---
breaks: false
---

[HSE Preps] Hilbert spaces (BY-EXAMPLE)
===

Defs
---
Л.П. $\mathcal{H}$ называется *гильбертовым* (*Hilbert space*),
если оно снабженно функционалом $(\cdot,\cdot):\mathcal{H}^2\to\mathbb{K}$,
где $\mathbb{K}\in\{\mathbb{R},\mathbb{C}\}$,
называемым *скалярным произведением*,
который удовлетворяет следующим аксиомам:
1. $(\alpha x, y) = \alpha (x,y),$
2. $(x+y, z) = (x, z) + (y, z),$
3. $(x, y) = \overline{(y, x)},$
4. $(x, x) \geq 0.$
для всех $x,y,z\in\mathcal{H}$ и $\alpha\in\mathbb{K}$.

Легко заметить, что скалярное произведение индуцирует норму
$$\|x\|=(x,x).$$

**Утверждение**: для нормы, индуцированной скалярным произведением выполняется равенство параллелограмма:
$$2\|x\|^2 + 2\|y\|^2 = \|x+y\|^2 + \|x-y\|^2.$$

$\mathbb{R}^n$
---
Конечномерное вещественное гильбертово пространство называется *евклидовым*.
$$x{=}(x_1,\ldots,x_n),\ y{=}(y_1,\ldots,y_n),$$
$$(x,y) = \sum_{j=1}^n x_i j_i.$$

$L^2,\ l^2$
---

Рассмотрим пространство $L^2(X)$ (см. [Нормированные пространства](https://hackmd.io/c/H1k80lyYZ/https%3A%2F%2Fhackmd.io%2FIwBgxgRgLDILQFYCmIDscpIGYA44SwE4BmOAJihxwBMojbVig%3D%3D%3D)).
Его норма удовлетворяет равенству параллелограмма,
а значит в нём можно ввести скалярное произведение,
индуцирующее эту норму:
$$(f,g) = \int_X f(x)\overline{g(x)}\mathrm{d}x,$$
$$\|f\|_2 = (f,f)= \int_X \lvert f(x) \rvert^2 \mathrm{d}x.$$

Аналогично в $l_2$:
$$\|x\|_2 = \sum_{j\in\mathbb{N}} x_j^2.$$