# Codierungstheorie - Hausaufgaben 2

## Vorstellung Aufgabe 3

Codewort: $u_1 u_2 u_3 c_1 c_2$
$c_1 c_2 = (u_1 + 2 \cdot u_2 + 4 \cdot u_3) \mod 3$

### a) alle Codewörter
| $u_1$ | $u_2$ | $u_3$ | | sum | $\mod 3$ | $c_1$ | $c_2$ |
| ----- | ----- | ----- | --- |:---:|:--------:| ----- | ----- |
| 0 | 0 | 0 | | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | **1** | | 1 | 1 | 0 | **1** |
| 0 | **1** | 0 | | 2 | 2 | **1** | 0 |
| 0 | **1** | **1** | | 3 | 0 | 0 | 0 |
| **1** | 0 | 0 | | 4 | 1 | 0 | **1** |
| **1** | 0 | **1** | | 5 | 2 | **1** | 0 |
| **1** | **1** | 0 | | 6 | 0 | 0 | 0 |
| **1** | **1** | **1** | | 7 | 1 | 0 | **1** |

### b) nicht erkannte Fehlervektoren
Fehler $e = e_1,\ \ldots ,\ e_5$

#### Liste der Fehler pro Codewort:
**00000**
- 00101
- 01010
- 01100
- 10001
- 10110
- 11000
- 11101

**00101**
- 00101
- 01001
- 01111
- 10011
- 10100
- 11000
- 11101

**01010**
- 00110
- 01010
- 01111
- 10010
- 10111
- 11011
- 11100

**01100**
- 00110
- 01001
- 01100
- 10001
- 10100
- 11010
- 11101

**10001**
- 00111
- 01001
- 01100
- 10001
- 10100
- 11011
- 11101

**10110**
- 00111
- 01011
- 01110
- 10011
- 10110
- 11010
- 11100

**11000**
- 00101
- 01001
- 01110
- 10010
- 10100
- 11000
- 11101

**11101**
- 00101
- 01011
- 01100
- 10001
- 10111
- 11000
- 11101

#### Tabelle

| $\ \quad$Codewort Fehler$\quad\oplus$ | 00000 | 00101 | 01010 | 01100 | 10001 | 10110 | 11000 | 11101 |
|:---------------------------:|:-----:|:-----:|:-----:|:-----:|:-----:|:-----:|:-----:|:-----:|
| **00101** | ✖️ | ✖️ | | | | | ✖️ | ✖️ |
| **00110** | | | ✖️ | ✖️ | | | | |
| **00111** | | | | | ✖️ | ✖️ | | |
| **01001** | | ✖️ | | ✖️ | ✖️ | | ✖️ | |
| **01010** | ✖️ | | ✖️ | | | | | |
| **01011** | | | | | | ✖️ | | ✖️ |
| **01100** | ✖️ | | | ✖️ | ✖️ | | | ✖️ |
| **01110** | | | | | | ✖️ | ✖️ | |
| **01111** | | ✖️ | ✖️ | | | | | |
| **10001** | ✖️ | | | ✖️ | ✖️ | | | ✖️ |
| **10010** | | | ✖️ | | | | ✖️ | |
| **10011** | | ✖️ | | | | ✖️ | | |
| **10100** | | ✖️ | | ✖️ | ✖️ | | ✖️ | |
| **10110** | ✖️ | | | | | ✖️ | | |
| **10111** | | | ✖️ | | | | | ✖️ |
| **11000** | ✖️ | ✖️ | | | | | ✖️ | ✖️ |
| **11010** | | | | ✖️ | | ✖️ | | |
| **11011** | | | ✖️ | | ✖️ | | | |
| **11100** | | | ✖️ | | | ✖️ | | |
| **11101** | ✖️ | ✖️ | | ✖️ | ✖️ | | ✖️ | ✖️ |

<br>

| Codewort Fehler$\quad\oplus$ | 00000 | 00101 | 01010 | 01100 | 10001 | 10110 | 11000 | 11101 |
|:---------------------------:|:-----:|:-----:|:-----:|:-----:|:-----:|:-----:|:-----:|:-----:|
| **00101** | 00101 | 00000 | | | | | 11101 | 11000 |
| **00110** | | | 01100 | 01010 | | | | |
| **00111** | | | | | 10110 | 10001 | | |
| **01001** | | 01100 | | 00101 | 11000 | | 10001 | |
| **01010** | 01010 | | 00000 | | | | | |
| **01011** | | | | | | 11101 | | 10110 |
| **01100** | 01100 | | | 00000 | 11101 | | | 10001 |
| **01110** | | | | | | 11000 | 10110 | |
| **01111** | | 01010 | 00101 | | | | | |
| **10001** | 10001 | | | 11101 | 00000 | | | 01100 |
| **10010** | | | 11000 | | | | 01010 | |
| **10011** | | 10110 | | | | 00101 | | |
| **10100** | | 10001 | | 11000 | 00101 | | 01100 | |
| **10110** | 10110 | | | | | 00000 | | |
| **10111** | | | 11101 | | | | | 01010 |
| **11000** | 11000 | 11101 | | | | | 00000 | 00101 |
| **11010** | | | | 10110 | | 01100 | | |
| **11011** | | | 10001 | | 01010 | | | |
| **11100** | | | 10110 | | | 01010 | | |
| **11101** | 11101 | 11000 | | 10001 | 01100 | | 00101 | 00000 |

<br><br>

nicht linear bzgl. $\oplus$
Vorteil: Fehler können sich nicht über eine längere Zeit akkumulieren.

7 nicht erkennbare Fehlervektoren pro Codewort. Gesamt 20 verschiedene.
$e_4 e_5 = (c_1 c_2 \oplus (u_1 + 2 \cdot u_2 + 4 \cdot u_3 + e_1 + 2 \cdot e_2 + 4 \cdot e_3)) \mod 3$

11 Fehlervektoren die immer erkannt werden:
- 00001
- 00010
- 00011
- 00100
- 01000
- 01101
- 10000
- 10101
- 11001
- 11110
- 11111

(c) *Sven Koch, WS22/23*
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