100**          |       |       | 10110 |       |       | 01010 |       |       |
|          **11101**          | 11101 | 11000 |       | 10001 | 01100 |       | 00101 | 00000 |

<br><br>

nicht linear bzgl. $\oplus$
Vorteil: Fehler können sich nicht über eine längere Zeit akkumulieren.

7 nicht erkennbare Fehlervektoren pro Codewort. Gesamt 20 verschiedene.
$e_4 e_5 = (c_1 c_2 \oplus (u_1 + 2 \cdot u_2 + 4 \cdot u_3 + e_1 + 2 \cdot e_2 + 4 \cdot e_3)) \mod 3$

11 Fehlervektoren die immer erkannt werden: 
- 00001
- 00010
- 00011
- 00100
- 01000
- 01101
- 10000
- 10101
- 11001
- 11110
- 11111


(c) *Sven Koch, WS22/23*
###### tags: `Codierungstheorie` `Hausaufgabe`











