# 110 交大應數二階數學試題
> 一題 20 分，共 5 題，內有子題
> 請寫出計算過程，否則不予計分

> 公式:
> 正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$
> 正弦三倍角 $\sin 3\theta=3\sin\theta-4\sin^{3}\theta$
> 迴歸直線斜率 $m=\frac{\sum\limits_{i=1}^{n}{(x_{i}-\mu_{x})(y_{i}-\mu_{y})}}{\sum\limits_{i=1}^{n}{(x_{i}-\mu_{x})^2}}$

> 註: 2.a 太簡單所以沒人記得，5 各點的機率不太確定

1.
a. 給三個點求三角形面積。 *(6 pts)*
b. 給三個三維向量求其圍成的平行六面體體積。 *(6 pts)*
c. $W=D \cdot C \cdot B \cdot A$，求 $det(W)$。 *(8 pts)*

2.
a. *(6 pts)*
b. 求在橢圓 $x^2+\frac{y^2}{3}=1$ 上的點到直線 $x-y-10=0$ 之最短距離。 *(6 pts)*
c. $\theta=\frac{\pi}{100}$，求 $\sin\theta+\sin3\theta+...+\sin199\theta=$? *(8 pts)*

3. $f(x)=ax^4+x^3-(3a+1)x^2-6x-4a,a\in \mathbb{R}$
a. 試證: 對於所有實數 $a$，$f(x)$ 都存在一個共同實根。並試求之。 *(10 pts)*
b. 試證: 存在實數 $x_{0}$ 使得 $\forall a \in \mathbb{R},f(x_{0})\neq0$。 *(10 pts)*

4. 一三角形之三邊長為連續正整數，則:
a. 是否存在一三角形之最大角為最小角之兩倍? *(10 pts)*
b. 是否存在一三角形之最大角為最小角之三倍? *(10 pts)*

5. 有人埋寶藏，給出線索: 從 $A$ 走到 $B$，右轉再走 $\overline{AB}$ 長，抵達 $D$；從 $A$ 走到 $C$，左轉再走 $\overline{AC}$ 長，抵達 $E$，寶藏的位置在 $D$、$E$ 中點。
今 $A$ 有兩個候選點 $A_{1}(1,1)$、$A_{2}(1,-2)$，機率分別為 $0.7$、$0.3$；$B$ 有四個候選點 $B_{1}(0,2)$、$B_{2}(-1,2)$、$B_{3}(-2,2)$、$B_{4}(-3,2)$，機率分別為 $0.4$、$0.2$、$0.2$、$0.2$；$C$ 有兩個候選點 $C_{1}(3,1)$、$C_{2}(3,2)$，機率分別為 $0.6$、$0.4$。
a. 如果 $A_{2}$、$B_{1}$、$C_{1}$ 為正確的點，則寶藏在哪? *(6 pts)*
b. $A_{2}$、$B_{1}$、$C_{1}$ 為正確的點的機率? *(6 pts)*
c. 尋寶人異想天開，想做迴歸直線，請問哪三點 $y$ 對 $x$ 的迴歸直線斜率最大? *(8 pts)*