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# 2020 APMO 初試題解

[$\text{2020 APMO}$ 初試題目](/@SorahISA/rJ6qq_kTB?fbclid=IwAR26jWt3unGH7iHByXe9TKzEG1ml91AjoiOcw1fPQbf_E4c4hleLPbv_opc)

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## Problem 1.

由題序可看出 $\overline{AC} = \overline{BC}$，$\triangle ABC$ 為等腰三角形
因為 $\angle A = \angle B$ 且 $\angle A + \angle B + \angle C = 180^。$，得 $2\cos A = \cos C = \cos(180^。-2A)$
$\cos(180^。-2A) = -\cos 2A$
$2\cos A = -\cos 2A = 1 - 2\cos^2 A$
$\Rightarrow 2\cos^2 A + 2\cos A - 1 = 0$

由公式解可得 $$\cos A = {-2 \pm \sqrt{12} \over 4} = {\sqrt{3} - 1 \over 2}\ (負不合)$$

$\cos^2 A = 1 - {\sqrt{3} \over 2} \Rightarrow \sin^2 A = {\sqrt{3} \over 2} \Rightarrow \sin A = \sqrt[4]{3 \over 4}$

$\large{4 + {3 \over 4} = {19 \over 4}}$

## Problem 2.

擲 $n$ 枚公平硬幣並有 $m$ 枚正面的機率是 $$C^n_m \over 2^n$$

所以題目 $(1)$ 相當於計算 $$\sum^5_{i=0}{\left({C^5_i \over 2^5}\right)^2} = {63 \over 256}$$

題目 $(2)$ 相當於計算 $$\sum^5_{i=0}{C^6_i \times C^6_{i+1} \over (2^6)^2} = {99 \over 512}$$

## Problem 3.

將 $M$ 表示為 $1000w+100x+10y+z$，
則 $N$ 可表示為 $w+10x+100y+1000z$、
且 $C$ 可表示為 $w+x+y+z$。

$(1)$ $d = \gcd(M-C, N-C) = \gcd(999w+99x+9y, 9x+99y+999z) < 10$
$\Rightarrow d = 9$

$(2)$ 將 $w=9,8,7,\dots,1$ 依序代入，可解出 $(w,x,y,z) = (9,1,0,2), (3,2,7,0)$
因為 $3270$ 反轉後是 $0723$，不算四位數，故答案為 $(01, 9102)$

## Problem 4. 不嚴謹的題解

手算前幾項得到 $(1,1),(1,3),(3,13),(13,61)$

接下來觀察規律，可以看出(?)每一項大概都是前一項的 $5$ 倍，再把 $5$ 代入就得到 $(p,q,r) = (5, -1, -1)$ 了。

## Problem 5. 不完整的題解

$(1)$ 計算出 $$\sum_{1 \le i<j \le 8}{i \times j}$$
再把他除以 $7$ 就是解答 (總共有 ${8 \times 7 \over 2} = 28$ 組乘積，平均取其中四組)

$(2)$ 不會算。據說是排容？

## Problem 6. 還沒寫的題解

## Problem 7. 還沒寫的題解

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