## Topic list by HSE

### Линейная алгебра
* [ ] Векторы, матрицы и действия с ними. Линейная зависимость системы векторов. Базис линейного пространства. Скалярное произведение.
* [ ] Определитель квадратной матрицы. Вычисление определителей. Разложение определителя по строке и по столбцу.
* [ ] Транспонированная матрица. Обратная матрица. Ранг матрицы. Специальные виды матриц.
* [ ] Системы линейных уравнений. Метод Крамера. Метод Гаусса. Фундаментальная система решений.
* [ ] Собственные числа и собственные векторы матрицы. Собственные и инвариантные подпространства.
* [ ] Характеристический многочлен. Аннулирующий и минимальный многочлены. Теорема Гамильтона-Кэли.
* [ ] Квадратичные формы. Матрица квадратичной формы. Условие положительной (отрицательной) определенности квадратичной формы. Критерий Сильвестра. Индексы инерции квадратичных форм.

### Математический и Функциональный Анализ
* [ ] Множества. Операции над множествами.
Числовые множества. Грани множеств. Множества
в $\mathbb{R}^n$. Соответствие множеств. Счетные и несчетные множества.
* [ ] Числовые последовательности и пределы.
Свойства сходящихся последовательностей.
Признаки существования предела.
Первый и второй замечательные пределы.
* [ ] Функции одной переменной. Производные. Исследование и построение графика функции.
* [ ] Функции многих переменных. Частные производные.
Полный дифференциал. Градиент функции. Производная по направлению. Матрица Гессе.
Безусловный экстремум функции многих переменных.
Необходимые и достаточные условия экстремума функции многих переменных.
Задача на условный экстремум. Метод множителей Лагранжа. Условия дополняющей нежесткости.
* [ ] Понятие о квадратичных формах.
Выпуклые функции и множества. Оптимизация при наличии ограничений.
Функция Лагранжа и ее стационарные точки.
Метод множителей Лагранжа.
* [ ] Неопределенный интеграл и его исчисление.
Определенный интеграл. Несобственные интегралы.
Кратные интегралы и их исчисление.
* [ ] Понятие ряда и его сходимости.
Свойства сходящихся рядов. Признаки сходимости положительных рядов.
Знакопеременные ряды. Функциональные ряды.
Равномерная сходимостьфункционального ряда.
Степенные ряды. Радиус сходимости степенного ряда.
Интегрирование и дифференцирование степенных рядов. Ряды Тейлора и Маклорена.

### Дифференциальные уравнения
* [ ] Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной. Понятие решения. Поле направлений. Изоклины. Интегральные кривые. Задачи Коши.
* [ ] Уравнения в полных дифференциалах. Метод замены переменных. Интегрирующий множитель. Уравнения Бернулли и Риккати.
* [ ] Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Метод вариации постоянной. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка.
* [ ] Однородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Устойчивость решения по Ляпунову.
* [ ] Неоднородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и с правой частью в виде квазимногочлена.
* [ ] Системы линейных дифференциальных уравнений. Фазовое пространство и фазовый портрет. Понятие устойчивости решений динамической системы. Устойчивость решений по Ляпунову. Асимптотическая устойчивость.

### Комбинаторика
* [ ] Основные правила комбинаторики. Правило подсчета количества комбинаторных объектов. Принцип Дирихле. Примеры.
* [ ] Множества. Круги Эйлера, операции на множествах. Формула включений и исключений. Примеры.
* [ ] Сочетания. Размещения, перестановки и сочетания. Бином Ньютона. Треугольник Паскаля. Сочетания с повторениями.

### Теория вероятностей и математическая статистика

* [ ] Основные понятия теории вероятностей. Случайные события и случайные величины. Функция плотности распределения. Совместное распределение нескольких случайных величин. Условные распределения.
* [ ] Характеристики распределений случайных величин (математическое ожидание, дисперсия, ковариация). Свойства математического ожидания и дисперсии. Условное математическое ожидание. Распределение дискретных случайных величин (биномиальное, геометрическое, гипергеометрическое, распределение Пуассона).
* [ ] Нормальное распределение и связанные с ним $χ^2$-распределение, основные свойства.
* [ ] Генеральная совокупность и выборка. Выборочное распределение и выборочные характеристики (среднее, дисперсия, ковариация, коэффициент корреляции).
* [ ] Статистическое оценивание. Точечные оценки. Линейность, несмещенность, эффективность и состоятельность оценок. Интервальные оценки, доверительный интервал. Метод моментов и метод наибольшего правдоподобия для точечной оценки параметров распределения.
* [ ] Статистические выводы и проверка статистических гипотез. Ошибки 1-го и 2-го рода. Уровень доверия и проверка значимости.