# [HSE Preps] К алгебре
Алгебра, говоря неформально, занимается вопросами структуры множеств. Под структурой, вообще говоря, понимаются заданные на множестве отношения (отображения).

1. Под алгебраической операцией на множестве $X$ понимают всякое отображение $\circ:X\times X \to X$. При этом для обозначения $\circ(x_1, x_2)$ часто используется мультипликативная форма записи: $x_1 \circ x_2$ или $x_1 x_2$, и мультипликативная терминология (*множители* и *произведение*).
2. Некоторые важные виды операций:
1. Ассоциативные: для всех $x_1, x_2, x_3\in X$ имеет место $(x_1 x_2) x_3 = x_1 (x_2 x_3)$.
**NB**: Ассоциативность операции означает, что расставлять скобки --- не нужно.
Примеры: сложение и умножение в $\mathbb{R}$, свёртка (convolution) интегрируемых функций.
2. Коммутативные: $\forall x_1, x_2\in X (x_1 x_2 = x_2 x_1)$.
Для коммутативных операций часто используются аддитивные запись ($+$) и терминология (*слагаемые, сумма*).
3. [&c](https://en.wikipedia.org/wiki/Binary_operation#Properties_and_examples)

3. (Бесполезно) Множество с заданной на нём операцией (без дополнительных ограничений) называют *магмой* (*magma*).
4. Полугруппа (semigroup) --- множество с ассоциативной операцией
5. Моноид (monoid) --- полугруппа с единицей.
Элемент $1\in X$ --- левая (правая) единица (left|right identity, реже unity) полугруппы $X$, или *нейтральный элемент*, если $1 x = x$ ($x 1 = x$) для всех $x\in X$. $1\in X$ --- единица, если $1 x = x 1 = x$ для всех $x\in X$.
6. Группа (group) --- моноид, операция которого обратима (invertible).
Операция называется обратимой, если для каждого элемента $x\in X$ группы существует обратный ему элемент $x^{-1}\in X$, такой что $x x^{-1} = x^{-1} x = 1$.
Элемент $x\in X$ моноида, для которого существует такой элемент $x^{-1}$, что $x^{-1} x=1$ ($x x^{-1}$) называется обратимым (invertible) слева (справа), а соответствующий $x^{-1}$ называется левым (правым) обратным (inverse) к $x$.
7. Абелева (abelian) группа --- группа, в которой любые два элемента коммутируют. Операцию абелевой группы называют сложением и обозначают $+$, единицу -- нулём и обозначают $0$, обратный элемент --- противоположным, обозначают $-x$.
8. Кольцо (ring) --- множество наделённое двумя бинарными операциями, являющееся абелевой группой относительно одной операции, называемой сложением, и полугруппой относительно другой, называемой умножением.
9. Кольцо с единицей (unital ring) --- кольцо, в котором есть единица относительно умножения.
10. Тело (division ring) --- кольцо с единицей, в котором все ненулевые элементы обратимы относительно умножения.
11. Поле (field) --- тело с коммутативным умножением.
13. Линейное пространство над полем $\mathbb{X}$ --- абелева группа $X$, наделённая операцией умножения на скаляр из $\mathbb{K}$, удовлетворяющей следующим аксиомам:
1. $(\alpha\beta) x = \alpha (\beta x), \forall x\in X, \alpha\beta\in\mathbb{K},$
2. $1_\mathbb{K} x = x, \forall x\in X,$
3. $\alpha(x_1 + x_2) = \alpha x_1 + \alpha x_2, \forall x_1,x_2\in X, \alpha\in\mathbb{K},$
4. $(\alpha + \beta) x = \alpha x + \beta x, \forall x\in X, \alpha, \beta \in\mathbb{K}.$
14. Алгебра над полем (algebra over a field) --- линейное пространство, наделённое операцией умножения.

digraph {
    
    nodestep=1.0
    node [shape=box]
    edge []
    rankdir=TB
    Magma -> Semigroup [label=Associativity]
    Semigroup -> Monoid [label=Identity]
    Monoid -> Group [label=Invertibility]
    {rank=same; Group -> AbelianGroup [label=Commutativity]}
    AbelianGroup -> RingWIdentity [label="Addition"]
    Group -> RingWIdentity [label="Multiplication"]
    RingWIdentity -> DivisionRing [label="Invertible nonzeroes   "]
    DivisionRing -> Field [label="Commutativity"]
    RingWIdentity -> Algebra [label="Linear structure"]
    
    AbelianGroup [label="Abelian Group"]
    RingWIdentity [label="(Unital) Ring"]
    DivisionRing [label="Division ring"]
    Algebra [label="Algebra (over a field)"]
}

## Problems
### 2017-mar-23 010_011@hse [^010_011-2017] I.3
Construct a noncommutative group with an odd number of elements

[^010_011-2017]: https://olymp.hse.ru/data/2017/03/23/1169853825/010_011_%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0_17.pdf