110 交大資工二階數學試題

by 管培勛、林敏智、吳亞宸、劉亦翔

題目皆為單選題，一個題組 16 或 17 分，整個題組全對才給分。

1. 如圖，

   $\overline{AO}\perp \overline{BO},\overline{OD}=\overline{CD},\overline{CE}=\overline{BE}$，問:
   
   1. $\alpha$、
      $\beta$ 關係?
   2. 面積比
      $\frac{\mathrm{△}ODC}{\mathrm{△}CEB}=$ ?

2. $$\begin{gathered} A=\left(\begin{array}{cc}4& -\sqrt{5}\\ 2\sqrt{5}& 2\end{array}\right)\mathrm{可}\mathrm{以}\mathrm{分}\mathrm{解}\mathrm{成}P\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& -1\end{array}\right)P^{-1} \\ ，\mathrm{其}\mathrm{中}P=\left(\begin{array}{cc}1& \sqrt{5}\\ \sqrt{5}& 2\end{array}\right) \\ \mathrm{又}\mathrm{有}\mathrm{兩} \end{gathered}$$
   
   $$\begin{gathered} \mathrm{整}\mathrm{數}M,N\mathrm{符}\mathrm{合}1\le N<8,|M|\le N \\ \mathrm{且}{A}^N-(M-N^2)A\mathrm{內}\mathrm{的}\mathrm{所}\mathrm{有}\mathrm{元}\mathrm{素}\mathrm{都}\mathrm{是}\mathrm{整}\mathrm{數}，\mathrm{問}: \end{gathered}$$
   1. $(M,N)$ 有幾種可能?
   2. 下列對於
      $M$、
      $N$ 的敘述何者正確?
3. 1. 線上遊戲常用抽卡的方式來玩，現在卡池無限，且抽到大獎的機率是5%。問連續五次都沒抽到大獎的機率?
   2. 同上，求連續抽五次至少抽中一張的機率?
   3. 現在有二十張牌，裡面只有一張大獎，抽出不放回。問連續五次都沒抽到大獎的機率?
   4. 同上，求連續抽五次至少一張大獎的機率?

4. 先贏三場者勝，當終止遊戲時依照獲勝機率分配獎金。

   1. 甲乙勝率同。甲已贏二場，乙已贏一場。現終止遊戲，則獎金該如何分配比例?
   2. 同上條件。甲已贏一場。現終止遊戲，則獎金該如何分配比例?
   3. 甲使用幸運之物，勝率提升至
      $\frac{2}{3}$。甲已贏二場，乙已贏一場。現終止遊戲，則獎金該如何分配比例?
   4. 同上條件。甲已贏一場。現終止遊戲，則獎金該如何分配比例?

5. $m$ 個方程式有
   $n$ 個未知數，則下列情形解的狀況:

   題目問下列敘述對幾個

   1. $m=n$
   2. $m>n$
   3. $m<n$
6. 1. 給
      $3\times 3$ 矩陣
      $A$，求其反矩陣
   2. 給
      $4\times 4$ 矩陣
      $A$，求其反矩陣
   3. 下列敘述何者錯誤:
      A. 若
      $A^{-1}$、
      $B^{-1}$ 皆存在，則
      $(A+B{)}^{-1}$ 存在
      B. 若
      $A^{-1}$ 存在，則
      $det(A)\ne 0$
      C. 若
      $(ABC{)}^{-1}$ 且
      $B^{-1}$、
      $C^{-1}$ 皆存在，則
      $A^{-1}$ 存在
      D. 若
      $A$ 為對稱矩陣且
      $A^{-1}$ 存在，則
      $A^{-1}$ 亦為對稱矩陣
      E. 以上皆是