:::info
### 上集回顧

上次有提到單位元素的定義：

$$
\exists e\in G,\forall a\in G,\ e\diamond a=a\diamond e = a
$$

而接著的是反元素的定義：

$$
\forall a\in G,\exists b\in G,\ a\diamond b=b\diamond a = e
$$

這樣的寫法是有問題的，因為單位元素 $e$，我們並沒有說是哪一個；因此正確的寫法應該是要合起來：

$$
\exists e\in G,\forall a\in G,(e\diamond a=a\diamond e = a)\wedge(\exists b\in G,\ a\diamond b=b\diamond a = e)
$$
:::

# 向量空間

跟引進 Field 的時候一樣，我們有給予「特殊的別名」。

一個向量空間 $V$ 具有兩個角色，一個「場 Field」跟一個「可交換群 Abelian Group」；其中：

- 場被叫做「純量場 scalar field $F$」
- 群被叫做「向量群 vector group $G$」
- 群的成員叫做「向量」

**所以向量可以是「矩陣」、「函數」、「多項式」等等。**

## 記號

向量群的操作為「加法 $+_{G}$」，純量場的操作為「加法 $+_{F}$ 跟乘法 $\cdot _{F}$」。

向量對純量的操作為「乘法 $\cdot _{V}$」。

## 性質

上面有提到需要一個場跟一個群，這是首二性質；另外還有 4 個性質：

1. 封閉性
2. 純量對向量乘法的單位元素，定為場的乘法單位元素 $1_{F}$
3. 結合率，純量場的乘法跟純量對向量乘法可以互相結合
- $(ab)x=a(bx)$
5. 分配律
- $(a+b)x=ax+bx$ 純量乘法對純量加法的分配律
- $a(x+y)=ax+ay$ 純量乘法對向量加法的分配律

## 長度

向量空間要搭配「內積函數」才會有長度，但那是之後的事情了。

## 已有內容

- $0_{F}$：有，因為 $F$ 是加法群。
- $1_{F}$：有，之前確認過了。
- $0_{V}$：有，因為 $G$ 是加法群。
- $1_{V}$：沒有，因為 $G$ 沒有定義乘法操作。
- $-a, a\in F$，有，因為 $F$ 是加法群。
- $a^{-1}, a\in F \setminus \{0_{F}\}$，有，因為該部分是乘法群。
- $-x, x\in G$，有，因為 $G$ 是加法群。
- $x^{-1}, x\in G \setminus \{0_{G}\}$，沒有，因為 $G$ 沒有定義乘法操作。

:::info
更常見的表示法，會以 $V$ 代替 $G$。
:::

## Corollary 加法單位元素的性質

之前 Field 有提到第二條要求：

$$
0_{F}a=a0_{F}=0_{F},\ \forall a \in F
$$

其實這可以用加法群跟分配律推導出來；令 $0_{F}a$ 的加法反元素為 $u$：

$$
\displaylines{
0_{F}a + u=0_{F}\\
\Rightarrow (0_{F}+0_{F})a + u=0_{F}\\
\Rightarrow 0_{F}a + 0_{F}a + u = 0_{F}\\
\Rightarrow 0_{F}a = 0_{F}
}
$$

$a0_{F}$ 同理。

到了向量空間，有類似的性質存在：

$$
a0_{\color{red}{V}}=0_{\color{yellow}{F}}x=0_{V}
$$

推導過程跟上面有異曲同工之處：

$$
\displaylines{
0_{V} = a0_{V} + -(a0_{V}) \\
=a(0_{V}+0_{V}) -(a0_{V})
}
$$

## Corollary 負號移來移去

之前提到 Field 的時候有證明：

$$
(-a)b=-(ab)=a(-b)
$$

起手式是看看：

$$
\displaylines{
(-a)b + ab = (-a + a)b = 0_{F}b=0_{F}\\
\Rightarrow (-a)b = -(ab)
}
$$

