$\text{2020 APMO}$ 初試題目

--- image: https://matholympiad.org.bd/images/2017/11/20/apmo-logo.jpg --- # $\text{2020 APMO}$ 初試題目 :::info 說明：本試題共兩頁，分成兩部份：選填題與非選擇題。作答方式： - 選填題用 2B 鉛筆在「答案卡」上作答；更正時，應以橡皮擦擦拭，切勿使用修正液(帶)。 - 非選擇題用藍、黑色原子筆在「答案卷」上作答；更正時，可以使用修正液(帶)。 - 未依規定畫記答案卡，致機器掃描無法辨識答案；或未使用藍、黑色原子筆書寫答案卷，致評閱人員無法辨認之答案者，其後果由考生自行承擔。 - 答案卷每人一張，不得要求增補。 ::: ## 第一部份：選填題 :::warning 說明：本部份共有五題，每一題或子題配分標於題前，答錯不倒扣，未完全答對不給分。答案卡填答注意事項：答案的數字位數少於填答空格數時，請適度地在前面填入 0。 ::: p1. > ($7$分) 設三角形 $ABC$ 滿足 $\cos A:\cos B:\cos C=1:1:2$。將 $\sin A$ 表示為 $\sqrt[s]{t}$，其中 $s$ 為正整數，$t$ 為正有理數且為最簡分數。試問：$s+t={[1][2]\over [3]}$。(化成最簡分數) p2. > 甲和乙兩人分別擲 $n$ 個公平的硬幣，並以 $X$ 和 $Y$ 記兩個人投擲出正面向上的硬幣個數。假設兩人擲硬幣是互相獨立的實驗。試問： > 1. ($3$分) $n=5$ 時，$X=Y$ 的機率是多少？答：${[4][5]\over[6][7][8]}$。(化成最簡分數) > 2. ($4$分) $n=6$ 時，$X=Y+1$ 的機率是多少？答：${[9][10]\over[11][12][13]}$。(化成最簡分數) p3. > 令 $M$ 為四位數之正整數。將 $M$ 的四個數字反過來寫出一個新的四位數 $N$ (例如：將四位數 $1234$ 的四個數字反過來寫，變成 $4321$)。令 $C$ 為 $M$ 的各位數的數字和。已知 $M,N$ 與 $C$ 滿足下列性質： > (i) 令 $d$ 為 $M-C$ 與 $N-C$ 的最大公因數且 $d<10$。 > (ii) $\large{M-C \over d}$ 與 $\large{\lfloor{N \over 2}\rfloor}$$+1$ 的整數部分相同。 > > 試問： > 1. ($3$分) $d=[14]$。 > 2. ($4$分) 若滿足上述性質 (i) 與 (ii) 的 $M$ 共有 $m$ 個，且最大的值為 $M_{max}$ 則 $(m,M_{max})=([15][16],[17][18][19][20])$。 p4. > ($7$分) 令 $\mathbb{N}$ 表示所有正整數的集合。已知滿足： > $$1 \le a \le b\ 與\ {a^2+b^2+a+b+1 \over ab} \in \mathbb{N},$$ > 的所有正整數解 $(a,b)=(a_n,a_{n+1}), \forall n \in \mathbb{N}$，其中 $a_n$ 的值由下列遞增的遞迴關係唯一決定： > $$a_{n+2}=pa_{n+1}+qa_n+r.$$ > 試問 $(p,q,r)=([21],[22][23],[24][25])$ p5. > 設 $\mathcal{S}$ 為所有 $\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$ 的排列所成的集合。 > 1. ($2$分) 對任一個 $1, 2, \ldots, 8$ 的排列 $\sigma \in \mathcal{S}$，計算下列的乘積和： > $$A = \sigma_1 \sigma_2 + \sigma_3 \sigma_4 + \sigma_5 \sigma_6 + \sigma_7 \sigma_8.$$ > 則對 $\mathcal{S}$ 內的所有元素，所得的 $A$ 的算術平均數為 $[26][27]$。 > 2. ($5$分) 在 $\mathcal{S}$ 中，滿足「對所有的 $k=1,2,\dots,7,\ k$ 的後一個數字必定不是 $(k+1)$」的排列共有 $[28][29][30][31][32]$ 個。 --- ## 第二部份：非選擇題，共兩題 :::warning 說明：每題七分，答案必須寫在「答案卷」上，並標明題號與子題號，同時必須寫出演算過程或理由，否則將予扣分甚至零分。作答使用藍、黑色原子筆書寫，且不得使用鉛筆。若因字跡潦草、未標示題號、標錯題號等原因，致評閱人員無法清楚辨識，其後果由考生自行承擔。每一子題配分標於題前。 ::: p6. > 令 $a,b,c$ 為正實數且 $k$ 為 > $${13a+13b+2c \over 2a+2b} + {24a-b+13c \over 2b+2c} + {(-a+24b+13c)\over 2c+2a}\ 的最小值。$$ > 試回答下列問題： > 1. ($5$分) 試求 $k$。 > 2. ($2$分) 若最小值發生於 $(a,b,c)=(a_0,b_0,c_0)$ 時，試求 $\large{{b_0 \over a_0} + {c_0 \over b_0}}$。 p7. > 將三角形 $XYZ$ 的面積記為 $[XYZ]$，已知三角形 $ABC$ 的三邊長分別為 $\overline{BC}=6, \overline{CA}=7, \overline{AB}=8$。試回答下列問題： > 1. ($3$分) 設 $\triangle ABC$ 的外心為 $O$。試求面積比 $[OBC]:[OCA]:[OAB]$。 > 2. ($4$分) 設 $\triangle ABC$ 的垂心為 $H$。試求面積比 $[HBC]:[HCA]:[HAB]$。 --- ## 答案 (已反白處理) 如答案有誤煩請告知 [FB 貼文連結](https://www.facebook.com/groups/706762492694458/permalink/2937261132977905/) p1. 19/4 p2A. 63/256 p2B. 99/512 p3A. 9 p3B. (01 or 02, 9102) (分別是3270跟9102，不過可能3270不算) p4. (5, -1, -1) p5A. 78 p5B. 16687 p6A. 19+2*sqrt(5) (感謝Jee Jason提供的答案) p6B. 2*sqrt(5) (在 a:b:c = 1:1:2*sqrt(5)-1 的時候有最大值) (感謝Jee Jason提供的答案) p7A. 132:119:64 (感謝Jee Jason提供的答案) p7B. 51:77:187 (感謝Jee Jason提供的答案) ## 題解 (還沒寫完) [$\text{2020 APMO}$ 初試題解](/VdLq7NBGRQWCRGL-Juhrfw) ###### tags: `APMO` `Problems`