---
breaks: false
---
# Baskakov, 11.10.2017
$$\dot{x}(t) = Ax(t) + f(t),\ t\geq 0.$$
(см. 1948, М.Г. Крейн).

Пусть для любой
$$f\in C_b(\mathbb{R}_{+}, X)$$
это уравнение имеет ограниченное решение.
Тогда $$\sigma(A) < 0$$.

* Кучер Д.Л. 1949 Доклады АН СССР.

Предположительно:
> Кучер, Д. Л. "О некоторых критериях ограниченности решений системы дифференциальных уравнений." Докл. АН СССР. Vol. 69. 1949.
* Bellman, 1948.

Предположительно:
> Bellman, R. "A Survey of the Boundedness, Stability and Asymptotic Behavior of Linear and Nonlinear Differential and Difference Equations." ONR, Washington, DC (1948).

http://www.dtic.mil/dtic/tr/fulltext/u2/a950244.pdf

Или, скорее-всего:
> On an Application of a Banach-Steinhaus Theorem to the Study of the Boundedness of Solutions of Non-Linear Differential and Difference Equations. DOI: 10.2307/1969041

https://www.jstor.org/stable/1969041

Любое решение записывается в виде (*TODO: CHECK*):
$$
x(t) = \int_0^t e^{As}f(s)\mathrm{d}s.
$$

Проверить, возможно этот интеграл
совпадает с
$$\int_0^t e^{A(t-s)} f(s) \mathrm{d}s =$$
(subst $t-s=\tau,\ \mathrm{d}s= -\mathrm{d}\tau$,
and watch the integration limits)
$$=\int_0^t e^{A\tau}f(t-\tau)\mathrm{d}\tau.$$

Nota Bene:
$x(t) = e^{At} x_0 + \int_0^t e^{A(t-s)}f(s)\mathrm{d}s.$

Conside a special inhomogeneity
$$f(t) = ye^{At}$$
--- a $2\pi$-periodic function.

Then the solution:
$$\int_0^t e^{A(t-s)} y \mathrm{d}s$$

Let $y\in\operatorname{Ker}A$:

$$\int_0^t e^{A(t-s)} y \mathrm{d}s = $$
$$\int_0^t \left(I + \frac{A(t-s)}{1!} + \cdots\right)y \mathrm{d}s = $$
$$\int_0^t y \mathrm{d}s,$$
since $Ay=0$.

Then let $A y_0 = \lambda_0 y_0 \neq 0$.
$$\int_0^t \left(I + \frac{A(t-s)}{1!} + \cdots\right)y_0 \mathrm{d}s = $$
$$\int_0^t y_0 \mathrm{d}s,$$
$$
\int_0^t e^{i\lambda_0(t-s)} e^{i\lambda_0s} y_0 \mathrm{d}s $$

$$\int_0^t e^{A(t-s)} f_0(s) y_0 \mathrm{d}s$$
$$y_0 \int_0^t e^{i\lambda_0 (t-s)}f_0(s)\mathrm{d}s$$

$$\phi_0(t)y_0$$

Какую взять функцию $f_0$,
чтобы $\phi_0(t)\to 0$?

Elliptic PDE's: эллиптичность не нужна,
нужна спектральная теория функций.

$$-\frac{1}{1+t^2}y_0 - \frac{1}{t}Ay_0$$

## Задача
Подобрать конечный набор функций
$f_1, \ldots, f_m$,
по образам которых можно будет
судить о нахождении $\sigma(A)$
относительно мнимой оси.