$a(-b)$ 可以跟上面用相同方法推導，或者可以使用交換律：

$$
-(ab)=-(ba)=(-b)a=a(-b)
$$

到了向量空間，一樣有類似的性質存在：

$$
(-a)x=-(ax)=a(-x)
$$

起手式跟上面推導有異曲同工之妙：

$$
\displaylines{
(-a)x+ax=(-a+a)x=0_{F}x=0_{F}\\
\Rightarrow (-a)x=-(ax)
}
$$

$a(-x)$ 可以用一樣的方法證明，但是要注意，跟上面不一樣，**不可以用交換律證明**：

$$
-(ax)=-(xa)=(-x)a=a(-x)
$$

**因為我們並未定義向量對純量的乘法。**

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# 多元組向量空間

對於一個 Field 元素組成的 n-tuple，記為 $\mathbb{F}^{n}$，常見的像是 $\mathbb{R}^{n}$。

多元組向量空間，就是令多元組為向量，而多元組元素的場為純量；向量的加法還有純量對向量的乘法就是之前定義過的 Element-wise 的 tuple 加法跟乘法。

所以你可以很輕鬆的證明以下 2+4 點：

- 向量是群
- 由 $\mathbb{F}$ 元素構成的 tuple，確實滿足封閉結合單位元素和反元素。
- 純量是場
- 確實，我們就是拿一個已經是 Field 的 $\mathbb{F}$ 來組成 n-tuple。
- 封閉性
- Element-wise 的 tuple 乘法很容易推導
- 單位元素
- $\mathbb{F}$ 是構成 tuple 的場
- 結合律
- Element-wise 的 tuple 操作加上向量群加法的定義，很容易推導
- 分配律
- Element-wise 的 tuple 操作加上向量群加法的定義，很容易推導

所以從上面得知，只要我拿一個已經是 Field 的 $\mathbb{F}$，就可以建構出由他構成的 n-tuple 向量空間：

$$
V=(\mathbb{F}^{n},\mathbb{F},\cdot)
$$

所以常見的有 $\mathbb{R}$、$\mathbb{Q}$ 跟 $\mathbb{C}$ 等等。

## 矩陣向量空間

矩陣，也就是形式如同 $\mathbb{F}^{n\times m}$ 的樣子；但是其實就是把一個很長的 tuple 從長條型弄成方的，所以可以輕易地從上面延伸出來：

$$
V=(\mathbb{F}^{n\times m},\mathbb{F},\cdot)
$$

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# 函數向量空間

先來聊聊函數。如同自動機提到的，函數是把定義域 domain 的元素映射到對應域 codomain 的某一個元素的操作：

$$
f:R\rightarrow S
$$

令函數的定義域是某個非空集合 $S$，對應域則是某個 Field $F$：

$$
f:S\rightarrow F
$$

我們把滿足這些條件的函數蒐集起來構成集合：

$$
\mathbb{F}(S,F)=\{f\ |\ f:S\rightarrow F\}
$$

現在，我們讓 $\mathbb{F}(S,F)$ 這個集合變成一個群，所以我們需要定義「加法」：

$$
(f+_{V}g)(s)=f(s)+_{F}g(s)
$$

> $0_{\mathbb{F}(S,F)}$ 就是函數值為 $0_{F}$ 的函數；反元素則是函數值為 Field 加法反元素的函數

現在，因為 $\mathbb{F}(S,F)$ 的對應域是一個 Field，所以我們把 $\mathbb{F}(S,F)$ 跟對應域的 Field $F$ 組成一個向量空間，因此我們需要定義純量對向量的乘法：

$$
(a\cdot_{V}f)(s)=a\cdot_{F}f(s)
$$

在這樣的定義下，我們便建構出了函數的向量空間了：

$$
V=(\mathbb{F}(S,F),F,\cdot\ )
$$

接著可以使用已經定義的性質去推導剩下的 4 個條件。

:::info
可以注意到，我們不用管 $S$ 的原因是我們最終會碰到運算的只有對應域。
:::

