---
# System prepended metadata

title: ODE solution derivation via Taylor series

---

---
breaks: false
---

ODE solution derivation via Taylor series
===

Однородное уравнение
---

Рассмотрим обыкновенное уравнение
$$\tag{1}\label{eq:hom} \dot x(t) = A x(t),$$
$$x: \mathbb{R}_{+}\to\mathbb{R}^n,$$
$$A\in L(\mathbb{R}^n).$$

Один из классических методов решения
этого уравнения восходит к, кажется, Ньютону или Бэрроу (поискать ссылки, хотя и без них ясно):
дифференцируя $k{-}1$ раз обе части уравнения $\eqref{eq:hom}$, получаем
$$x^{(k)}(t) = Ax^{(k-1)}(t).$$
Следовательно, в окрестности нуля $C^\infty$-решение можно представить
в виде ряда
$$x(t) = \sum_{k=0}^\infty \frac{t^k}{k!}A^k x(0).$$
Этот ряд сходится при всех $t\in\mathbb{R}$
и $A\in L(\mathbb{R}^n)$ и по-определению:
$$\exp(t A) = \sum_{k=0}^\infty \frac{t^k}{k!}A^k \in L(\mathbb{R}^n).$$

Итак,
$$\tag{2}\label{sol:homo}x(t) = \exp(t A) x(0).$$

Неоднородный случай
---

Рассмотрим неоднородное уравнение
$$\tag{3}\label{eq:inhom} \dot x(t)=A x(t) + f(t),$$
$$x: \mathbb{R}_{+}\to\mathbb{R}^n,$$
$$A\in L(\mathbb{R}^n).$$
Классический способ решения такого уравнения ---
метод вариации произвольной постоянной (ссылку на функан Крейна), до которого нужно "догадаться".
Однако, хотелось бы (хотя бы из спортивного интереса) вывести общее решенее пользуясь соображениями,
аналогичными однородному случаю --- это прямой, наивный и интуитивный подход, для которого не требуется "догадок".

Пусть **для начала** $f\in C^{\infty}(\mathbb{R}, \mathbb{R}^n) \stackrel{\textrm{def}}{=} C^\infty$ ---
бесконечно-дифференцируемая функция
с конечной нормой
$$\|f\|_\infty =
\sum_{k=0}^\infty \|f\|_k =
\sum_{k=0}^\infty \sup_t \|f^{(k)}(t)\|.$$

Дифференцируя $\eqref{eq:inhom}$, получим
$$x^{(k)}(t) = A x^{(k-1)}(t) + f^{(k-1)}(t) =$$
$$=A^k x(t) + f_k(t),$$
где
$$f_k(t) = f^{(k-1)}(t) + A f^{(k-2)}(t) + \cdots + A^{k-1} f(t),$$
$$f_k(t) = A f_{k-1}(t) + (D f^{(k-1)})(t),$$
или
$$\tag{4}\label{eq:f_k}
f_k = (AI + D)f_{k-1} =
(AI + D)^{k-1} f_1,$$
где
$$I, AI, D:C^\infty\to C^\infty,$$
$I$ --- тождественный оператор,
$AI$ --- оператор, действующий по формуле
$(AI f)(t) = Af(t)$,
а $D$ --- оператор дифференцирования.

Тогда уравнение $\eqref{eq:f_k}$
можно, с помощью операторной матрицы, переписать в виде
$$
\begin{pmatrix}
f_k\\
f^{(k-1)}
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
AI & D \\
0 & D
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
f_{k-1}\\
f^{(k-2)}
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
AI & D \\
0 & D
\end{pmatrix}^{k-1}
\begin{pmatrix}
f\\
f
\end{pmatrix},$$

$$f_k(0) = 
\begin{pmatrix}
\mathbf{1} & \mathbf{0}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
AI & D \\
0 & D
\end{pmatrix}^{k-1}
\begin{pmatrix}
f\\
f
\end{pmatrix}(0),$$
$$f_k(0) = 
\begin{pmatrix}
\mathbf{1} & \mathbf{0}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
AI & I \\
0 & D
\end{pmatrix}^{k-1}
\begin{pmatrix}
f\\
f'
\end{pmatrix}(0),$$
где $\mathbf{1},\mathbf{0}\in \mathbb{R}^n$ --- векторы-столбцы.

Стало быть, на каких-то хороших функциях $f$
в окрестности нуля решение будет иметь вид
$$x(t) = e^{t A}x(0) +
t f_1(0) + \frac{t^2}2 f_2(0) + \frac{t^3}{6} f_3(0) + \cdots =$$
$$= e^{t A}x(0) +
t (I f)(0) + \cdots
\frac{t^k}{k!}
\begin{pmatrix}
\mathbf{1} & \mathbf{0}
\end{pmatrix}
\left[
\begin{pmatrix}
AI & D \\
0 & D
\end{pmatrix}^{k-1}
\begin{pmatrix}
f\\
f
\end{pmatrix}\right](0) + \cdots$$


* * *

Notes&garbage
---

В окрестности нуля для $f\in C^\infty$:
$$(e^{t D}f)(0)=f(t),$$
где $e^{t D}$ --- линейный оператор,
определённый понятно--какой--формулой на тех $f$,
для которых этот ряд имеет смысл,
то есть, вроде бы, на $C^\infty$.

Ещё:
$$\frac{\partial}{\partial t} e^{t \mathcal{A}} = 
\frac{\partial}{\partial t}\left(
I + t\mathcal{A} + \frac{t^2}{2} \mathcal{A}^2 + \cdots
\right) =
\mathcal{A} + t\mathcal{A}^2 + \cdots =
\mathcal{A} e^{t \mathcal{A}},$$

$$\mathcal{A} \int_0^t e^{s \mathcal{A}} \mathrm{d}s = \mathcal{A} \left(
t I + \frac{t^2}{2} \mathcal{A} + \cdots \right) =
e^{t \mathcal{A}} - I.
$$

Всё это, по-идее, сходится для ограниченных операторов $\mathcal{A}$, потому что экспонента.
Хотя надо бы разобраться с оператором дифференцирования.
Так как он понимается $C^\infty\to C^\infty$,
то все его степени определены,
но не ограничены. И что с ним делать и как, вообще, определить экспоненту?
Определить на каком-нибудь другом пространстве, или рассмотреть как замкнутый оператор?