:::warning
可以發現函數向量空間跟多元組向量空間，他們都是「構建」在已經存在的 Field $F$ 之上：

- 多元組的每個內部 element 都是 $F$ 內的成員
- 函數的對應域是 $F$

這也算是為甚麼向量空間的純量場會找 $F$ 的原因，因為這樣一來：

- 向量的加法
- 像是 tuple 的 Element-wise 加法
- 或是函數的加法
- 純量對向量的乘法
- 像是 tuple 的 Element-wise 乘法
- 或是純量對函數的乘法

就具有很好的規則。
下面的多項式向量空間具有一樣的道理。
:::

# 多項式向量空間

多項式的向量空間，一樣在既有的 Field 之上，建立出一個向量空間。

在那之前先聊聊多項式：

$$
\displaylines{
p(x)=\sum_{i=0}^{n}a_{i}x^{i}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}...a_{n}x^{n}\\
\text{for some nonnegative integer n and }a_{0},...a_{n}\in F
}
$$

可以發現我們一樣是建立在某個存在的場之上。

而 $x$ 目前並不代表任何東西，他就是某個可以跟 $a$ 操作的單元。

如果全部的 $a$ 都等於 $0_{F}$，則該**多項式為「零多項式」**，在這裡定義他的冪次是 -1。
>不過也有地方定義為其他值

並且數學上定義多項式必須是「有限多項」，不可以是無限；[無限多項的叫做 Power series](https://en.wikipedia.org/wiki/Polynomial#Power_series)

## 多項式集合

我們把上面建構出的多項式蒐集起來組成一個集合：

$$
\mathbb{P}(F)
$$

>$(F)$ 代表係數是在 $F$ 這個場裡面

接著把多項式集合弄成一個群，所以需要定義加法；加法跟 tuple 加法很類似，把 degree 一樣的項，係數相加：

$$
A+_{G}B\\
=...ax^{n}+bx^{n}=(a+_{F}b)x^{n}
$$

>注意各自有不同的加法
>$0_{\mathbb{P}(F)}$ 正好就是零多項式；反元素則是每個係數都是 Field 加法反元素構成的多項式。

有了群之後，就可以搭配 $F$ 組成向量空間，所以需要定義乘法：

$$
a\cdot_{V}B=a\cdot_{F}b_{0}+(a\cdot_{F}b_{1})x+...(a\cdot_{F}b_{n})x^{n}
$$

>可以發現跟 tuple 很像很像。

在這樣的定義下，我們便建構出了多項式的向量空間了：

$$
V=(\mathbb{P}(F),F,\cdot\ )
$$

接著可以使用已經定義的性質去推導剩下的 4 個條件。

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# 子空間

純量場保持不變，但是從原本的「母群」中分離一部份「子群」出來構建的向量空間；也就是說向量加法跟純量對向量乘法繼承自「母群」。

## 判斷向量空間

那麼如何判斷子空間 $V$ 是否還是向量空間。經過一些推導，可以發現：

1. 向量空間跟群的封閉性
- $a\in F,x\ and\ y\ \in V,ax\in V\ and\ x+y\in V$
2. 群的加法單位元素
- $\exists e \in V,\forall x \in V,e+x=x$
3. 群的加法反元素
- $\forall x \in V,\exists y \in V ,x+y=e$

這三個會被破壞，要重新確認。

原本空間叫做母空間 $W$。

## 新的判斷方法

但要判斷三個感覺很麻煩，所以聰明的數學家們想到了另一種等價的判斷方法：

- 向量空間跟群的封閉性
- $a\in F,x\ and\ y\ \in V,ax\in V\ and\ x+y\in V$
- 或者可以改寫為 $a\in F,x\ and\ y\ \in V,ax+y\in V$
- $0_{W}\in V$

因為可以從上面這兩個條件(還有搭配先前推導的 Corollary)就可以推導出原本的三個條件。

:::info
### 若且為若當且僅當

在數學的領域中，在定義一件事情時，只會寫「 if 滿足這些條件 ... 則稱為 ...」；就算它的性質是 if and only if，一樣保持寫 if。

但是其他像是理論等等，只要是 if and only if 就會寫出來。
:::

## 新的判斷方法的推導

要讓新的 2 點可以推導出原本的 3 點。

如果 $V$ 是 $W$ 的子空間，則 if and only if：

a. 向量空間跟群的封閉性
$$a\in F,x\ and\ y\ \in V,ax\in V\ and\ x+y\in V$$
b. $0_{W}\in V$

這有雙向，先證正向：

1. 跟 a 是一樣的
2. $0_{W}\in V$ 可以推得
3. $-x=1(-x)=(-1)x,\ (-1)x\in V$

第 3 點需要用到前面的負號移來移去，還有 a 的封閉性。

再來反向的

a. 跟 1 是一樣的。
b. $e+e=e+0_{W}\Rightarrow e = 0_{W}$

:::warning
其實 $0_{W}\in V$ 這點可以用 $ax+y\in V$ 推出來，就是 $x+-x\in V...$
:::

# 子空間操作

對於兩個子空間 $U$ 跟 $V$，這裡列舉了三個常見的子空間操作。

## 交集

可以使用上面的判斷法，檢驗 $U\cap V$是不是也是一個子空間：

- 封閉性
- 令 $x,y\in U\cap V$，所以我們知道：
- $ax,y$ 都在 $U$ 裡面，因此 $ax+y \in U$ 根據 $U$ 這個子空間的封閉性
- $ax,y$ 也都在 $V$ 裡面，因此 $ax+y \in V$ 根據 $V$ 這個子空間的封閉性
- 所以我們便知道 $ax+y\in U \wedge ax+y\in V$
- $ax+y\in U \cap V$
- $0_{W}$
- $0_{W} \in U \wedge 0_{W} \in V$
- $0_{W}\in U \cap V$

所以交集確實是一個子空間。

## 連集

連集不是子空間，雖然 $0_{W}$，存在於 $U\cup V$，但是並不具有封閉性。

## 和集

- $0_{W}$
- $0_{W}\in U$ 並且 $0_{W}\in V$
- 所以 $\underbrace{0_{W}+0_{W}}_{U+V}=0_{W},0_{W}\in U+V$
- 封閉性
- 令 $x,y\in U+V$，所以根據定義可以知道他們都是從 $U+V$ 這個操作來的，令：
- $x$ 是由 $\underbrace{x_{1}+x_{2}}_{U+V}$ 來的
- $y$ 是由 $\underbrace{y_{1}+y_{2}}_{U+V}$ 來的
- 因此我們可以知道：
- $ax+y=ax_{1}+ax_{2}+y_{1}+y_{2}$
- $=\underbrace{ax_{1}+y_{1}}_{\in U}+\underbrace{ax_{2}+y_{2}}_{\in V}=U+V$

所以確實，和集也是個子空間。

## 包含 $U\cup V$ 的最小子空間

和集 $U+V$ 是所有包含 $U\cup V$ 的子空間中最小的。

### 包含 $U\cup V$ 的證明

只要讓 $U+V$ 當中 $V$ 是 $0_{W}$，就可湊出 $U$ 的部分，接著換 $U$ 是 $0_{W}$，而 $V$ 只要是剩下的部分，就可以湊出 $U\cup V$ 了。

### 最小的證明

令 $W'$ 是一個包含 $U\cup V$ 的某個子空間。

令 $x\in U+V$，剛上面推導 $U+V$ 是子空間的過程類似，我們知道 $x$ 是由 $U+V$ 的操作來的，所以存在有：

$$
x_{1}\in U,x_{2}\in V,x_{1} + x_{2}=x
$$

而剛好 $U\cup V \subseteq W'$，所以我們知道：

$$
x_{1}\in U \subseteq W',x_{2}\in V \subseteq W'\\
\Rightarrow x_{1} + x_{2} \in W'
$$

所以我們知道 $x\in W'$。

也就是說對任意包含 $U\cup V$ 的子空間，$U+V$ 成員都會在裡面，也就是說：

$$
U+V\subseteq W'
$$

換句話說就是他是最小的。